Elementos Cuadernillo 8, Ejercicios de Matemáticas

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Elementos de Matemática y Estadística

CUADERNILLO 8

UNIDAD 4: PROBABILIDAD

Contenido

• Unidad 4 – Cuadernillo
  • 1. INTRODUCCIÓN............................................................................................
  • 2. CONCEPTOS BÁSICOS..................................................................................
    • a. Espacio muestral.......................................................................................
    • b. Suceso aleatorio........................................................................................
      • i. Operaciones con sucesos aleatorios.......................................................
      • ii. Relaciones entre sucesos aleatorios......................................................
  • 3. DEFINICIONES DEL TÉRMINO PROBABILIDAD...............................................
    • a. Definición clásica......................................................................................
    • b. Probabilidad como frecuencia relativa......................................................
  • 4. AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.

Unidad 4 – Cuadernillo 8

Los juegos de azar son ejemplos típicos de fenómenos aleatorios. Ya que en estos fenómenos no puede predecirse el resultado, la Teoría de la Probabilidad asigna a cada uno de los posibles resultados un valor que establece la probabilidad de que el mismo ocurra.

2. CONCEPTOS BÁSICOS

a.Espacio muestral

El espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del mismo. Por ejemplo, si nuestro experimento es lanzar la pelota en la rueda de la ruleta y observar cuál es el número en que la misma cae, el espacio muestral está conformado por los 36 números posibles. Si con la misma ruleta nuestro experimento es observar a qué docena corresponde el número que sale, el espacio muestral será

S ={ 1ª docena, 2ª docena, 3ª docena }.

Si observamos si el número que sale es par o impar, el espacio muestral será

S ={ número par , número impar}.

El espacio muestral puede ser discreto o continuo. Si es discreto , tiene un número finito de elementos (por ejemplo, para el experimento tirar un dado, el espacio muestral consta de seis elementos, que son los seis resultados posibles) Un espacio muestral continuo tiene infinitos elementos. Por ejemplo, para el experimento “medición de la estatura de los alumnos del curso de estadística”, el espacio muestral es infinito, ya que la variable a medir es continua.

b.Suceso aleatorio

Es cualquier subconjunto del espacio muestral determinado. Puede estar formado por un solo elemento o por varios.

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i. Operaciones con sucesos aleatorios

Tanto el espacio muestral como los sucesos aleatorios son conjuntos, por eso para representarlos es útil recurrir a la simbología y forma de operar del álgebra de conjuntos. El espacio muestral es equivalente al conjunto universal (U), formado por todos los sucesos posibles, que, en nuestro caso, representan a todos los resultados posibles de nuestro experimento. Habitualmente se lo simboliza con un rectángulo. Supongamos que nuestro experimento consista en sacar una bolilla de una bolsa en la que hay bolillas numeradas del 1 al 10. El espacio muestral sería: Un suceso se representa con una elipse dentro del conjunto universal. Por ejemplo, el suceso: “número menor que 4”

• Complemento de un suceso S Es el conjunto formado por todos los sucesos que no pertenecen a S. Se lo

simboliza habitualmente como ¯ S.

En nuestro ejemplo:

S

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A ={2,4,6,8,10}

B ={4, 8 }

Entonces B ⊂ A , ya que todos los elementos de B pertenecen también a

A.

• Sucesos Compatibles Son sucesos que pueden presentarse en forma conjunta. Por ejemplo, el suceso “sacar un número impar” y el suceso “sacar un número mayor que 5” son compatibles, ya que, dentro de nuestro universo, el 7 y el 9 cumplen con ambos requisitos. Es decir que dos sucesos son compatibles cuando su intersección no es vacía.
• Sucesos Incompatibles o Mutuamente Excluyentes Son aquellos que nunca pueden presentarse en forma conjunta. En nuestro caso, los sucesos “sacar un número par” y “sacar un número impar” son mutuamente excluyentes o incompatibles. Entre los sucesos compatibles siempre hay intersección, entre los incompatibles, la intersección es vacía. https://www.youtube.com/ watch? v=gtL8e9Cc4ZM&list=PLe 5ihyXCRmxec9GP_T9ND nSmm7PdQbkNH&index= 1

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A

B

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3. DEFINICIONES DEL TÉRMINO PROBABILIDAD

a.Definición clásica

La definición clásica de probabilidad se basa en el supuesto de que todos los resultados de un experimento son igualmente probables. Desde este punto de vista, la probabilidad de un suceso se calcula como el cociente entre el número de resultados favorables y el número de casos posibles. Por ejemplo, la probabilidad de que al tirar un dado perfectamente equilibrado salga el número 2, será:

P ( x = 2 )=

Ya que, de los seis casos posibles, solo uno representa un resultado favorable. https:// www.youtube.com /watch? v=zLrxv5qhaew&t =60s

Recurso

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La probabilidad de obtener un número par al tirar el dado, será:

P ( par )=

Ya que, de los seis resultados posibles, tres (el 2, el 4 y el 6) son favorables.

b.Probabilidad como frecuencia relativa

En este caso se calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento observando su frecuencia relativa. Por ejemplo, queremos estudiar la probabilidad de que durante el año 2010 nieve en la ciudad de Buenos Aires. En los registros climáticos se consigna que en los últimos dos siglos nevó tres veces en Buenos Aires. La frecuencia de nevadas es, entonces, de 3/200. Por lo tanto, la probabilidad de que nieve en Buenos Aires durante el año 2010 es de

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Cuando calculamos una probabilidad condicional, restringimos el espacio muestral. Por ejemplo, si calculamos la probabilidad de que llueva un día cualquiera en la capital de la provincia de Córdoba, recurrimos a los datos del Servicio Meteorológico Nacional, y obtenemos la siguiente información: en promedio se registran 92 días lluviosos por año. Entonces la probabilidad de que llueva un día cualquiera es:

P ( lluvia )=

Si miramos la información con mayor detalle, veremos que en esa provincia las lluvias ocurren generalmente en verano. De los 92 días lluviosos que se registran, en promedio, por año, 75 corresponden a la temporada primavera, verano, y el resto a otoño e invierno. Entonces la probabilidad de que llueva un día de primavera o verano es muy superior a la de que llueva en un día frío. La probabilidad de que llueva en primavera o verano es:

P ( llu / ver )=

P ( llu ∩ ver )

P ( ver )

Mientras que la probabilidad de que llueva un día cualquiera es de 0,252. Como vemos, la probabilidad de que llueva está condicionada por la estación del año. En este caso decimos que las variables “lluvia” y “estación del año” son dependientes. Si en cambio pretendiéramos establecer una relación entre la probabilidad de que llueva y el día de la semana, veríamos que no existe. Llueve tanto un martes como un sábado. En este caso decimos que las variables “lluvia” y “día de la semana” son independientes. Si dos variables A y B son independientes:

P ( B / A )= P ( A )

6) La probabilidad de ocurrencia de dos sucesos en forma conjunta se calcula como:

P ( A ∩ B )= P ( A ). P ( B / A )

Si A y B son sucesos independientes, la probabilidad de B si A es igual a la probabilidad de B. En ese caso

P ( A ∩ B )= P ( A )⋅ P ( B )

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Ejemplo En una fábrica se desea investigar el funcionamiento de dos máquinas. Se toma una muestra de las unidades producidas por cada una de ellas, y se obtiene la siguiente información: Se revisan 120 unidades producidas por la máquina A, de las cuales 24 están falladas. De la máquina B se revisan 150 unidades, de las cuales 35 están falladas. Para poder ver la información de manera más clara, armamos un cuadro de doble entrada: MÁQUINA A MÁQUINA B TOTALES SIN FALLA 96 115 211 FALLADOS 24 35 59 TOTALES 120 150 270 Si se toma una pieza al azar. i. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y no esté fallada? Esta es una probabilidad conjunta, es decir, debemos averiguar la intersección de los dos sucesos:

P ( B ∩ F ¯)=

ii. ¿Cuál es la probabilidad de que, si se toma una que no está fallada, haya sido fabricada por la máquina B? Esta es una probabilidad condicional. Nuestro universo ya no es el total de las piezas, si no solo aquéllas que no están falladas.

P ( B / ¯ F )= P

( B ∩ ¯ F )

P ( F ¯ )

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En los experimentos sin reposición, en cambio, la ocurrencia de un suceso se ve afectada por el suceso anterior. Supongamos que tenemos una bolsa con 12 bolillas numeradas del 1 al 6 (dos con el número 1, dos con el número 2, y así sucesivamente hasta el 6), y sacamos dos. Luego de sacar la primera no la volvemos a poner en la bolsa. Entonces, la probabilidad de sacar una primera bolilla con el número 4 es:

P ( 4 )=

Pero la probabilidad de sacar una bolilla con el número 4 en la segunda extracción dependerá de lo que salió en la primera. Si en la primera salió un 4, quedan 11 bolillas y solo una con el número 4; entonces

P ( 4 )=

Si en la primera extracción no salió un 4, la probabilidad de que salga en la segunda es:

P ( 4 )=

Ya que quedan 11 bolillas, y dos de ellas tienen el número 4. Entonces la probabilidad de sacar dos 4 será:

P ( 4 y 4 )=

https:// www.youtube.com/ watch? v=tuZj4dTqZm0&index =3&list=PLe5ihyXCRm xec9GP_T9NDnSmm PdQbkNH

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