Elementos Cuadernillo 4, Ejercicios de Matemáticas

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Elementos de Matemática y Estadística

CUADERNILLO 4

UNIDAD 2: MATEMÁTICA FINANCIERA

Contenido

Unidad 2 – Cuadernillo 4

UNIDAD 2: MATEMÁTICA FINANCIERA

1. CONCEPTOS BÁSICOS

a.El dinero

Explicar con precisión qué es el dinero es muy difícil y es uno de los mayores puntos de debate entre economistas e historiadores. Esto se debe en gran parte a que la definición tiene efectos políticos y económicos inmediatos, es decir que los grandes tenedores de dinero (grandes empresas y estados) tratan de beneficiarse de ella. El Dinero existe para resolver el problema del intercambio: a partir de un grado mínimo de complejidad cultural, es imposible que una persona pueda producir todo lo que necesita para resolver sus necesidades o que logre obtenerlo por sí misma. Esta persona va a buscar cómo conseguir lo que le falta, usando aquellos bienes de los cuales dispone. El dinero es cualquier elemento que los miembros de una sociedad acepten como pago. Su función principal es ser un equivalente general para todas las mercancías. El dinero se caracteriza porque directamente es intercambiable por cualquier mercadería.

i. Funciones del dinero

Las funciones principales del dinero son:

1. Medida del valor: tanto de los bienes tangibles (cualquier mercancía) como los intangibles (servicios), se fija su valor en dinero.
2. Medio de circulación
3. Medio de comunicación
4. Medio de pago

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ii. Tipos de dinero

Dinero mercancía: Es la utilización de una mercancía (oro, plata, sal) como medio de pago en el intercambio de bienes. Dinero-signo: Billetes o monedas aceptados como medio de pago por imperio de la ley del país en cuestión. Dinero-giral: Son los depósitos bancarios.

iii. Antecedentes del dinero

Desde una perspectiva antropológica encontramos que usualmente un grupo pequeño de personas no necesita de la moneda para organizarse. Esto puede pasar incluso en estructuras bastante grandes. La moneda tenía un papel muy poco relevante, por ejemplo, durante la edad media europea, donde la propiedad era un atributo exclusivo del señor, quien repartía los bienes entre sus siervos según los criterios que considerara óptimos, exigiéndoles a cambio que trabajaran en sus tierras. Esto también se observa en muchas civilizaciones poco complejas, en las que el orden proviene de la estructura familiar, ya sea con un señor o patriarca que cumple el rol recién descripto. Otra forma simple de intercambio es el trueque: cambiar lo que se posee por lo que se necesita. Este método tiene la ventaja de ser muy inmediato y requerir poca organización. Se hace muy difícil llevar a cabo un trueque cuando la sociedad trafica con mucha variedad de bienes. Se necesita que cada persona sepa el valor de lo que posee con relación a todos los demás productos que existen, lo cual sería imposible para un mercado tan complejo como el nuestro. Como es tan difícil conocer los términos de intercambio1 para cada producto en el trueque, muchas civilizaciones terminan por tener un bien de referencia. Este bien de referencia se usa como punto medio, de tal forma que para cambiar el bien A por el bien B ofrecemos el bien A en el mercado, obtenemos a cambio^1 de él el bien de referencia y después usamos el bien de referencia para comprar la cantidad necesaria del bien B o de cualquier otro bien. Esto ya se parece a nuestra forma de vivir la economía. Si queremos cambiar de auto lo más usual no es hacer un trueque con el dueño de nuestro próximo vehículo, si no venderlo y usar el dinero obtenido para hacer el cambio. Los vendedores y compradores saben que cada bien tiene un precio medido en el bien de referencia, por ejemplo, cada fardo de trigo vale, digamos, una unidad del bien. El bien de referencia más famosa y difundida es el oro. Una ventaja de usar un metal para el intercambio es que se lo puede acuñar en forma de monedas, (^1) Es decir, cuántas unidades del producto A tengo que entregar para recibir una unidad del producto B.

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b.La Matemática Financiera

A medida que el dinero evoluciona junto con la sociedad se hace un elemento cada vez más importante y complejo. El dinero sirve como bien de comercio, de ahorro, de pago, de referencia, etc. Incluso tiene usos penales (la multa). El dinero es, además, un fenómeno complejo. El valor de la moneda, como el de todo bien, fluctúa según los efectos de los mercados, las leyes y las acciones económicas de los estados, empresas y sujetos. La matemática financiera es una disciplina sumamente importante porque nos permite medir el fenómeno del dinero y crear información valiosa sobre él. Esa información sirve para tomar decisiones sobre nuestra actividad monetaria, que tiene efectos importantes sobre nuestro entorno social. Conocer el verdadero precio de un producto, distinguir la cantidad de interés entregado en un préstamo, cuantificar la capacidad de retorno de una inversión son actividades clave que, si no fueran realizadas, dejarían librado al sistema económico en el caos. Si todos las realizan excepto nosotros, estamos claramente en una desventaja comercial. Es importante tener en cuenta que cuando hablamos de dinero no hablamos solamente de las ganancias de las empresas y los particulares y de la lógica del mayor beneficio: la moneda es un indicador de todas las actividades de una sociedad capitalista moderna y también está asociada a la solución de nuestros problemas, a la medida de cuánto trabajamos y producimos y a nuestra capacidad de crear un entorno donde podemos vivir lo mejor posible.

c. Los bancos

i. Origen

Los primeros bancos nacen en la Europa medieval (Venecia, Genova, Florencia), a mediados del siglo XII. En un principio ofrecían solamente servicios de depósito, pero rápidamente se multiplicaron y se diversificaron sus funciones. En la actualidad, las operaciones cotidianas de los bancos son los depósitos en cuentas de ahorro o en cuentas corrientes, prestamos, cobranzas, pagos, custodia de títulos y valores, alquileres de cajas de seguridad, etc.

ii. Banco Central

El sistema bancario está formado por el Banco central y los bancos comerciales.

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El Banco Central es la máxima autoridad del sistema financiero, ejecuta la política monetaria estipulada por el gobierno nacional. Sus funciones son:

1. Emisor exclusivo de la moneda de curso legal
2. Es el “banco de los bancos”: el resto de los bancos tienen una cuenta corriente en el Banco Central (así como los ciudadanos o las empresas tienen una cuenta corriente en un banco)
3. Es el asesor financiero del gobierno, al que le lleva sus principales cuentas
4. Custodia las reservas de oro y plata del país
5. Concede préstamos al resto de los bancos
6. Determina el tipo de cambio entre la moneda nacional y las extranjeras
7. Maneja la deuda pública
8. Ejecuta y controla la política financiera y bancaria del país.

iii. Bancos comerciales

Sus funciones principales son:

1. Aceptar depósitos
2. Otorgar adelantos y préstamos Los depósitos se denominan “pasivos”, por los cuales el banco paga un interés. Los préstamos son los activos (deudas de los clientes con el banco), por las cuales el banco cobra un interés. La diferencia entre estas dos tasas de interés es la ganancia del banco, denominada “Spread”(propagación o, en este caso, crecimiento de los valores acumulados).

d.Crédito

i. Definición

Es un préstamo que debe devolverse en un plazo previamente estipulado.

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Uno de los elementos fundamentales, en un análisis de inversiones es la tasa de internes a partir de la cual es posible:

1. Establecer la rentabilidad de la inversión a partir del costo de oportunidad.
2. Organizar los planes de financiamiento en las ventas a plazos.
3. Determinar el costo del capital.
4. Elegir las alternativas de inversión más apropiadas a corto y largo plazo.
5. Elegir entre distintas alternativas de costos.

f. Valor del dinero en el tiempo

El tiempo es un factor fundamental al momento de determinar el valor de un capital. El valor del dinero varía de acuerdo con:

1. La inflación
2. La oportunidad de utilizarlo en otras alternativas de inversión
3. El riesgo del crédito Dos sumas de dinero son equivalentes cuando sus montos son iguales, llevadas ambas a una fecha determinada. Por ejemplo, si tenemos una tasa de interés simple del 15% anual, y un capital de $1000, la cantidad equivalente a dicho capital dentro de un año será de $1150 ($100 más el 15% de interés). Una regla básica de la matemática financiera es la preferencia por la liquidez, que se expresa de en estos dos principios:
4. Ante dos capitales de igual valor no nominal en distintos momentos, preferimos el más cercano.
5. Ante dos capitales presentes en el mismo momento, preferimos el de mayor Importe. La preferencia por la liquidez es subjetiva, pero el mercado de capitales convierte a dicho valor en objetivo, a través de la tasa de interés.

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2. LAS OPERACIONES FINANCIERAS

a.Definición de operación financiera

Una operación financiera consiste en el reemplazo de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en otros momentos, mediante la aplicación del interés (simple o compuesto) La realización de una operación financiera implica:

1. La sustitución de capitales: se intercambia un capital por otro.
2. Equivalencia: para que un capital sustituya a otro, ambos deben ser equivalentes.
3. Aplicación de interés: La equivalencia entre dos capitales diferidos en el tiempo se basa en la aplicación de una tasa de interés (costo del dinero).

b.El interés

El interés es el monto que paga una empresa financiera para captar recursos, y el que cobra por prestarlos. El interés es el precio que se paga por utilizar un recurso prestado) el dinero) durante un periodo determinado. Es un factor de equilibrio que hace que un monto se dinero tenga su equivalente en cualquier momento futuro. Los componentes de la tasa de interés corriente (la aplicada por los bancos y las instituciones financieras) son:

1. El efecto de la inflación: Se denota en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda (a mayor inflación, mayor tasa de interés)
2. El efecto del riesgo: Depende del tipo de negocio, del monto de la inversión y de muchas otras variables (A mayor riesgo, mayor tasa de interés)
3. La tasa real: Es lo que el inversionista pretende ganar, libre de riesgos y de inflación. Generalmente, como parámetro para la tasa libre de riesgo se toman los bienes del tesoro de EEUU.

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i =

r

r = tasa de interés (en porcentaje)

Para nuestro ejemplo Cn = 6000 ⋅( 1 +

⋅ (^4) )= 6240

La diferencia entre el valor futuro y el valor actual es el interés ( I )

I = Cn − C 0 que también puede calcularse como: I = C 0 ⋅ n ⋅ i La tasa de interés y el plazo deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. En el régimen de interés simple la tasa es directamente proporcional al tiempo, por lo tanto la tasa para diferentes periodos se calcula sencillamente, con una regla de tres. A continuación desarrollaremos algunos ejemplos: Ejemplo 1 Se deposita un capital de $13000 durante 42 meses, a una tasa del 16% anual en régimen simple. Calcular el monto obtenido. Datos: {

C 0 = 13000

t = 42 meses

r = 16 % anual

Como las unidades en que están expresados el tiempo y la tasa de interés no coinciden, debemos modificar alguno de los dos. Si pasamos la tasa anual a mensual:

12 meses ------- 16 %

1 mes ------------ x =^

= 1 , 3 ^ % mensual

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El monto se calcula como:

Cn = 13 ⋅ 000 ⋅( 1 + 42 ⋅

1, ^ 3

Otra alternativa es dejar la tasa como estaba y expresar el tiempo en años:

VF= 13. 000 ⋅( 1 +

Ejemplo 2 Por un préstamo de $24600 se devuelven $26896. Calcular la tasa de interés simple anual aplicada, si el lapso fue de 8 meses. Datos:

C 0 = 24600

Cn = 26896

t = 8 meses

A partir de la fórmula general:

Cn = C 0 ⋅( 1 +

n ⋅ i

Ubicamos los datos y despejamos la incógnita

i

i

i

= i

= i

La tasa obtenida es mensual (ya que el tiempo estaba expresado en meses). Para obtener la tasa anual, simplemente multiplicamos por 12:

ianual =

. 12 = 14 % anual

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b.Descuento simple

i. Definición

Es la operación financiera en la cual se reemplaza un capital futuro por su equivalente en el presente. La operación es la inversa al cálculo de intereses que realizamos en la sección anterior. El descuento o actualización puede calcularse de dos maneras: Descuento racional: A partir de la fórmula vista para el cálculo del monto o

Cn , se despeja el^ valor actual o^ C 0.

Descuento comercial: Los intereses a descontar se calculan sobre el valor de monto (valor de la deuda en el futuro) con una tasa de descuento d. Nosotros vamos a trabajar únicamente con descuento racional.

ii. Fórmulas de cálculo para el descuento racional

Como dijimos, la fórmula del valor actual se obtiene a partir de la fórmula general de cálculo del monto C 0 = Cn 1 + i 100 ⋅ n El descuento es la diferencia entre el valor final o monto y el valor actual D = Cn − C 0

C 0 Cn

Capitalización Actualización

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iii. Descuento bancario

Es una operación por la cual el tenedor de un título de crédito (como un pagaré propio o de terceros) de la cede del banco. El banco le abona el importe del mismo, descontando intereses y gastos. El “valor nominal” es el monto que figura en el pagaré; el valor real es el que recibe el tenedor, una vez descontados los intereses. Ejemplo: Una persona descuenta un pagaré cuyo valor nominal es de $6800, con vencimiento a 7 meses. La tasa de descuento anual es del 24% y la comisión de cobranza es del 3,5%. Calcular el importe que recibe. Calculamos la tasa de descuento mensual:

rn =

Calculamos el descuento:

d = 6800 ⋅ 7 ⋅

Calculamos la comisión:

c = 6800 ⋅

El cedente recibirá:

c. Principio de equivalencia de capitales

Dos capitales C 1 y C 2 que vencen en los momentos n 1 y n 2 ;son

equivalentes cuando en un momento n tienen el mismo valor.

i. Aplicaciones del principio de equivalencia

La aplicación fundamental de este principio es el canje de capitales diferidos en el tiempo. Para determinar si dos capitales son equivalentes, debemos valorarlos en el mismo momento, y comprobar que sus montos son iguales. El momento de la valoración se denomina fecha focal. Se debe tener en cuenta que el cambio en la fecha focal provoca un cambio en los resultados obtenidos.

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Datos

{

VF= 61000

n=6,5 meses

r= 15% anual }

C 0 =

Si sumamos estas dos cantidades, obtenemos el valor original del préstamo:

C 0 1 ; 2 =44337,35+56416,2= 100753,

Ahora llevaremos esta cantidad a la fecha de cancelación:

Datos

{

C 0 =100753,

n= 5 meses

r= 15 % anual } Cn =100753,5⋅( 1 +

12 )

Las dos cuotas pactadas se sustituyen por un solo pago de $107050,6 que se abona el 1 de agosto. En la gráfica sería:

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2º) Otra alternativa es tomar como fecha focal aquella en la que se realiza el pago. El esquema es: La primera cuota debemos capitalizarla:

Datos :

{

C 0 = 46000

n= 2 meses

i= 15 % anual } Cn = 46000 ⋅( 1 + 2 ⋅

100 )

La otra deuda se debe actualizar o descontar, ya que se abonará un mes y medio antes de su vencimiento:

C 0 =

El monto a pagar es la suma de estas dos cantidades:

C = 47150 +59877,3= 107027,

Como vemos, el resultado es distinto según que fecha focal que se tome. Por esto, debe establecerse este factor previamente entre las partes.

https://youtu.b

e/p1x13I1ZjO

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