Elementos de Matematica y EstadisticA, Apuntes de Estadística

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Elementos de Matemática y Estadística

CUADERNILLO 7

UNIDAD 3 : ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Contenido

Unidad 3 – Cuadernillo 7

UNIDAD 3 : ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1. ESTADÍSTICA: DEFINICIÓN Y OBJETO La palabra “estadística” se utilizó originaria- mente para designar el conjunto de aquellos datos demográficos y económicos de importan- cia vital para un Estado. En la actualidad se ha convertido en un método científico de recolec- ción y análisis de datos, que se aplica a todas las ciencias sociales y naturales. Existen múltiples razones por las cuales es prácticamente imposible conocer la totalidad de un fenómeno. Supongamos que queremos realizar un es- tudio acerca la parte del ingreso total que cada familia de Argentina dedica a la cultura. En primer lugar, debemos definir con preci- sión a qué denominamos “gasto en cultura”: estableceremos como tal el dedicado a los es- pectáculos (cine, teatro, circo, etc.); a la com- pra de libros y objetos de arte, a la visita a ex- posiciones de arte y a los cursos extra escola- res relacionados con el arte y la cultura.

Presentación

del Tema

Una vez establecida la variable a analizar, nos encontraremos con el proble- ma de que es imposible realizar una encuesta en todos los hogares del país, por razones de costo y de tiempo. De manera tal que se deberá determinar una muestra o subconjunto de la población total en la que se tomarán los datos; y a partir de esa información se extrapolarán los resultados obtenidos al total de la población. La estadística es la ciencia que brinda las herramientas necesarias para es- tablecer una muestra que sea representativa del total de la población, y para extrapolar los datos con la mayor precisión posible.

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a. Definiciones básicas

i. Experimento y unidad experimental. Variables

El experimento es la observación sistemática de un fenómeno, con el objeti- vo de conocer su dinámica. La unidad experimental es cada uno de los elementos que se observan en el experimento. En nuestro ejemplo, el experimento será la realización de una encuesta en cada uno de los hogares establecidos. La unidad experimental son los hogares. A cada unidad experimental se le asignará un valor determinado, de acuerdo a lo observado y a las reglas preestablecidas. Ese valor se denomina dato es- tadístico. Si continuamos con nuestro ejemplo, los datos estadísticos que recogeremos son números que indican el porcentaje de su ingreso que cada familia dedica a la cultura. Una variable es cualquiera de las características observables que posee una unidad experimental. En nuestro ejemplo, la variable en estudio es “porcentaje del ingreso dedica- do a la cultura”. El recorrido de la variable es el conjunto de valores que la misma puede asu- mir. De acuerdo con su recorrido, las variables se clasifican de la siguiente ma- nera:

VARIABLES

CUALITATIVAS

CUANTITATIVAS

ESCALA NOMINAL

ESCALA ORDINAL

DISCRETAS

CONTINUAS

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b. Etapas en la tarea Estadística

Formulación ¿Qué vamos a estudiar?

del problema

Definición del

universo

¿Sobre quién vamos a estudiar?

(determinación de los individuos u

objetos de nuestra investigación)

Determinación de

los instrumentos de

medición

¿Qué medimos? ¿De qué manera?

Se determinan las variables en estudio y

se diseñan los cuestionarios a utilizar.

Se pueden recopilar datos del total del

universo o de una muestra, de acuerdo

con las características de cada

investigación

Recopilación de

datos

Ordenamiento y

presentación de los

datos

Los datos pueden presentarse en listas,

tablas, cuadros, gráficos, etc.

Análisis estadístico

de los datos

Análisis descriptivo: Se caracteriza el

comportamiento de la variable en estudio

mediante parámetros calculados a partir

de los datos recopilados y ordenados.

Análisis Inferencial: Cuando la

recopilación de los datos se realizó sobre

una muestra, el análisis inferencial permite

inducir valores poblacionales de la variable

en estudio, a partir de los datos

muestrales.

Interpretación de

los resultados

Se establece la correspondencia entre los

resultados obtenidos (expresados como

parámetros estadísticos) y la variable en

estudio.

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Para comprender mejor todos estos conceptos, desarrollaremos un ejemplo , al que iremos completando con cada uno de los conceptos a estudiar. El Banco Esmeralda tiene 10 sucursales distribuidas entre las provincias del Noreste argentino. Su directorio se propone lanzar una nueva línea de créditos personales no hipotecarios. Para diseñar adecuadamente el producto, solicita al Departamento de Estadística un estudio exhaustivo acerca de los clientes que han tomado créditos personales durante los últimos años. El Departamento de Estadística se propone estudiar las siguientes variables, para establecer el perfil de los tomadores de créditos personales en el banco:

• Número de integrantes del grupo familiar
• Ocupación del tomador del crédito
• Nivel educacional del tomador del crédito
• Ingreso mensual promedio del grupo familiar
• Monto del crédito solicitado
• Número de cuotas estipulado para la devolución del crédito Se toma una muestra de 50 créditos otorgados a lo largo de los años 20 19 y 2020. A partir de estos datos, esbozaremos los primeros pasos de la tarea estadís- tica para esta investigación:

Caracterización de los tomadores de

créditos personales en el Banco

Esmeralda durante los años 2019 y 2020

Formulación

del problema

Definición del

universo

Tomadores de créditos personales en

el Banco Esmeralda durante los años

2019 y 2020

Determinación de

los instrumentos de

medición

Se medirán las variables establecidas (1 a

6), de la manera que estableceremos en la

próxima sección

Recopilación de los

datos

Se tomará una muestra de 50 tomadores

de créditos seleccionados al azar dentro

del universo establecido.

Ordenamiento y

presentación de los

datos

Los datos se presentarán en tablas, a partir

de las cuales se construirán gráficas y se

calcularán las medidas representativas

para cada variable analizada.

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zana, podemos realizar un muestreo aleatorio simple para seleccionar las fami- lias a entrevistar.

iii. Ordenamiento y presentación de los datos

En primer lugar, vamos a clasificar a las variables en estudio:

• Número de integrantes del grupo familiar Es una variable cuantitativa discreta. En nuestro caso, el recorrido de la mis- ma es de 1 a 6, es decir que las familias estudiadas tienen entre 1 y 6 integran- tes.
• Ocupación del tomador del crédito Esta es una variable cualitativa nominal. A los efectos de este estudio, se le asignarán los siguientes valores: ✔ Trabajador/a independiente con profesión universitaria (TI-PU) ✔ Trabajador/a independiente con profesión no universitaria (TI-PnoU) ✔ Empleado/a no jerárquico (E no J) ✔ Empleado/a jerárquico (EJ) ✔ Ama/o de casa (AC)
• Nivel educacional del tomador del crédito Esta es una variable cualitativa ordinal, a la que se le asignaron los siguien- tes valores: ✔ Primaria incompleta (PI) ✔ Primaria completa (PC) ✔ Secundaria incompleta (SI) ✔ Secundaria completa (SC) ✔ Universitario incompleto (UI) ✔ Universitario completo (UC)
• Ingreso mensual promedio del grupo familiar Esta es una variable cuantitativa continua.

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Para poder ordenar los datos, se agruparon en intervalos de frecuencia des- de un valor mínimo de $3.000 hasta el máximo de $13.000, con una amplitud de $2.000 por intervalo.

• Monto del crédito solicitado Esta también es una variable cuantitativa continua. Se ordenaron los datos en intervalos de frecuencias desde un mínimo de $5.000 hasta un máximo de $20.000, con una amplitud de $2.500 por intervalo.
• Número de cuotas estipulado para la devolución del crédito Variable cuantitativa discreta. Los valores que asumió en este estudio fueron 6, 12, 18 y 24 (cuotas mensuales) A continuación presentaremos los datos recopilados para cada una de las variables analizadas. X representa los diferentes valores que asume la variable. F(x) indica la fre- cuencia absoluta obtenida para cada uno de esos valores. Por ejemplo, para la primera variable analizada, de las 50 familias encuestadas, 2 están integradas por una persona, 12 familias por dos personas, 14 por 3, en 5 familias hay 5 in- tegrantes, y hay solo una familia con 6 personas. Número de integrantes del grupo familiar x f(x) 1 2 2 12 3 14 4 16 5 5 6 1 Total 50

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Los paréntesis (también pueden usarse corchetes invertidos) indican que el límite superior del intervalo se incluye en el intervalo inmediato inferior. En el primer intervalo se agrupan las familias cuyo ingreso es inferior a $5.000. En el segundo, las familias cuyo ingreso es igual o superior a $5.000 e inferior a $7.000. Monto del crédito solicitado x f(x) [5.000 – 7.500) 6 [7.500 – 10.000) 9 [10.000 – 12.500) 12 [12.500 – 15.000) 14 [15.000 – 17.500) 7 [17.500 – 20.000) 2 Total 50 Número de cuotas x f(x) 6 9 12 16 18 6 24 19 Total 50 El primer ordenamiento de datos que se realiza es éste. Una tabla de doble entrada es una herramienta útil para visualizar rápidamente los datos. Otros parámetros que se calculan habitualmente son: Frecuencia absoluta acumulada: Es la suma de las frecuencias absolutas simples. Tomemos como ejemplo la variable: ingreso mensual promedio del grupo fa- miliar:

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X = INGRESO DEL GRUPO FAMILIAR X F(X) Fac(X) [3.000 – 5.000) 3 3 [5.000 – 7.000) 11 14 [7.000 – 9.000) 16 30 [9.000 – 11.000) 10 40 [11.000 – 13.000) 7 47 [13.000 – 15.000) 3 50 TOTAL 50 La frecuencia acumulada absoluta es útil para visualizar rápidamente cues- tiones tales como: ¿Cuántas familias tienen un ingreso inferior a $9.000? 30 familias. ¿Cuántas familias tienen un ingreso superior a $7.000? 50 – 14 = 36 fami- lias. Frecuencia relativa simple: Se divide la frecuencia absoluta por el total de los datos (en nuestro caso, 50) La frecuencia absoluta simple nos da la proporción de la muestra en estudio que asume un valor determinado de la variable. Frecuencia relativa acumulada: Es la suma de las frecuencias relativas simples. Si continuamos trabajando con la variable “ingreso del grupo familiar”, tene- mos:

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2. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS...........................................................................

Los gráficos estadísticos son también una herramienta muy útil para visualizar la distri- bución de la variable en estudio.

a. Gráficos de variables discretas...............................................................

i. Gráfico de barras:

Este tipo de gráficos se utilizan generalmente cuando la variable en estudio es cualitativa. Sobre uno de los ejes se ubican las bases de las barras (habitual- mente en el eje x); y sobre el otro la frecuencia absoluta. La longitud de cada barra es proporcional a la frecuencia absoluta para ese valor de la variable. Es muy sencillo realizar estos gráficos utilizando el programa Excel (segura- mente lo verán en Informática). Se copia la tabla en una hoja de cálculo del pro- grama, se la ilumina, y luego se aprieta “insertar gráfico”. Aparecerá un asisten- te, en el que se puede seleccionar el tipo de gráfico y el formato. Nosotros haremos como ejemplo el gráfico de barras de la variable “nivel educacional del tomador del crédito”. X= NIVEL EDUCACIONAL DEL TOMADOR DEL CRÉDITO X F(X) PI 1 PC 4 SI 11 SC 21 UI 6 UC 7

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ii. Gráfico circular

Se utiliza en los mismos casos que los gráficos de barras. En este caso, se considera que el total de la circunferencia (360º) es el total de los datos (en nuestro caso, 50). Cada valor de la variable quedará represen- tado por un sector circular proporcional a su frecuencia. Por ejemplo, para el mismo ejemplo anterior, si queremos calcular el sector que le corresponde a los tomadores de crédito con secundaria completa: 50 ------------------ 360º

21 ------------------ x =

Los gráficos circulares o de torta también se confeccionan fácilmente con el Excel.

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iii. Ojiva de Frecuencia Acumulada:

Se utiliza también para las variables continuas. En el eje de abscisas se colocan los extremos de los intervalos de frecuen- cias, y en el eje de ordenadas los valores de la frecuencia acumulada para cada intervalo. Para la misma variable anterior, la ojiva toma esta forma:

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3. MEDIDAS DE POSICIÓN..............................................................................

Las medidas de posición son valores numéricos que caracterizan a una dis- tribución de frecuencias.

a. Media aritmética.....................................................................................

Es el promedio de los datos de una distribución. Para las variables discretas que no están agrupadas en intervalos de fre- cuencias, se calcula mediante la siguiente fórmula: ¯ x =^ ∑ ( xi ⋅ f^ i ) n Calcularemos la media aritmética de nuestra variable: “Número de Integran- tes del Grupo Familiar”. A la tabla original, le agregamos una columna cuyo contenido es el producto de cada valor de la variable por su frecuencia absoluta X= NÚMERO DE INTEGRANTES DEL GRUPO FAMILIAR X F(x) Xi. Fi 1 2 2 2 12 24 3 14 42 4 16 64 5 5 25 6 1 6 TOTAL 50 163 La media aritmética es el cociente entre la suma de los productos efectua- dos y el número total de datos:

¯ x =^