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Adición de sistemas de fuerzas coplanares
Ejemplo: Determine magnitud y orientación de la fuerza resultante
a) Notación escalar: ∑Fx = Rx Rx = 600 (cos 30) – 400 (sen 45) Rx = 236.8 N
∑Fy = Ry Ry = 600 (sen 30) +400 (cos 45) Ry = 582.8 N
La magnitud de la fuerza resultante = FR = ((236.8 2 + 582.8 2 ) ½ El ángulo de dirección θ será: θ = tan -^1 Ry/ Rx =(582.8 / 2 3 6.8) = 67.9°
b) Notación Vectorial Expresando cada fuerza como un vector cartesiano resulta: F1 = 600 cos 30° i + 600 sen 30° j F2 = - 400 sen 45° i + 400 cos 45° j
Asi la fuerza resultante sera: FR = (600 cos 30°- 400 sen 45°) i + (+ 600 sen 30°+ 400 cos 45°) j FR = (236.8 i + 582.8 j)
Vectores cartesianos
Todas las operaciones del algebra vectorial aplicadas a la solución de problemas en tres dimensiones se simplifican mucho si primero los vectores se expresan de forma cartesiana. Para el desarrollo de estas operaciones se considera un sistema derecho de coordenadas en el cual el eje z siempre esta hacia arriba (cenit) y al cerrar la mano los dedos indiquen la parte positiva de los ejes X y Y. Las componentes rectangulares de un vector en tres dimensiones podrán obtenerse mediante una aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo, por ejemplo el vector mostrado podrá resolverse en sus componentes A = (A’ + Az) ; A’ = Ax + Ay. De modo que A= Ax +Ay + Az el que puede ser expresado como vector cartesiano a través de los vectores unitarios cartesianos quedando que A= Ax i+Ay j + Az k.
Sistema derecho de coordenadas Componentes de vectores
La magnitud de este vector será A =( Ax +Ay + Az) ½ La dirección se define por los ángulos directores coordenados (Cosenos directores) donde Cos α= (Ax/ A ) Cos β= (Ay/ A ) Cos γ= (Az/ A )
El vector unitário de direccion de A de manera vectorial será: UA = (Ax/ A) i + Ay/ A) j + Az/ A) k UA = cos α i + cos β j + cos γ k
De estas ecuaciones se deduce que: (cos α)^2 + (cos β)^2 + (cos γ)^2 = 1 De manera general si se conocen los ángulos directores y la magnitud de A, este puede expresarse en forma vectorial como: A = A UA A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k
La fuerza resultante será el vector suma de todas las fuerzas en el sistema FR = ∑Fx i+ ∑Fy j+ ∑Fz k
Ejemplos
1. Determine la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante.
FR = F1 + F
FR = (60 j + 80 k) + ( 50 i – 100 j + 100 k) FR = (50 i – 40 j + 180 k) lb
La magnitud de la fuerza resultante será: FR = ((50) 2 +(– 40) 2 + (180) 2 ) = 191 lb
Los cosenos directores se encuentran de las componentes del vector unitario UFR = (FR/ FR)= (50/191 i – 40/191 j + 180/191 k) lb
De manera que: cos α = 50/191 por tanto α = 74.8° cos β = – 40/191 por tanto β = 102 ° cos γ = 180/191 por tanto γ = 19.6 °
4. Determine los ángulos directores de F2 si la fuerza resultante debe tener un magnitud de 800 N y actuar en la dirección positive de Y.
FR = F1 + F
FR = (0 i + 800 j + 0 k) N F1 = F1 UF1 = ( 300 cos 45° i + 300 cos 60° j + 300 cos 120° k) N F1 = (212.1 i + 150 j – 150 k) N F2 = F2 UF2 = F2x i+ F2y j + F2z k
Sabemos que las componentes de la resultante son la suma de las fuerzas actuantes por tanto: 0 i N = 212.1 i + F2x i de donde, F2x = - 212.1 N 800 j N= 150 j + F2y j de donde , F2y = 650 N 0 k N= - 150 k + F2z k de donde , F2z = 150 N
De manera lógica resulta que: F2x = F 2 cos α Sustituyendo y despejando α =108° F2y = F 2 cos β Sustituyendo y despejando β =21.8° F2z = F 2 cos γ Sustituyendo y despejando γ =77.6°
Vectores de posición
Los puntos en el espacio se hacen referentes al origen de las coordenadas. Un vector de posición se define como un vector fijo que localiza un punto en el espacio respecto a otro. Este podrá ser expresado de manera vectorial como r = xi + yj + zk. El vector de posición entre dos puntos AB se calcula por la expresión: RAB = (XB – XA)i +(YB – YA)j + (ZB – ZA) K Ejemplo. Determine la magnitud y dirección del vector de posición que se extiende de A a B.
Las coordenadas de los puntos son: A (1,0,-3) m B (-2,2,3) m Dando r = ( -2-1)i + (2-0)j + (3-(-3))k = (-3i+2j+6k) m
La magnitud del vector de posición será: r = ((Xi) 2 + (Yj) 2 +(Zk ) 2 )½ r = (9 + 4 + 36) ½^ = 7 m Formulando un vector unitario en la dirección de r se tendrá:
u =r/ r * r indica su magnitud u = (-3/7 i+2/7 j+6/7 k)
Las componentes del vector unitario proporcionan los ángulos directores resultando: α = Cos -^1 (-3/7) = 115° β = Cos -^1 (2/7) = 73.4° γ = Cos -^1 (-3/7) = 31°
- Note que los ángulos se miden desde un sistema de coordenadas localizadas en el punto inicial.
Vector de fuerza dirigido a lo largo de una línea recta.
F = F U
F = F (r/ r ) r es la magnitud del vector
Ejemplos
1. El hombre de la figura esta tirando con una fuerza de 70 lb. Muestre esta fuerza como vector cartesiano.
A (0,0,30) B (12,-8,6)
r = (12 i – 8 j -24 k) ft La magnitud de r será: r = ((12) 2 +(– 8) 2 +(-24) 2 )) ½ = 28 ft El Vector unitario será: u = r/ r u = 12/28 i – 8/28 j - 24/28 k El vector fuerza será: F = Fu = 70 lb (12/28 i – 8/28 j - 24/28 k) F = (30 i – 20 j – 60 k) lb
Los ángulos de dirección serán: α = Cos -^1 (12/28) = 64.6° β = Cos -^1 (-8/28) = 107° γ = Cos -^1 (-24/28) = 149° (* Los ángulos son a partir del vector de posición ya que la fuerza actúa en esa misma dirección)
Producto escalar o producto punto
Este es un método particular de multiplicar vectores. De manera general en forma de ecuación es A· B = AB cos θ En términos de vectores cartesianos el producto punto se multiplican las componentes correspondientes a X,Y y Z y se suman estos productos algebraicamente. A· B = AxBx + AyBy + AzBz ; este resultado será un escalar y no un vector
Aplicaciones
- Determinar el ángulo formado entre dos rectas con un punto común. θ = Cos -1^ { (A· B)/AB}
- Las componentes paralelas y perpendiculares de un vector respecto a una recta dada. A // = A cos θ = A· u A┴ = A – A //
Ejemplo. Determine una componente paralela y otra perpendicular al elemento AB si la fuerza actuante es de 300 N de forma horizontal
uAB = u = rAB/ r AB uAB = (2i + 6j + 3 K) /(4 + 36 + 9) ½ uAB = 0.286 i + 0.875 j + 0.429 k
La magnitud de la componente paralela será: F // = F· u F // = (0i + 300 j + 0 k)· (0.286 i + 0.875 j + 0.429 k) F // = 257.1 N
Si se expresa de manera vectorial FAB = FAB uAB FAB = 257.1 (0.286 i + 0.875 j + 0.429 k) N FAB = (73.5 i + 220 j + 110 k) N
La componente perpendicular será F┴ = F – F // F┴ = (0i + 300 j + 0 k) – (73.5 i + 220 j + 110 k) F┴ = (-73.5 i +80 j – 110 k) N
La magnitud de la componente perpendicular será: F┴ = ((-73.5) 2 +(80) 2 (– 110 ) 2 ) 1/ F┴ = 155 N
Equilibrio de partículas
Una partícula esta en equilibrio siempre y cuando su estado sea de reposo, si originalmente estaba en reposo , o tenga velocidad constante , si originalmente estaba en movimiento. Lo más usual, sin embargo es decir que esta en “equilibrio” , o más específicamente, en “equilibrio estático” tratándose de un objeto en reposo. Para mantener un estado de equilibrio , es necesario satisfacer la primera ley de movimiento de Newton , que afirma que si la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es cero, entonces la partícula esta en equilibrio. Esta condición se puede enunciar matem{ticamente como ∑F =0.
Donde ∑F es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.
El diagrama de cuerpo libre (DCL)
Dos tipos de conexiones frecuentes en los problemas de equilibrio de partículas son:
Resortes: Si se usa como soporte un resorte elástico lineal , la longitud del resorte cambiara en proporción directa con la fuerza que actué en el mismo
F= k s
Nótese que se S determina por la diferencia entre la longitud del resorte deformado y la longitud del resorte deformado l y la longitud del resorte no deformado l o. Si S es positiva la fuerza tira contrario la fuerza empuja.
Por ejemplo el resorte de la figura tiene una longitud indeformada l o = 0.40 m y una constante de elasticidad k = 500 N/m. Para estirar el resorte de modo que l sea de 0.6 m se requiere una fuerza de F = KS; F = (500 N/m * (0.6 m – 0..40 m) F = 100 N. Así para comprimirlo a una longitud de 0.2 m F = -100 N.
Cables y poleas : un cable solo puede soportar una tensión o fuerza “tirante” y esta fuerza actúa siempre en la dirección del cable. La fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa por una pelea sin fricción debe tener magnitud constante para mantener el cable en equilibrio.
Así un cable estará sujeto a tensión en toda su longitud.
Como hacer el diagrama de cuerpo libre?
- Imagine la articula aislada.
- Indica todas las fuerzas actuantes en ella.
- Las fuerzas no conocidas se pondrán en su dirección correcta. (Por definición la magnitud siempre es positiva por lo que si la solución da un escalar negativo el sentido es contrario)
Si el cilindro en A en la figura 3.7a tiene un peso de 201 determine el peso del cilindro en B y la fuerza en cada cuerda requerida para mantener el sistema en la posición de equilibrio
D.C.L.
Ya que se conoce el peso de A, se determinarán primero las tensiones desconocidas en las cuerdas EG y EC. Comenzando por el anillo E, aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos: ∑Fx = TEG sen 30º - TEC cos 45º = 0 (1) ∑Fy = TEG cos 30º - TEC sen 45º - 20 = 0 (2)
Tenemos un sistema de dos variables y dos incógnitas el cual se resuelva por cualquier método (Igualación, sustitución y reducción), obteniendo que TEC = 38.6 lb. TEG = 54.6 lb.
Usando el resultado calculado TEC puede investigarse el equilibrio del anillo en C. Aplicando el principio de la tercera ley de Newton que la acción es igual pero opuesta a la reacción. Aplicando ecuaciones: ∑Fx = 38.6 cos 45º - (4/5 TCD) = 0 (3) ∑Fy = (3/5) TCD + 38.6 sen 45º - WB= 0 ( 4 )
Resolviendo obtenemos que TCD = 34.1 lb. WB= 47.8 lb
Determine longitud AC, si la lámpara de masa 8 Kg este suspendida tal y como se muestra. Longitud indeformada AB es 0.4 m. La rigidez del resorte es 300 N/m
D.C.L.
El peso es mg por tanto W = (8 Kg * 9.81 m/s^2 ) = 78.5 N Aplicando ecuación de equilibrio ∑Fx =
TAB - TAC cos 30 º = 0 ∑Fy = TAC sen 30 º - 78.5 = 0
Resolviendo tenemos: TAC = 157 N TAB = 136 N
El estiramiento del resorte AB es por tanto TAB = KABSAB ;136 N = 300 N/m (SAB) ; SAB = 0.453 m De modo que la longitud extendida deberá ser: lAB = l’ + SAB ; lAB = 0.4 m + o.453 m = 0.853 m La distancia Horizontal de C a B requiere 2m = lAC cos 30 + 0.853 ; lAC = 1.32 m
Sistema de fuerzas en tres dimensiones
El procedimiento de análisis es igual que en dos dimensiones, con la diferencia que ahora deberá considerarse el equilibrio en el eje z, debe cumplirse que la sumatoria de todas las fuerzas sea igual a cero de modo que: ∑Fx =0 , ∑Fy =0 y ∑Fz =0.
A continuación se muestran los siguientes ejemplos:
El cilindro de 90 lb que se muestra en la figura sostenido por dos cables y un resorte de rigidez k = 5 00 lb/ft Determine la fuerza en los cables y el alargamiento del resorte para que haya equilibrio. El cable AD se encuentra plano x-y y el cable AC en el plano x-z.
D.C.L.
Determinemos las fuerzas para después determinar el alargamiento del resorte. Aplicando las ecuaciones tememos que: ∑Fx = FD sen 30 º - 4/5 FC = 0 (1) ∑Fy =
- FD cos 30 º + FB = 0 (2) ∑Fz = 3/5 FC – 90 lb = 0 (3)
Resolviendo ecuación 3, sustituyendo en 1 y luego en 2, obtenemos que: FC = 150 lb FD = 240 lb FB = 208 lb
El cilindro de 100 kg de la figura está sostenido por tres cuerdas, una de las cuales está unida a un resorte. Determine la tensión en cada cuerda y el alargamiento del resorte.
∑F = 0
Expresando cada fuerza de manera cartesiana tenemos: FB = FB i FC = Fc cos 120° i + Fc cos 135° j + Fc cos 60° k FC = 0.50 Fc i – 0.707 Fc j + 0.50 Fc k
FD = FD [(-i+2j+2k) / ( 12 + 2 2 + 2 2 ) ½^ ] FD = - 0.333 FD i + 0.667 FD j + 0.667 FD k
W = m g = - 981 K
Igualando las componentes tenemos:
∑Fx = 0 FB - 0.50 Fc - 0.333 FD = 0
∑Fy = 0
∑Fz = 0 0.50 Fc + 0.667 FD - 981 = 0
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
FC = 813 N FD = 862 N FB = 693.7 N
Resultando el alargamiento de: F = KS 693.7 = 1500 S S = 0.462 m.
Determine la fuerza desarrollada en cada uno de los cables que sostiene la caja de 40 lb.
D.C.L
Las coordenadas son B(-3,-3,8) C(-3,4,8)
FB = FB [(-3i - 4j+8k) / ( 3^2 + 4 2 + 8 2 ) ½^ ] FB = - 0.318 FB i – 0.424 FB j + 0.848 FB k
FC = FC [(-3i + 4j+8k) / ( 3^2 + 4 2 + 8 2 ) ½^ ] FC = - 0.318 FC i + 0.424 FC j + 0.848 FC k
FD = FD i
W = - 40 k
Sustituyendo y despejando obtenemos:
∑Fx= 0
- 0.318 FB - 0.318 FC +FD = 0
∑Fy = 0
- 0.424 FB + 0.424 FC = 0; Esta Ecuación afirma que FB = FC
∑Fz = 0 0.848 FB + 0.848 FC – 40 = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta: FB = FC= 23.6 lb. FD = 15 lb.
La fuerza horizontal F = 500 N actúa hacia la izquierda en A sobre la estructura de dos miembros, Determine las magnitudes de las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de los miembros A By AC
Fac= 366 N Fba = 448 N
Exprese cada fuerza como vector cartesiano y entonces determine la fuerza resultante FR. Encuentre la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistema de coordenadas.
Exprese cada vector como vector cartesiano entonces determine la fuerza resultante FR. Encuentre la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistema de coordenadas. R/ F1= (-25 i + 43 j) lb, F2 = (-90j+120k) lb, F3 = (74.5 j- K) lb FR= (-25i+27.8j+77k)lb , FR= 85.6 lb, 107 ° , 71.1 ° ,25.9 °.
Exprese la fuerza como un vector cartesiano determine sus ángulos directores coordenados
R/ F= (-2i+j+2k)lb , 132º,70.5º, 48.2º El cable al final de la viga ejerce una fuerza 450 Ib, como se muestra. Exprese F como vector cartesiano.
R/ (289 i + 225 j -261 k) lb
El extremo O del aguilón de la figura 2.20a está sujeto a tres fuerzas concurrentes y coplanares. Determínese la magnitud y orientación de la fuerza resultante
R/ FR = 485 N , θ=37.8 ° La eslinga sirve para sostener una viga que pesa 900 Ib. Determine la fuerza en los cables AB y AC para el equilibrio
R/ FAB = F AC = 1.32 Klb
Determine el alargamiento de cada resorte para el equilibrio del bloque D cuyo peso es de 20 Kg. Los resortes están en su posición de equilibrio.
R/ AB = 0.467 m, AC = 0.793 m y AD = 0.490 m.
Se colocan tres cargas en las cuerdas ligeras e inextensibles. Si las cuerdas pasan por poleas pequeñas sin fricción, determine la distancia s para la posición de equilibrio.
R/ S = 3.40 ft
La cuerda elástica (o resorte) ABC tiene rigidez de 500 N/m y longitud no extendida de 6 m. Determine la fuerza horizontal F aplicada a la cuerda, atada a la pequeña polea B, de manera que el desplazamiento de la polea a partir de los soportes sea d = 1.5m
El platillo y su contenido puestos en la balanza tienen un peso de 10 Ib. Si cada resorte tiene una lon- gitud indeformada de 4 ft y rigidez K= 5 lb/ft. determine el ángulo θ para el equilibrio.
R/ 43 °
