Elementos Cuadernillo 5, Ejercicios de Matemáticas

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Elementos de Matemática y Estadística

CUADERNILLO 5

UNIDAD 2: MATEMÁTICA FINANCIERA

Contenido

• Unidad 2 – Cuadernillo
  • a. Interés compuesto....................................................................................
    • i. Definición................................................................................................
    • ii. Fórmula general y fórmulas derivadas..................................................
    • iii. Equivalencia de tasas en interés compuesto........................................
    • iv. Tasas nominales y efectivas de interés................................................
    • v. Descuento compuesto...........................................................................
    • vi. Capitalización de pagos periódicos.......................................................
    • vii. Aplicación del principio de equivalencia de capitales........................
    • viii. Cálculo de cuotas iguales..................................................................

Unidad 2 – Cuadernillo 5 Cn = C 0 ⋅ ( 1 + i 100 ) n A partir de la misma se deducen las siguientes:

iii. Equivalencia de tasas en interés compuesto

En este régimen no hay proporcionalidad entre las tasas periódicas y subperiódicas. En primer lugar, debemos tener en cuenta su el interés se paga en forma anticipada (al comenzar el periodo) o en forma vencida (al finalizar el mismo). La equivalencia entre las tasas de interés adelantada ia y de interés vencida iv son: ia = iv 1 + iv iv = ia 1 − ia

iv. Tasas nominales y efectivas de interés

La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo efecto nominal en el período de capitalización. Cn = C 0 ⋅ ( 1 + i 100 ) n

C 0 =

Cn

(

i

100 ) n

i =

( n √

Cn

Co

)

n =

log

(

Cn

Co )

log

(

i

100 )

Elementos de Matemática y Estadística La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Es una tasa de interés simple en la que no se toma en cuenta la frecuencia de capitalización de los intereses. La tasa efectiva es aquella a la que realmente está depositado el capital. La relación entre la tasa nominal anual (TNA) y una tasa efectiva subperiódica viene dada por: TEA 100 = ( 1 + TNA 100 ⋅ n ) n − 1 TNA 100 = n ⋅ [( 1 + TEA 100 ) 1 n (^) − 1 ] TEA : tasa efectiva anual TNA : tasa nominal anual n : número de capitalizaciones en el año Las relaciones entre la TEA y la TNA con las tasas periódicas se expresan como: TNA = n ⋅ i 1 + TEA 100 = ( 1 + i 100 ) n i 100 = n √ 1 + TEA 100 − 1 Ejemplo 1 Se realiza un plazo fijo de $51000 por 21 meses con una TEA del 14% y capitalización trimestral. Calcular el monto obtenido. Primero calculamos la tasa trimestral: Datos: {

TEA = 14 %

n =

Elementos de Matemática y Estadística Calculamos la TEA: 1 +

TEA

(

ib 100 ) 6 1 +

TEA

=( 1 +

100 ) 6 TEA= 16

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youtu.be/

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Recurso

Multimedia 1

Ejemplo 3 Se toma un préstamo de $48000 a una TEA del 18% con capitalización cuatrimestral, y se devuelven $61200. ¿Cuál fue el plazo del préstamo? Calculamos primero la tasa cuatrimestral: Datos: {

TEA = 18 %

n =

=( 1 + ic 100 ) 3 ic =(^ 3 √1,18− 1 )⋅ 100 ic = 5,67 % Calculamos el tiempo: Datos: {

C 0 = 48000

Cn = 61200 ic =5,67 %

Unidad 2 – Cuadernillo 5 Reemplazando en la fórmula general de interés compuesto, nos queda: 61200 = 48000 ⋅ (

100 ) n 61200 48000

=(^ 1,0567 )

n Para despejar n aplicamos logaritmos en ambos miembros: log (^) (

48000 ) =log (1,0567) n Utilizando una de las propiedades de los logaritmos, pasamos el exponente n como factor: log(

48000 ) = n ⋅log(1,0567) n = log (

48000 ) log(1,0567) n = 4,4 cuatrimestres n ≈ 528 días

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Recurso

Multimedia 2

v. Descuento compuesto

El concepto es el mismo que para el régimen de interés simple: si un pago se adelanta, se descuentan los intereses correspondientes al periodo de adelantamiento:

Unidad 2 – Cuadernillo 5 G = 174000 ⋅

El importe a cobrar será: V = 16195 −487,2= 15707,

vi. Capitalización de pagos periódicos

Cuando se depositan cantidades iguales durante periodos iguales a lo largo de un lapso determinado, el valor final obtenido se calcula como:

Cn =

c ⋅

(

i

100 ) n

(

i

100 ) Cn = Monto acumulado c = cuota i = tasa de interés n = número de períodos Ejemplo Se realiza un ahorro de $200 por mes durante 4 años, a una TEA del 12%. Calcular el monto reunido. Calculamos la tasa mensual: im 100

12 √

im =0,95 % Calculamos el monto acumulado: Datos: { im =0,95 % c = 200 n = 4 años = 48 meses

Elementos de Matemática y Estadística Cn = 200 ⋅( 1 +

100 ) 48 − 1 0, 100 Cn = 12092

vii. Aplicación del principio de equivalencia de

capitales

El principio se aplica del mismo modo que en el régimen simple. Ejemplo (sustitución de capitales) Una empresa tiene las siguientes deudas con una entidad crediticia: Monto Fecha de vencimiento D 1 76000 10/ D 2 32000 26/ D 3 59000 9/ Se decide cancelar las tres deudas el día 15 de octubre. Si la TEA es del 17% con capitalización bimestral, calcular el monto del pago único, tomando como fecha focal 15/10. Calculamos la tasa bimestral ib =( 6 √

− (^1) )= 2,65 % Ubicamos los datos en una línea de tiempo:

Elementos de Matemática y Estadística Como tenemos dato la TNA, es muy sencillo calcular la tasa bimestral: TNA = i ⋅ n n =

18 = i ⋅ 6 ib = 3 % Ubicamos los datos en una línea de tiempo: Calculamos el valor original de la deuda: C 01 =

(

100 )

C 02 =

(^1 +^

100 )

El valor original de la deuda es de: C 0 =8016, 3 +11017,2= 19033, Ahora calculamos cuanto tiempo transcurre para que dicho valor actual sea equivalente al importe de pago único:

Unidad 2 – Cuadernillo 5 20100 =19033,5⋅( 1 +

100 ) n 20100 19033,

n 1,056=1, n log(1,056)=log(1, n ) log(1,056)= n ⋅log(1,03) n = log(1,056) log(1,03) n = 1,84 bimestres n ≈ 110 días El pago único deberá realizarse el 20 de julio.

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u.be/Z8NN9pT

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Recurso

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viii. Cálculo de cuotas iguales

Un problema muy común es el cálculo del valor de las cuotas para la compra de un determinado bien. Supongamos que un artículo tiene un precio de $16.000 al contado. Se ofrece la compra en cuatro cuotas de igual valor, con un interés mensual del 0,9%. Si bien el valor nominal de las cuotas va a ser el mismo, cada una tendrá una proporción diferente de capital e interés. La condiciones que deben cumplirse son:

• Todas las cuotas tienen el mismo valor nominal
• Su actualización debe sumar el valor al contado del bien. Para resolverlo, planteamos la actualización de las cuatro cuotas