¡Descarga el regne tridimensual y más Apuntes en PDF de Finanzas solo en Docsity!
Facultat d’Economia i Empresa Departament d’Economia de l’Empresa FINANCES I (102329) – Grup 52 – Curs 2012 ‐ 2013 Guia d’estudi: Dr. Joan Montllor i Dra. Maria Antònia Tarrazón
EL REGNE TRIDIMENSIONAL: solució
1) L’endeutament del pobre poble pelat.
Trobarem la rendibilitat esperada i la desviació típica de la cartera de títols amb risc que el pobre poble pelat (PPP) combina amb endeutament calculant el punt de tangència entre la recta que parteix de la taxa d’endeutament del PPP (10%) i la frontera eficient de títols amb risc. Cal, per tant, que igualem els pendents de la frontera de títols amb risc i d’aquesta recta.
Pendent de la frontera eficient de títols amb risc:
2
2
⋅ −
Pendent de la recta que parteix de la taxa lliure de risc del 10% i que és tangent a la frontera eficient de títols amb risc (presenta la mateixa equació que la línia del mercat de capitals, però substituint la taxa lliure de risc del 5% pel 10%):
'
2 ' '
' 0 ,^118455140 ,^37044150 ,^002037080 ,^10
M
M M
ERM r
Igualem ambdós pendents:
'
2 ' 2 '
' 0 ,^018455140 ,^37044150 ,^00203708
M
M M
M σ
σ σ
σ + ⋅ −
⋅ −
Aclarint σ M ' en aquesta equació 1 , trobem:
σ M ' = 0 , 195931
I, substituint el valor que acabem de trobar a l’equació de la frontera eficient de títols amb risc, obtenim el valor de la rendibilitat esperada en el punt de tangència:
(^1) El camí a seguir per a aclarir
σ M ' és idèntic al que s’aplica a la solució de
l’examen La filla trista de Zeus i Mnemosina (vegeu la carpeta d’exàmens resolts).
Facultat d’Economia i Empresa Departament d’Economia de l’Empresa FINANCES I (102329) – Grup 52 – Curs 2012 ‐ 2013 Guia d’estudi: Dr. Joan Montllor i Dra. Maria Antònia Tarrazón
E ( RM ' ) = 0 , 228835
2) Les inversions del marquès de Moltscalers i Rogèlia Escombres
El marquès de Moltscalers i Rogèlia Escombres han invertit els seus estalvis en accions d’una única empresa (la Companyia del Vent ) i, per tant, no obtenen els beneficis propis de la diversificació. Cal recomanar-los que, a efectes de diversificar correctament assumint el risc que desitgen, procedeixin a vendre aquestes accions i a adquirir cartera del mercat (directament o per mitjà d’un fons d’inversió indexat) combinada amb una posició de préstec (risc menor al de la cartera del mercat) o endeutament (risc superior al de la cartera del mercat). Aquest és el consell que es deriva directament del CAPM. No obstant, ens trobem aquí amb el cas d’una inversora, Rogèlia Escombres, que no pot manllevar diners a la taxa lliure de risc, sinó que ha de satisfer una taxa d’interès superior.
Inversió aconsellada al marquès de Moltscalers:
a) El marquès vol assumir una desviació típica del 22%:
El risc total de l’acció de la Companyia del Vent és superior tant al risc de la cartera del mercat (8,8823%) com al risc de la cartera que el pobre poble pelat combina amb endeutament (19,59%) que acaben de calcular. En conseqüència, el marquès de Moltscalers manllevarà diners i invertirà l’import del crèdit (que aconseguirà al 5%, taxa lliure de risc), juntament amb els seus estalvis, en la cartera del mercat.
Per a obtenir la proporció a invertir en la cartera del mercat ( x ) resolem l’equació que iguala el producte de la proporció invertida en cartera del mercat per la seva desviació ( x ⋅ σ M ) amb la desviació de la
Companyia del Vent :
x ⋅ 0 , 088823 = 0 , 22
x = 2 , 4768
Facultat d’Economia i Empresa Departament d’Economia de l’Empresa FINANCES I (102329) – Grup 52 – Curs 2012 ‐ 2013 Guia d’estudi: Dr. Joan Montllor i Dra. Maria Antònia Tarrazón
El marquès ha situat la seva inversió sobre la línia del mercat de capitals. Comprovem que, segons la LMC, a una desviació típica del 22% li correspon una rendibilitat esperada del 29,33%:
0 , 05 +^0 ,^148213 −^0 ,^05 ⋅ =
Com a conseqüència de combinar la cartera del mercat amb endeutament el marquès aconsegueix un augment de la rendibilitat esperada de la seva inversió de nou punts (29,23%-20%), tot mantenint el risc del 22%.
b) El marquès desitja una rendibilitat esperada del 20% (rendibilitat esperada de la Companyia del Vent ):
En aquest cas la combinació entre títol lliure de risc ( 1-x ) i cartera del mercat ( x ) s’obté resolent l’equació de la rendibilitat esperada de la inversió:
( 1 − x ) ⋅ 0 , 05 + x ⋅ 0 , 148213 = 0 , 20
D’on obtenim:
x = 1 , 527293
El marquès manllevarà al 5% una xifra igual al 52,7293% del seu pressupost d’inversió i adquirirà cartera del mercat per un 152,7293%. La desviació típica d’aquesta combinació és:
1,527293*0,88823=0,
La diversificació (combinació de M amb préstec o endeutament) redueix en aquest cas la desviació típica aproximadament en 8 punts (22%-13,5678%= 8,43%).
Comprovem que la combinació entre rendibilitat esperada i desviació típica que hem obtingut s’ajusta a la línia del mercat de capitals:
0 , 05 +^0 ,^148213 −^0 ,^05 ⋅ =
Facultat d’Economia i Empresa Departament d’Economia de l’Empresa FINANCES I (102329) – Grup 52 – Curs 2012 ‐ 2013 Guia d’estudi: Dr. Joan Montllor i Dra. Maria Antònia Tarrazón
Inversió aconsellada a Rogèlia Escombres:
c) Rogèlia vol assumir una desviació típica del 22%:
En aquest cas Rogèlia manllevarà diners al 10% i adquirirà la cartera M’ que correspon al punt de tangència entre la recta que parteix de la taxa d’interès del 10% i la frontera eficient de títols amb risc. El percentatge del seu pressupost que manllevarà Rogèlia el calculem com en el cas del marquès, però prenent ara com a desviació típica de referència la de M’ (19,5931%) en lloc de la de M:
x ⋅ 0 , 195931 = 0 , 22 ⇒ x = 1,
Per tant, Rogèlia manllevarà un 12,28% del seu pressupost i invertirà en M’ el 112,28%. En aquestes condicions, la rendibilitat esperada (tenint en compte que la rendibilitat esperada de M’ és el 22,8835% segons hem calculat en el primer apartat d’aquest problema) és:
− 0 , 1228 ⋅ 0 , 10 + 1 , 1228 ⋅ 0 , 228835 = 0 , 2447
Comprovem el valor obtingut correspon a la línia que uneix la taxa d’endeutament amb M’:
0 , 10 +^0 ,^228835 −^0 ,^10 ⋅ =
Rogèlia ha aconseguit una millora del 4,47% de la rendibilitat esperada de la seva inversió (24,47%-20%), tot mantenint el risc del 22%.
d) Rogèlia desitja una rendibilitat esperada del 20% (rendibilitat esperada de la Companyia del Vent ):
La taxa del 20% se situa per sota del punt de tangència de la recta que parteix del 10% i és tangent a la frontera de títols amb risc (22,88%). També se situa per sobre de la rendibilitat esperada de la cartera del mercat (14,82%). Rogèlia no pot crear cap
Facultat d’Economia i Empresa Departament d’Economia de l’Empresa FINANCES I (102329) – Grup 52 – Curs 2012 ‐ 2013 Guia d’estudi: Dr. Joan Montllor i Dra. Maria Antònia Tarrazón
zones a les que no és possible accedir: el préstec al 10% i, pel pobre poble pelat, l’endeutament al 5%. La graella marca els punts de tangència on se situen M (cartera del mercat) i M’ (cartera que el pobre poble pelat combina amb l’endeutament).
s
ER
s
ER
3) El compliment o incompliment del teorema de la separació en aquest cas
L’enunciat de l’exercici deixa clar que, pel conjunt del mercat, s’acompleix el teorema de la separació, no obstant que, per una part de la població no s’acompleixi una de les hipòtesis sobre la que aquest teorema se sustenta: l’endeutament a la taxa lliure de risc. Aquesta part de la població representa una part petita del capital, sense incidència en el conjunt del mercat o, més probablement, està
Facultat d’Economia i Empresa Departament d’Economia de l’Empresa FINANCES I (102329) – Grup 52 – Curs 2012 ‐ 2013 Guia d’estudi: Dr. Joan Montllor i Dra. Maria Antònia Tarrazón
formada per un conjunt d’individus que, pel seu baix patrimoni i la seva aversió al risc, no s’endeuten per invertir a borsa i, aleshores, res hi fa que no puguin manllevar a la taxa lliure de risc. Rogèlia Escombres és una excepció. Tenim, en síntesi, un mercat en el qual es dóna un compliment raonable del teorema de la separació. La hipòtesi d’endeutament a la taxa lliure de risc sembla, a primera vista, molt limitativa. No obstant, deixa de ser-ho des del moment que aquells que no poden manllevar a la taxa lliure de risc per a invertir a borsa, són també aquells que no tenen intenció de manllevar per a invertir a borsa.
