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ESPACIOS VECTORIALES REALES
Nociones previas
Antes de definir la estructura algebraica de espacio vectorial necesitamos conocer otras estructuras algebraicas, el grupo y el cuerpo.
- Un GRUPO es una estructura algebraica formada por un conjunto G de elementos y una operación interna y cerrada que opera con los elementos del conjunto G y que cumple las siguientes propiedades :
- _Asociativa:
- Existencia en G de elemento neutro:
- Existencia del opuesto de cualquier elemento de G:
- Si además la operación es conmutativa: el grupo se denomina conmutativo o abeliano._
- Un CUERPO es una estructura algebraica formada por un conjunto K de elementos y dos operaciones internas y cerradas, suma y producto interno que verifican: (K,+) tiene estructura de grupo. El producto interno verifica las siguientes propiedades : _- Asociativa:
- Distributiva respecto de la suma:
- Existencia en K de elemento neutro:
- Existencia del inverso de cualquier elemento de K distinto del neutro de la suma:_
Espacio vectorial
Es una estructura algebraica formada por:
- Un grupo conmutativo (V,+) cuyos elementos se denominan vectores.
- Un cuerpo conmutativo (K,+, F 0D 7) cuyos elementos se denominan escalares.
- Un producto externo que opera un escalar (k F 0C EK) con un vector (v F 0C EV) dando como resultado un vector (k F 0D 7v F 0C EV). Cumple las siguientes propiedades : _- Distributiva respecto de la suma de vectores:
- Distributiva respecto de la suma de escalares:
- Pseudoasociativa:
- El elemento neutro coincide con el neutro del producto del cuerpo K:_
Ejemplos de espacios vectoriales es el conjunto de pares de números reales es el conjunto de ternas de números reales es el conjunto de n-tuplas o n-adas de números reales Propiedades de los espacios vectoriales
- El producto de un escalar por el vector nulo es el vector nulo:
- El producto del escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo:
- Si entonces o bien o bien. Ejemplo
En hay infinitas ternas de vectores linealmente independientes, basta que no sean coplanares. Cuatro o más vectores de serán necesariamente linealmente dependientes. Coordenadas de un vector Si un vector v es combinación lineal de los vectores , , las coordenadas de v respecto de los vectores son los escalares. Propiedades
- Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede contener al vector nulo^1.
- Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede contener dos vectores iguales ni dos vectores proporcionales^2.
- Teorema de unicidad de las coordenadas: Si un vector v es combinación lineal de un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces las coordenadas de v respecto de esos vectores son únicas. Sistema generador y base de un espacio vectorial Sistema generador de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores tales que todo vector de V sea combinación lineal de ellos:
Base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores que además de ser sistema generador son linealmente independientes. Observaciones a la definición anterior
- Base = Sistema de referencia
- Puesto que una base es un sistema generador, todo vector del espacio queda precisado mediante sus coordenadas en relación a la base, al ser tal especificación única por ser los vectores de la base linealmente independientes (teorema de unicidad de las coordenadas).
(^1) Cualquier conjunto de vectores que contenga al será linealmente dependiente, ya que es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores 2 Cualquier conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales o dos vectores proporcionales será linealmente dependiente
- La elección de una base equivale entonces a escoger un sistema de referencia con respecto al cual situar los elementos de dicho espacio. Ejemplo Dado el conjunto de vectores a) Comprobar que es un sistema generador de b) Hallar las coordenadas del vector (0,1) respecto de dichos vectores c) Demostrar que es base de d) Hallar las coordenadas del vector (0,1) respecto de dicha base Teoremas de las bases
- De todo sistema generador finito de un espacio vectorial puede extraerse una base.
- Si un espacio vectorial tiene una base con vectores, entonces todo conjunto de vectores linealmente independientes es base de.
- Si un espacio vectorial tiene una base con vectores, entonces no pueden existir más de vectores linealmente independientes en.
- Si un espacio vectorial tiene una base con vectores, todas las bases de tienen vectores. Consecuencia Base = Sistema generador mínimo Mínimo número de coordenadas necesarias para determinar a cualquier vector del espacio = número de vectores que componen una base cualquiera del espacio = máximo número de vectores linealmente independientes en el espacio. Bases canónicas Todo vector puede expresarse de la siguiente forma:
A los vectores se les llama base canónica de. Demostración: a) Son linealmente independientes
, luego ya sabemos que el rango va a ser al menos igual a dos y que los vectores y son linealmente independientes. Terminamos añadiendo : , por lo que el rango no ha subido a tres y es combinación lineal de y ; en concreto,. Entonces,. Aplicaciones prácticas del cálculo del rango
- Conocer el máximo número de vectores linealmente independientes que hay en un conjunto de vectores.
- Saber si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores dados. Ejercicio Averiguar si son base de los siguientes vectores:
Ejercicio En el espacio vectorial se consideran los vectores. Encontrar la relación que debe existir entre a y b para que los tres vectores sean linealmente dependientes. Ejercicio Dados los vectores : a) ¿Son linealmente independientes? b) ¿Son sistema generador? c) ¿Forman base? d) Seleccionar entre ellos una base y calcular las coordenadas respecto de ella del vector (2,-1,-3)
Cambio de base en un espacio vectorial Sea en un espacio vectorial tal que con y. Buscamos la relación entre las coordenadas de un vector en la basey, conociendo las coordenadas de en términos de los
- Ecuación matricial de cambio de base: , Matriz del cambio de base =
- Propiedades
- es una matriz regular: y en consecuencia
- ,
SUBESPACIOS VECTORIALES
Un subespacio vectorial S de un espacio vectorial V es un subconjunto de V que tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones que V. Observaciones De las propiedades de espacio vectorial se deduce que han de cumplirse los siguientes requisitos;
- (suma cerrada en S )
- (^) (producto por escalar cerrado en S )
- (existe el neutro en S )
- (existe el opuesto en S ) Caracterización de los subespacios vectoriales es subespacio vectorial de V si
Variedad lineal Dado un conjunto de vectores , el conjunto de vectores generados por ellos forman un subespacio vectorial: es un subespacio vectorial que se denomina variedad lineal generada por y que se denota por. En consecuencia, los vectores son un sistema generador del subespacio S. Ejemplo
Base de un subespacio vectorial Es cualquier sistema generador del subespacio S que esté formado por vectores linealmente independientes. Ejemplo es un sistema generador del subespacio anterior pero no es una base. Una base podría ser o. Observación
Todos los conceptos ya vistos en relación con los espacios vectoriales, tales como bases, coordenadas, etc, son extensibles a los subespacios vectoriales, ya que un subespacio vectorial no es más que un espacio vectorial dentro de otro. Dimensión de un subespacio vectorial Dim(S) = Máximo número de vectores linealmente independientes que pueden encontrarse en S = Número de vectores de una base cualquiera de S Dado que Casos: Si dim( S ) = 0 y si dim( S ) = dim( V ) Si , ya que son un sistema generador de S. Subespacios vectoriales y sistemas homogéneos El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo AX = 0 con y con m < n , es un subespacio vectorial de es un subespacio vectorial de. Rango( A ) = Número de ecuaciones no redundantes en AX = 0 = Número de filas en A que son linealmente independientes = Número de coordenadas que no están libres en los vectores de S. En consecuencia, tenemos que dim( S ) = dim( V ) – rango( A )
, tenemos que y podemos despejar tres variables en función de una variable libre: los vectores de S son de la forma , por lo que el vector es una base de S y las ecuaciones paramétricas de S son. Ejercicio Se consideran los siguientes subespacios:
a) Obtener las ecuaciones cartesianas de b) Obtener una base y las ecuaciones paramétricas de Ejercicio Dado el subespacio generado por los vectores , hallar una base y las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio.
