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Carga el´ectrica
Carga el´ectrica
La fuerza electromagn´etica es la interacci´on entre cargas el´ectricas.
La carga el´ectrica es una propiedad fundamental y caracter´ıstica de las
part´ıculas que forman la materia.
Existen dos clases de carga: carga “positiva” y carga “negativa”.
Conservaci´on de la carga el´ectrica: En un sistema aislado la carga total
(suma algebraica de las cargas positivas y negativas) se mantiene
constante.
La carga est´a cuantizada: no se puede dividir indefinidamente. La menor
carga negativa que se conoce es la del electr´on, y la menor positiva es la
del prot´on. Ambas en valor absoluto son iguales siendo
e = 1,60217733 x 10
− 19 culombios
Carga el´ectrica
La carga el´ectrica es invariante respecto del sistema de referencia: si en un
sistema de referencia S la carga total de un objeto es q, en otro sistema S
′
sigue siendo q.
Por carga puntual se entiende un cuerpo cargado cuyas dimensiones son
mucho m´as peque˜nas que las que intervienen en el problema.
Distribuci´on vol´umica de carga: Si se tiene un gran n´umero de part´ıculas
cargadas ocupando un volumen V , se define la densidad de carga en el
punto ~r
ρ (~r ) =
∆q
∆v
done ∆q es la carga total enecerrada en el volumen ∆v que encierra el
punto ~r
Campo el´ectrico
O
q 1
q 2
q 3
q’
r 1
r 2
r 3
r
v 1
v 2
v 3
v’
Consideremos un conjunto de cargas
puntuales con velocidades y
aceleraciones arbitrarias.
Una carga q
′ est´a sometida a una
interacci´on debida al resto de cargas
que se expresa como la suma de dos
interacciones:
F
E
no depende de la velocidad ~v
′ : es
debida a un campo el´ectrico
FM depende de la velocidad ~v
′ : es
debida a un campo magn´etico
Campo el´ectrico
Se define el campo el´ectrico
E (~r ) en el punto ~r (donde se encuentra la
carga q
′ ) como
E (~r ) = l´ım
q
′ → 0
F
E
q
′
donde se supone que q
′ est´a en reposo, es positiva y es tan peque˜na que
no perturba la distribuci´on de cargas que crea el campo.
La fuerza
F
E
depnde del valor de las cargas que crean el campo, su
posici´on, su velocidad y aceleraci´on as´ı como de la propia carga de prueba
q
′ .
Campo el´ectrico
En el sistema MKS (o Sistema Internacional) de unidades
K ≈ 8 , 98 · 10
9
Kg m
3
sg
− 2
C
− 2
o m Far.
Se define
K =
4 πǫ 0
donde ǫ 0
es la permeabilidad el´ectrica del vac´ıo:
ǫ 0 ≈ 8 , 854 · 10
− 12
C
2
m
− 2
N
− 1
En el sistema CGS (o sistema gaussiano):
K = 1 dina cm
2
ues
− 2
, ǫ 0 =
4 π
1 C = 3 · 10
9
ues
Campo el´ectrico
Campo el´ectrico de un conjunto de cargas en reposo.
Principio de superposici´on: El campo el´ectrico producido por una carga en
un punto no depende de la presencia de las otras cargas. El campo
resultante es la suma vectorial de los campos que cada carga crea por
separado.
r’i
r
Ri
ui
qi
O
E
i
q
′
F
i
4 πǫ 0
q i
R
2
i
~u i
El campo total es:
E (~r ) =
i
E
i
4 πǫ 0
i
q i
R
2
i
~u i
Campo el´ectrico
Si la distribuci´on de carga es superficial, con densidad σ(~r ):
E (~r ) =
4 πǫ 0
S
σ(~r
′ )
R
2
~u dS
Si es lineal:
E (~r ) =
4 πǫ 0
L
λ(~r
′ )
R
2
~u dS
L´ıneas de fuerza: l´ıneas curvas imaginarias tales que en cualquier punto la
direcci´on tangente coincide con el vector campo el´ectrico.
Potencial electrost´atico
En las expresione anteriores (tanto para carga puntual o distribuci´on de
cargas) siempre aparece el t´ermino
R
2
~u =
|~r − ~r
′ |
3
(~r − ~r
′
)
~r
′ es la variable respecto de la que se realiza la integraci´on y ~r es el punto
en donde se calcula el campo. Es f´acil ver que
|~r − ~r
′ |
3
(~r − ~r
′
) = −
~r
|~r − ~r
′ |
~r
R
En una distribuci´on vol´umica de cargas:
E (~r ) = −
4 πǫ 0
V
ρ(~r
′
)
~r
R
dv = −
~r
4 πǫ 0
V
ρ(~r
′ )
R
dv
Potencial electrost´atico
A
B
E
d r
C
q
Supongamos que una carga q se lleva de A a B seg´un la curva C. El
trabajo de la fuerza electrost´atica es:
W =
B
A
q
E · d~r = −q
B
A
∇Φ · d~r = −q
B
A
dΦ = q[Φ(A) − Φ(B)]
El trabajo solo depende de los puntos inicial y final. La energ´ıa potencial
de la fuerza es por tanto U = qΦ.
Unidades:
[Φ] = Joul/C ≡ Voltio, ⇒ [E ] = Volt./m
Potencial electrost´atico
La diferencia de potencial entre dos puntos es:
Φ(A) − Φ(B) =
B
A
E · d~r
Si la curva es cerrada (A = B):
C
E · d~r = 0 ⇐⇒
∇ ×
E = 0
Teorema de Gauss
El flujo total a trav´es de la superficie cerrada S es
φ =
q
4 πǫ 0
4 π
0
dΩ =
q
ǫ 0
Si la carga est´a en el exterior de la superficie S, ´esta se divide en dos
porciones: S 1
y S 2
q
S
E
E
ds
ds
W
S 1
S 2
φ =
S 1
E · d~s +
S 2
E · d~s =
q
4 πǫ 0
Ω
0
dΩ −
q
4 πǫ 0
Ω
0
dΩ = 0
Teorema de Gauss
Si hay varias cargas q i
, el campo creado en un punto de una superficie de
Gauss S es (principio de superposici´on):
E =
i
Ei
y el flujo es:
φ =
S
E · d~s =
S
E
1
E
2
· d~s =
ǫ 0
i
q i
La suma de las cargas se refiere solo a las est´an en el interior del volumen
encerrado por la superficie, mientras que el campo
E es el creado por
todas las cargas.
Teorema de Gauss
♦ Ejemplo
Campo creado por un hilo infinitamente largo, cargado con densidad lineal λ. E E E ds ds ds r S r E E E E l l l Por simetr´ıa
E es radial y su m´odulo es el mismo en todos los puntos a la misma distancia perpendicular del hilo. Tomemos como superficie de Gauss un cilindro centrado en el hilo de altura l. En la superficie lateral
E y d~s llevan la misma direcci´on, en las bases ambos vectores son perpendiculares.
Teorema de Gauss
S
E · d~s =
Sup. lateral
E · d~s +
Base sup.
E · d~s +
Base inf.
E · d~s =
Sup. lateral
E · d~s = E
Sup.lateral
ds = E 2 πr l
La carga encerrada dentro de la superficie S es:
q = λ l
Por el teorema de Gauss:
E 2 πrl =
λ l
ǫ 0
⇒ E =
λ
2 πǫ 0
r
