electromagnetismo xddx, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga electromagnetismo xddx y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

i

Leonardo Palma

ELECTROMAGNETISMO

ii

• 1. Introducción........................................................................................................... Contenido
  • 1.1 Operaciones con vectores
  • 1.2 Sistemas de Coordenadas
    • 1.2.1 Sistema de Coordenadas cartesiano
    • 1.2.2 Sistema de Coordenadas cilíndrico
    • 1.2.3 Sistema de coordenadas esférico...................................................................
• 2. Electroestática
  • 2.1 Carga y densidad de carga
    • 2.1.1 Carga puntual
    • 2.1.2 Distribución lineal de carga
    • 2.1.3 Distribución de carga superficial
    • 2.1.4 Distribución de carga volumétrica
  • 2.2 Ley de Coulomb
  • 2.3 Intensidad de Campo Eléctrico
    • 2.3.1 Campo eléctrico de cargas puntuales
    • 2.3.2 Campo Eléctrico de distribuciones de carga
    • 2.3.2.1 Campo Eléctrico de una distribución lineal de carga
    • 2.3.2.2 Campo Eléctrico de una distribución superficial de carga
    • 2.3.2.2 Campo Eléctrico de una distribución volumétrica de carga
  • 2.4 Densidad de flujo eléctrico
  • 2.5 Ley de Gauss
  • 2.6 Potencial Eléctrico
    • 2.6.1 Potencial Eléctrico debido a cargas puntuales
    • 2.6.2 Potencial Eléctrico debido a distribuciones de carga
    • 2.6.3 Calculo de Campo Eléctrico a partir del Potencial Eléctrico
  • 2.7 Materiales en el Campo Eléctrico
    • 2.7.1 Materiales Conductores
    • 2.7.2 Materiales Dieléctricos
  • 2.8 Capacidad iii
    • 2.8.1 Condensador de placas paralelas
    • 2.8.2 Interconexión de condensadores.................................................................
  • 2.9 Energía en el campo electrostático
    • 2.9.1 Energía en el campo electrostático considerando variables del campo
• 3. Corriente Eléctrica Estacionaria
  • 3.1 Conservación de carga
  • 3.2 Cargas en movimiento en el campo eléctrico
    • 3.2.1 Corriente de convección
    • 3.2.2 Corriente y densidad de corriente de conducción
  • 3.3 Ley de Ohm
  • 3.4 Resistencia equivalente
    • 3.4.1 Conexión de resistencias en serie
    • 3.4.1 Conexión de resistencias en paralelo
  • 3.5 Disipación de potencia y Ley de Joule................................................................
• 4. Campo magnético estacionario
  • 4.1 Ley de Biort-Savart
  • 4.2 Aplicación de la ley de Biort-Savart a corrientes distribuidas
  • 4.3 Ley de Ampere
  • 4.4 Flujo Magnético
  • 4.5 Postulados del campo magnético estacionario
  • 4.6 Funciones potenciales........................................................................................
    • 4.6.1 Potencial vectorial magnético
    • 4.6.1 Potencial escalar magnético
  • 4.7 Propiedades magnéticas de los materiales
    • 4.7.1 Magnetización
    • 4.7.2 Permeabilidad relativa
  • 4.8 Comportamiento de materiales magnéticos
    • 4.8.1 Materiales diamagnéticos
    • 4.8.2 Materiales paramagnéticos
    • 4.8.3 Materiales ferromagnéticos
  • 4.9 Inductancia
  • 4.10 Energía en el campo magnético
  • 4.11 Circuitos Magnéticos iv
  • 4.12 Fuerza en el campo magnético
• 5. Campos eléctrico y magnético variable en el tiempo
  • 5.1 Ley de Faraday
  • 5.2 Ley de Lenz
  • 5.3 Fuerza electromotriz inducida por el movimiento
  • 5.4 Fuerza electromotriz por efecto transformador
  • 5.5 Fuerza electromotriz combinada
  • 5.6 Corrientes Eddy
  • 5.7 Generador de corriente alterna
  • 5.8 Transformador Ideal
• 6. Ecuaciones de Maxwell
  • 6.1 Ecuaciones de Maxwell en forma puntual
  • 6.2 Ecuaciones de Maxwell en forma integral

1. Introducción

Dado que el campo electromagnético es un campo vectorial es necesario antes de

avocarse al estudio de las leyes que lo rigen el recordar conceptos básicos

relacionados con los vectores y operaciones entre ellos. Asimismo, es conveniente

abordar los sistemas de coordenadas, que, por sus características de simetría, son

comúnmente utilizados para resolver problemas relacionados con el campo

electromagnético.

1.1 Operaciones con vectores

Las cantidades vectoriales son representadas generalmente por una magnitud y una

dirección de acuerdo a:

Figura 1 Definición de vector

𝑎

donde| 𝐴| es la magnitud y 𝑢̂

𝑎

corresponde a un vector unitario que define la dirección

del vector en el espacio.

La suma de vectores se realiza de acuerdo con

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

𝑧

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

Por otro lado, la multiplicación puede darse de varias formas, siendo una de ellas la

multiplicación entre un escalar y un vector; en cuyo caso se tiene:

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

El producto entre dos vectores puede darse en forma de producto escalar (producto

punto) o de producto vectorial (producto cruz); los que operan de según sigue:

En cuanto a las propiedades del producto cruz se tiene que este no es conmutativo, es

decir:

× 𝐵

× 𝐴

Por otro lado, el producto cruz es distributivo cumpliéndose que:

× (𝐵

× 𝐵

× 𝐶

1.2 Sistemas de Coordenadas

En la práctica para modelar cualquier tipo de situación que se manifieste en el espacio

es necesario contar con un sistema de referencia. Estos sistemas de referencia pueden

ser definidos de varias formas, dependiendo principalmente de la geometría y

simetría del problema. Generalmente para las situaciones relacionadas con los

campos electromagnéticos se utilizan preferentemente tres tipos de marcos de

referencia, el cartesiano, cilíndrico y esférico; los que se detallan más adelante.

1.2.1 Sistema de Coordenadas cartesiano

Este sistema de coordenadas considera tres ejes, los que son perpendiculares entre sí

permitiendo ubicar cualquier punto en el espacio como la conjunción de tres

coordenadas.

𝑥

𝑦

𝑧

Figura 4 Sistema de coordenadas cartesiano

El cálculo de diferentes cantidades definidas en este sistema de coordenadas se puede

realizar por medio de integrales de línea, de superficie o de volumen; para lo cual es

necesario conocer las definiciones de los elementos diferenciales correspondientes.

𝑑𝑙 = 𝑑𝑥 𝑥̂ + 𝑑𝑦 𝑦̂ + 𝑑𝑧 𝑧̂ (Elemento diferencial de largo)

𝑥

𝑦

𝑧

= 𝑑𝑥𝑑𝑦 (Elementos diferenciales de superficie)

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Elemento diferencial de volumen)

1.2.2 Sistema de Coordenadas cilíndrico

El sistema de coordenadas cilíndrico describe de buena forma aquellas estructuras

que tengan simetría en torno a un eje central tales como cilindros y discos. Este

sistema de coordenadas también tiene tres ejes coordenados los que se muestran en la

figura 5 a continuación.

Figura 5 Sistema de coordenadas cilíndrico

Así los vectores en un espacio definido por un sistema de coordenadas cilíndrico son

expresados de acuerdo con:

𝑟

𝜙

𝑧

En el caso de este sistema de coordenadas los elementos diferenciales que describen

líneas, superficies y volúmenes están dados por:

• 𝑑𝑧 𝑧̂ (Elemento diferencial de largo)

𝑟

𝜙

𝑧

= 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 (Elementos diferenciales de superficie)

𝑑𝑣 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 (Elemento diferencial de volumen)

En este sistema de coordenadas los elementos diferenciales necesarios para calcular

una longitud, superficie o volumen están definidos por:

(Elemento diferencial de

largo)

𝑟

2

𝜃

𝜙

= 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 (Elementos diferenciales

de superficie)

2

𝑠𝑒𝑛 (𝜃)𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 (Elemento diferencial de

volumen)

Figura 8 Elementos diferenciales en un sistema esférico

El cambio de coordenadas desde un sistema cartesiano a uno esférico puede

realizarse por medio de las siguientes ecuaciones.

2

2

2

− 1

√𝑥

2

+𝑦

2

𝑧

− 1

𝑦

𝑥

2. Electroestática

2.1 Carga y densidad de carga

En la naturaleza la carga eléctrica fundamental es la de un electrón. La unidad de

carga es el Coulomb y la carga de un solo electrón es de - 1.6019 x 10

• 19

[C]. Esta

cantidad es considerada como la carga más pequeña existente y todas las demás

cargas son entonces múltiplos de ella. La carga puede ser positiva o negativa

dependiendo de la presencia o ausencia de electrones.

Ahora bien, las cargas pueden ser ordenadas de diferentes formas constituyendo

entonces distribuciones de carga.

2.1.1 Carga puntual

Se entiende por una carga puntual la acumulación de cargas en un volumen muy

pequeño de forma que puede considerarse para efectos de análisis que se trata de

solo una sola carga ubicada en un punto específico del espacio.

Q

x

y

z

Figura 9 Carga puntual en el espacio

2.1.2 Distribución lineal de carga

Una distribución lineal de carga corresponde al ordenamiento de varias cargas a lo

largo de una línea, como por ejemplo la acumulación de cargas en un alambre muy

delgado. En efecto, si se tiene una carga q a lo largo de una línea de largo l la

densidad de carga lineal estará dada por:

𝑙

= lim

Δ𝑙→ 0

[

]

Q

x

y

z

Q Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q Q

Q

Q

Figura 10 Distribución lineal de cargas en el espacio

Ejemplo #

Una carga está distribuida uniformemente en las siguientes estructuras de forma que la

carga total en ellas es de Q=

• 9

[C].

a) Un alambre delgado de 1 [m] de longitud

b) Un cable de radio r = 10 [mm] y 1 [m] de largo, asumiendo que la carga se

distribuye uniformemente solo sobre la superficie del cable y no en sus extremos.

c) Un cilindro no conductor de radio r = 10 [mm] y 1 [m] de largo, asumiendo que la

carga distribuida uniformemente dentro del volumen.

Solución

a) 𝜌

𝑙

𝑄

𝑙

10

− 9

1

− 9

[

𝐶

𝑚

]

b) 𝜌 𝑆

𝑄

𝑆

10

− 9

2 ∗𝜋𝑟𝑙

10

− 9

2 ∗𝜋( 10 ∗ 10

− 3

) 1

− 8

[

𝐶

𝑚

2

]

c) 𝜌 𝑆

𝑄

𝑉

10

− 9

𝜋𝑟

2

𝑙

10

− 9

𝜋( 10 ∗ 10

− 3

)

2

1

− 8

[

𝐶

𝑚

3

]

Ejemplo #

Una carga está distribuida dentro de un volumen esférico. La carga está dispuesta en

forma no uniforme de modo que 𝜌

𝑉

𝑜

𝑅 [

𝐶

𝑚

3

]; donde 𝜌

𝑜

− 7

y R es la distancia

medida desde el centro del volumen esférico. Calcular la carga total contenida dentro

de una esfera de radio R o

= 10 [m].

Solución

Para calcular la carga total contenida dentro del volumen esférico de radio dado es

necesario integrar la densidad de carga dentro del volumen en cuestión.

Estableciendo un sistema de coordenadas esférico centrado en el centro del volumen

se tiene que:

𝑉

𝑣

𝑜

2

10 𝜋 2 𝜋

0 0 0

𝑜

3

10 𝜋 2 𝜋

0 0 0

𝑜

3

10 𝜋

0 0

𝑜

3

10

0

(− cos 𝜃)|

0

𝜋

𝑜

3

10

0

𝑜

4

0

10

𝑜

4

− 3

[𝐶]

2.2 Ley de Coulomb

La ley de Coulomb describe cuantitativamente la fuerza que resulta de la interacción

de dos cargas en el espacio. Esta ley fue derivada a partir de experiencias

experimentales realizadas por Charles Agustín de Coulomb y esta enunciada según

sigue:

“La fuerza entre dos cargas puntuales Q 1

y Q 2

es proporcional al producto de las dos

cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, y

direccionada a lo largo de la línea que las conecta.”

En términos matemáticos dicha ley es representada por la siguiente ecuación:

1

2

2

𝑟̂ [𝑁]

donde, k es una constante de proporcionalidad que depende del medio donde se

produzca la interacción entre las cargas. Esta constante está dada por:

En que  corresponde a la constante dieléctrica o permitividad y es una característica

del medio. En particular para el espacio libre la permitividad tiene un valor de 𝜀 𝑜

− 12

[

𝐹

𝑚

].

Luego la ley de Coulomb queda expresada como:

1

2

2

𝑟̂ [𝑁]

En la figura 13 se muestran diferentes interacciones entre pares de cargas de distintas

polaridades y la fuerza resultante en cada caso al aplicar la ley de Coulomb.

x

y

Q 1

Q 2

R 12

F 12

F 21

1 2

1

3

x

y

Q 1

Q 2

R 2

-R 1

F 12

F 21

1 2

1

3

R 1

R 2

a b

Figura 14 Cálculo de fuerza entre Q 1

y Q 2

Solución

a) De la figura 10 tenemos que el vector que une los puntos P 1

y P 2

está dado por:

12

2

1

Entonces su norma es

2

2

= √ 5 [𝑚]

Por lo tanto, el vector unitario correspondiente está dado por

12

Así la fuerza en Q 1

debido a Q 2

es:

12

𝑜

1

2

2

𝑜

1

2

𝑜

− 9

− 9

− 9

(𝑥̂ + 2 𝑦̂ )[𝑁]

Análogamente la fuerza en Q 2

debido a Q 1

es

21

𝑜

1

2

2

𝑜

1

2

𝑜

− 9

− 9

− 9

(−𝑥̂ − 2 𝑦̂ )[𝑁]

b) En este caso tenemos que las cargas están ubicadas en las mismas posiciones que

en el primer caso, pero la polaridad de la carga Q 2 es invertida. Luego se tiene que las

fuerzas resultantes son:

12

𝑜

1

2

2

𝑜

1

2

𝑜

− 9

− 9

− 9

(𝑥̂ + 2 𝑦̂ )[𝑁]

21

𝑜

1

2

2

𝑜

1

2

𝑜

− 9

− 9

− 9

[𝑁]

Ejemplo #

Considerando el siguiente modelo para un átomo de helio; el que está compuesto por

un núcleo de dos protones y posee dos electrones orbitando en torno a su centro. Si se

asume que los electrones son estacionarios como se muestra en la figura y que los

protones se ubican en un solo punto; y considerando que m e

= 9.107 x 10

• 31

[kg], R e

0.5 x 10

• 10

[m], q e

= - 1.6 x 10

• 19

[C]

a) Calcular la fuerza que aparece entre los dos electrones y la fuerza que aparece

entre los dos protones y un electrón.

b) Despreciando todas las otras fuerzas dentro del átomo; ¿Cuál debe ser la velocidad

angular de los electrones para que estos se mantengan a una distancia dada del

núcleo? (Asumir para esto que los electrones están siempre en la misma posición

relativa)

Figura 15 Modelo simplificado del átomo de Helio

Solución

a) A partir de la figura pueden calcularse las fuerzas entre los dos electrones y entre

los protones y un electrón en función de las siguientes ecuaciones.

𝑒𝑒

𝑜

2

𝑒

2

− 19

2

𝑜

𝑒

2

− 9

𝑟̂ [𝑁]

𝑒𝑝

𝑜

2

𝑒

2

− 19

2

𝑜

𝑒

2

− 9

𝑟̂ [𝑁]

b) Para que los electrones permanezcan en su órbita la fuerza neta en el sistema tiene

que ser balanceada por la fuerza centrífuga; esto es:

𝑐𝑒𝑛𝑡

𝑒𝑒

𝑒𝑝

𝑐𝑒𝑛𝑡

𝑒𝑒

𝑒𝑝

De la última expresión podemos ver lo siguiente:

1. La cantidad que se obtiene tiene unidades de fuerza por unidad de carga

(N/C).

2. La fuerza por unidad de carga varía en forma inversamente proporcional

con respecto al cuadrado de la distancia desde la fuente.

3. El lado derecho de la ecuación solo es función de Q 1

, es decir el campo

vectorial resultante es generado por dicha carga.

Dado que el vector 𝑟̂ es arbitrario, este esta definido para cualquier punto en el

espacio. Por otro lado

𝐹

⃗

12

𝑄

2

es un campo vectorial que permite calcular la fuerza por

unidad de carga para cualquier punto del espacio.

Ahora bien, en base a lo anterior es posible definir este campo vectorial, que se

conocerá como intensidad de campo eléctrico haciendo tender el valor de la carga Q 2

a cero; esto es:

𝐸 = lim

𝑄

2

→ 0

12

2

[

]

De esta definición tenemos entonces que la intensidad de campo eléctrico es un vector

colineal con la fuerza eléctrica (o de Coulomb) y es proporcional a ella. Además,

permite calcular la fuerza por unidad de carga producida en el espacio. En la práctica

generalmente la unidad utilizada para la intensidad de campo eléctrico es de Volt por

metro [V/m]; sin embargo, como aún no se ha definido el concepto de diferencia de

potencial se continuará utilizando como unidades para este campo vectorial las de

[N/C].

+Q 1

R

E

E

+Q 1

E

-Q 1

a b c

Figura 17 Definición de campo eléctrico

Ahora, si consideramos la carga puntual Q 1

mostrada en la figura 1 7 , tenemos entonces

que la intensidad de campo eléctrico producida por ella es

1

4 𝜋𝜀

𝑜

𝑄

1

|𝑅|

2

𝑟̂ [N/C]

De esto último se puede observar que:

1. Que la intensidad de campo eléctrico depende de la carga y de la distancia

a que esta ésta.

2. Si la carga es positiva la dirección del campo eléctrico resultante es radial y

alejándose de la carga. (figura 17 b y c)

3. A distancias iguales de la carga se tiene que la magnitud del campo

eléctrico idéntica.

4. La intensidad de campo eléctrico varía inversamente con el cuadrado de la

distancia a la carga.

Ahora, si conocemos el campo eléctrico existente en el espacio, podemos calcular la

fuerza resultante sobre una carga ubicada en un punto en particular utilizando la

siguiente relación:

[𝑁]

Esta última expresión constituye una definición alternativa para la ley de Coulomb

Ejemplo #

Un electrón está ubicado en un punto en el espacio.

a) Calcular la intensidad de campo eléctrico en cualquier punto del

espacio.

b) Encontrar la fuerza que el electrón ejerce sobre una partícula de polvo

cargada con 3.2x

• 19

[C] y ubicada a una distancia R del electrón.

Solución

a) Tomando un sistema de coordenadas centrado en el electrón, se puede calcular

que la intensidad de campo eléctrico a una distancia R de este es:

𝑜

1

2

𝑜

− 19

2

− 9

2

𝑟̂ [

]

b) La fuerza ejercida sobre la partícula de polvo entonces está dada por:

− 19

− 9

2

− 28

2

𝑟̂ [𝑁]