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La ley de Coulomb y el campo eléctrico en el vacío. Se explica la fuerza eléctrica entre dos cargas en reposo y se derivan las expresiones matemáticas para calcular el campo eléctrico generado por una distribución de cargas continuas. Se incluyen soluciones a problemas relacionados con líneas infinitas, espiras circulares y placas infinitas.
Tipo: Diapositivas
1 / 15
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Cap
Electrostática en el Vacío
Ley de Coulomb
Si dos cargas en reposo 𝑞’ (fuente) y 𝑞 (carga de campo) se localizan en el espacio. Aparece una fuerza
eléctrica sobre 𝑞 dado por
𝑒 𝑞
′
→𝑞
0
2
′
vector posición relativa, 𝑅
𝑅
⃗
𝑅
vector unitario
0
es la permitividad del espacio libre
En el SI 𝜀 0
− 12
Campo Eléctrico 𝑬
(𝑟) = lim
𝑞→ 0
𝑒
𝑞
′
→𝑞
0
′
2
Distribución de Cargas Continuas
Lineal
Se define la densidad de carga lineal
𝑙
′
′
La carga total
′
′
′
𝐿
′
Superficial
Se define la densidad de carga superficial
𝑠
′
′
2
La carga total
′
′
′
𝑆
′
Volumétrica
Se define la densidad de carga superficial
𝑣
′
′
3
La carga total
′
′
′
𝑉
′
0
′
2
0
0
′
2
Nos damos cuenta que la que la resultante tiene la dirección radial
𝜌
= 𝑑𝐸 cos 𝜃
𝜌
0
0
′
2
El campo total
𝜌
0
0
′
2
′
2
3
2
𝐿
−𝐿
′
2
′
2
3
2
𝐿
−𝐿
2
′
2
′
2
1
2
0
0
2
2
0
0
Solución 2)
0
′
2
0
0
′
2
0
0
′
2
𝑧
= 𝑑𝐸 cos 𝜃
𝑧
0
0
′
2
El campo total
𝑧
0
0
′
2
2
)
3
2
2 𝜋
0
0
0
2
2
)
3
2
Solución 3 )
𝑧
0
′
0
′
2
2
3
2
0
0
′
𝑧
0
′
′
0
′
2
2
3
2
𝑧
0
0
′
′
′
2
2
3
2
𝜌
0
𝑧
0
0
′
2
2
0
0
2
2
0
0
Línea de transmisión de placas paralelas
0
0
La siguiente figura muestra la simulación de dos placas cargadas con Matlab
Ley de Gauss
Sabemos que el campo eléctrico de una carga puntual es:
Potencial Escalar o Electrostático 𝑽(𝒓⃗ )
0
′
2
3
′
′
′
3
Es fácil descubrir que:
3
′
2
′
2
′
2
′
0
′
0
′
0
Es el potencial electrostático debido a una carga puntual
El campo eléctrico es irrotacional
Demostración
Ejemplo:
Potencial electrostático de una carga lineal infinita con densidad de carga lineal uniforme 𝜆 0
Solución
El Potencial de una carga puntual
0
′
0
′
′
0
′
0
′
0
0
0
′
𝐿
−𝐿
0
0
′
2
′
2
𝐿
−𝐿
′
2
′
2
𝐿
−𝐿
= ln (𝑧
′
2
′
2
0
0
ln (
2
2
2
2
Para carga lineal infinita 𝐿 → ∞
0
0
lim
𝐿→∞
ln (
2
2
2
2
(Desarrollado en el Texto Wagness)
Relación entre Potencial Eléctrico 𝑽 y Campo Eléctrico 𝑬
Por otro lado
Integrando
𝑉 2
𝑉
1
2
1
2
1
2
1
Resolvemos el ejemplo anterior mediante esta fórmula
0
0
2
1
0
0
2
1
2
1
0
0
ln (
2
1
0
3
0
2
0
0
a)
0
0
0
0
b) El potencial debido a la primera esfera
2
1
𝑎
∞
1
1
0
2
3
0
2
𝑅
2
∞
0
0
𝑎
𝑅
2
0
2
3
0
2
𝑅
2
∞
0
0
𝑎
𝑅
2
0
2
3
0
2
0
0
2
2
0
2
2
0
0
0
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
El potencial debido a la segunda esfera
0
0
1
2
El potencial es la suma
0
0
2
2
1
2
2
Solución 2)
Superficie gaussiana es un paralelepípedo
𝑆
𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Campos Electrostáticos en Medios Conductores
El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
𝑖
𝑃
Las cargas polarizadas producen un campo que anula al campo inicial.
La carga neta dentro de un conductor es cero.
Se demuestra mediante la ley de Gauss en la superficie S
𝑆
𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
0
𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
La carga se distribuye en la superficie del conductor
El potencial dentro (y en la superficie) de un conductor es constante
EL campo eléctrico es normal a la superficie del conductor
Relación entre la densidad de carga y el campo eléctrico
Mediante la Ley de Gauss en la superficie del conductor
∆𝑆
𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
0
𝑛
0
𝑛
0
En general
0
𝑧
0
0
0
La siguiente figura muestra el campo eléctrico del capacitor simulando mediante Matlab
Dipolo Eléctrico
Aislante o Dieléctrico
Potencial y campo eléctrico de un Dipolo
0
1
0
2
Simplificando
2
1
0
1
2
1
2
1
2
2
𝑞𝑑 cos 𝜃
0
2
0
3
Se define el momento dipolar eléctrico 𝑝
De manera que el Potencial de un Dipolo Eléctrico será
0
3
El Campo Eléctrico de un Dipolo
= −∇𝑉 (𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)
𝑞𝑑 cos 𝜃
0
3
𝑞𝑑 sin 𝜃
0
3
0
3
( 2 cos 𝜃 𝑟̂ + sin 𝜃 𝜃
Es el campo eléctrico de un dipolo eléctrico
0
3
( 2 cos 𝜃 𝑟̂ + sin 𝜃 𝜃
Ejemplos:
origen de coordenadas entre los cuerpos.
′
′
′
′
′
′
𝑆
′
0
y
para 𝑟 = 𝑎∅ = 0 , 𝜋/ 2 y 𝜃 = 𝜋/ 2 , 𝜋 la densidad es −𝜎
0
0
′
0
2
sin 𝜃
′
′
′
𝑑 = 2 𝑎 cos 𝜃
′
0
2
sin 𝜃
′
′
′
2 𝑎 cos 𝜃
′
3
0
∫ ∫ sin 𝜃
′
cos 𝜃
′
′
′
2 𝜋
0
𝜋
2
0
3
0
Expansión Multipolar
El potencial de una distribución de cargas puntuales esta dado por
