Elementos de Matemática y Estadística, Apuntes de Estadística

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Elementos de Matemática y Estadística

CUADERNILLO 9

UNIDAD 9: Nociones de cálculo actuarial

VPF > VPA

Por el hecho de involucrar probabilidades, se puede decir que el cálculo actuarial va más allá de una valoración económica simple, y en la medida en que los supuestos de cálculo sean los correctos, el valor calculado finalmente, se acercará en mayor medida al valor real. Los modelos actuariales utilizan variables aleatorias para proyectar el comportamiento de las observaciones de la vida real. Se debe estudiar primero las características demográficas del grupo, así como el entorno económico del país para estar en condiciones de realizar proyecciones. Supuestos de cálculo Las Hipótesis Actuariales son suposiciones empleadas en forma sistemática para estimar la probable ocurrencia de eventos futuros que pudieran generar o evitar el pago de beneficios, y así determinar el monto de la obligación contraída. Estas suposiciones están fundamentadas en la extrapolación de la experiencia, es decir, reconociendo el hecho de lo que sucedió en el pasado, como una guía de lo que es probable pase en un futuro, por lo que estas hipótesis deben ser consideradas como meras estimaciones. Hipótesis Demográficas: Contempla las estadísticas del número de trabajadores por edad, antigüedad, sexo, tipo de contratación, número de trabajadores fallecidos, que sufrieron algún tipo de invalidez o que fueron despedidos justificadamente o injustificadamente, que se retiraron voluntariamente, etc. Hipótesis Biométricas: Contempla las tablas de mortalidad, invalidez, rotación y algunas otras de acuerdo a la naturaleza del plan, de donde son obtenidas las probabilidades necesarias para el desarrollo del cálculo. Tablas de Mortalidad La tabla de mortalidad constituye una herramienta estadística relativamente compleja que resume la experiencia de mortalidad de una población. Su desarrollo representa la probabilidad de fallecimiento de un determinado grupo hasta su extinción, mostrándose a diferentes edades. Aspectos a considerar en el uso de las tablas de mortalidad

• La probabilidad de muerte se incrementa de la misma forma que aumenta la edad.

• Las mujeres tienden a tener una probabilidad de muerte menor a la de los hombres a cualquier edad. Se deben considerar de 3 a 5 años menos para calcular la probabilidad de muerte de las mujeres.
• Otro factor que hay que tomar en cuenta es el de la ocupación, existen actividades cuyo riesgo es muy alto.
• Después del retiro esta es la única variable biodemográfica que afecta al grupo de los ya jubilados.
• En los últimos años se ha incrementado la esperanza de vida de la población. Una tabla de mortalidad está formada por un conjunto de funciones biométricas, de las cuales nos interesarán fundamentalmente dos: lx y dx.. Adoptaremos la convención de representar con la letra x la edad de las personas (en años enteros). Suponiendo que partimos de un número determinado de personas que tienen todos ellos edad 0, a esa cantidad de personas le llamaremos l 0 , y diremos que constituye el número de integrantes del grupo inicial. No se permiten ingresos más allá del grupo inicial l 0 , y las únicas disminuciones se producen como consecuencia de la muerte de sus integrantes. Al llegar a la edad x, consideramos que el grupo de sobrevivientes, está integrado por l (^) x personas integrantes del grupo inicial l 0. Así, si una tabla de mortalidad indica que l 0 = 100.000 y que l 21 = 96.000 podemos concluir que del grupo inicial de 100.000 personas, han alcanzado exactamente la edad de 21 años 96.000 personas, y por ende, el número de fallecimientos de personas del grupo inicial entre la edad 0 y la edad 21 asciende a 4.000. Llamaremos w a aquella edad, considerada en la tabla, a la que ya no queda ningún sobreviviente del grupo inicial. Tendremos pues: lw = 0 Representaremos con dx al número de personas del grupo inicial que muere después de cumplir la edad x y antes de cumplir la edad x + 1. De acuerdo con los supuestos realizados, este número puede ser calculado como la diferencia entre el número de personas que llegaron con vida exactamente a la edad x de los que integraban el grupo inicial (lx), menos el número de personas que llegaron con vida exactamente a la edad x + 1 de los que integraban el grupo inicial (lx+1 ) y entonces: dx = lx – l (^) x+

M : monto a cobrar lx : contratantes vivos a la edad x v: factor de actualización v k =

(^1 +^ i 100 ) k lx + k : contratantes vivos a la edad x + k Seguro de muerte pagadero en el momento del fallecimiento: Es el seguro que se le abona a la persona designada a tal efecto en el momento del fallecimiento del contratante. Su costo se calcula del siguiente modo: CPSM (^) x =√ 1 + i ⋅

M

lx ∑ k = q 99 − x [ dx + k ⋅ v k + 1 ] x: edad actual i: tasa de interés q: años de diferimiento M: monto del seguro dx + k = lx + k − lx + k + 1 lx : contratantes vivos a la edad x v: factor de actualización

Ejemplos de resolución de ejercicios

1. De los hombres que llegan a los 40 años, ¿cuántos viven 70 o más años? P ( x ≥ 70 / x ≥ 40 )= P ( x ≥ 70 ) P ( x ≥ 40 )

El 66,9% de los hombres que llegan a los 40 años viven 70 años o más

2. De las mujeres que llegan a los 60 años, ¿cuántas mueren antes de cumplir los 80 años? P ( x ≤ 80 / x ≥ 60 )= P ( 60 ≤ x ≤ 80 ) P ( x ≥ 60 )

l 60 − l 80 l 60

El 41,24 de las mujeres que llegan a los 60 años fallece antes de cumplir 80 años.

3. Calcular el costo de un seguro dotal para una mujer de 45 años que desea cobrar $800.000 al llegar a los 70 años. (tasa de interés 6% anual) C ( SDP )= M ⋅ ( lx + n lx ) (^1 +^ i 100 ) n M = 800000 x= 45 x + n = 70 n = 25 i = 0, Buscamos en la tabla de mujeres: l 70 = 7445 l 45 = 9409 Armamos la fórmula: C ( SDP )= 800000 ⋅

(^1 +^

100 )

25 =^147490