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CAPÍTULO 2 EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA
2.1 INTRODUCCIÓN
El objetivo principal del presente capítulo Equilibrio de la Partícula, constituye el análisis de equilibrio de un sistema de fuerzas concurrentes en un punto, o sobre una partícula. En Mecánica el término partícula se utiliza para referirse a un punto donde actúan una o varias fuerzas, o a un cuerpo rígido considerado como una masa puntual, cuando las fuerzas aplicadas solo tienden a producir movimientos de traslación, sin presentarse acciones de rotación.
Muchas de las situaciones de equilibrio en ingeniería están relacionadas con la interacción de elementos que implican fuerzas, cuyas líneas de acción se cortan en un punto, denominadas Fuerzas Concurrentes, para las cuales realizar la sumatoria de las mismas e igualarlas a cero, es suficiente para su análisis estático, al aplicar la Primera ley de Newton. No ocurre lo mismo, cuando se trata de fuerzas que actúan en dos o más puntos, o partículas, diferentes de un cuerpo rígido, las cuales no se consideran concurrentes, por lo que requieren además, del mencionado análisis estático de fuerzas, obtener la sumatoria de los respectivos momentos e igualarlos a cero, para cumplir con la Primera Ley de Newton.
Las consideraciones básicas tenidas en cuenta en las dos situaciones anteriores, determinan la división entre el tratamiento dado al Equilibrio de la Partícula, en el primer caso, el cual será desarrollado en este capítulo, o al Equilibrio de Cuerpos Rígidos, en el segundo, quedando su estudio para un capítulo posterior.
Para lograr el objetivo propuesto, se tratará inicialmente el concepto de fuerza, su representación y unidades, seguido del uso de la Ley del Paralelogramo para la suma de dos fuerzas y su consecuente extensión a la Regla del Polígono, para adicionar varias fuerzas. Se utilizará también la ley del paralelogramo para la descomposición de fuerzas en componentes rectangulares, para ser empleadas en el método analítico de suma de dos o más fuerzas, por adición de componentes. Por último se aplicará la primera ley de Newton para el equilibrio de una partícula, primeramente en el plano y después en el espacio.
2.2 GENERALIDADES SOBRE LAS FUERZAS
Una fuerza se puede definir como la acción de un cuerpo sobre otro. Las fuerzas que se ejercen entre sí los cuerpos en la naturaleza responden a las cuatro siguientes interacciones básicas:
Interacción Gravitatoria: ejercidas por los cuerpos entre sí como consecuencia de poseer masa. El peso de un cuerpo es el resultado de la fuerza gravitacional ejercida por la tierra. Interacción Electromagnética: se manifiestan de dos formas: entre partículas con cargas eléctricas en reposo o electrostáticas, o entre partículas con cargas eléctricas en movimiento o magnéticas. Interacción Nuclear Fuerte: son las fuerzas que mantienen los protones y los neutrones juntos en el núcleo del átomo. Interacción Nuclear Débil: fuerzas entre partículas de menor tamaño relativo como electrones y positrones, etc.
Las clases de fuerzas que son objetos de estudio en la Mecánica Clásica, son las relacionadas con las de interacción gravitatorias, como el peso de los cuerpos, cuyas acciones se manifiestan a distancia y las fuerzas de contacto, como las fuerzas de empuje entre sólidos, líquidos y gases, las fuerzas de fricción y las fuerzas elásticas, las cuales actúan en las cercanías entre los cuerpos, considerándose éstas dentro de la clasificación de las de Interacción Electromagnética.
Las fuerzas entre los cuerpos producen dos efectos que son estudiados en Mecánica: uno externo, que se manifiesta en el cambio del estado de reposo o de movimiento del cuerpo sobre el cual actúan y otro interno, que tiende a deformarlo. Como se ha expresado, el análisis del primero es contemplado en la Mecánica de los Cuerpos Rígidos, mientras el segundo, se estudia en la Mecánica de los Cuerpos Deformables.
2.3 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Las cantidades físicas como el tiempo, la masa, el volumen, la temperatura y la energía que pueden expresarse completamente, en forma matemática, mediante un número o escalar, se les denominan cantidades escalares. Estas se caracterizan porque obedecen las reglas de la adición del álgebra ordinaria. O sea que resulta válido sumar, por ejemplo, un tiempo de 10 segundos más un tiempo de 5 segundos, para obtener un tiempo total de 15 segundos.
En cambio, las expresiones como la velocidad, la aceleración, la cantidad de movimiento y la fuerza, las cuales para ser definidas plenamente requieren de una magnitud y una dirección, o más de un escalar, se conocen con el nombre de cantidades vectoriales las cuales están sujetas a reglas especiales para la adición, tal como la denominada Ley del Paralelogramo, la cual será estudiada más adelante.
Figura 2.
En forma general, la suma de k vectores iguales 𝐕⃗⃗ , se representa por el producto
k𝐕⃗⃗ , como un vector de magnitud kV con la misma dirección y sentido de 𝐕⃗⃗ , como se aprecia en la Figura 2. 2 (c).
Debido a que el escalar k puede ser positivo o negativo, se puede afirmar que el
producto k𝐕⃗⃗ resulta ser un vector de magnitud kV con la misma dirección y
sentido de 𝐕⃗⃗ , si k es positivo, o de la misma dirección y sentido contrario a 𝐕⃗⃗ , si k es negativo, como se muestra en la Figura 2. 2 (d).
División de un Vector entre un Escalar: La división de un vector 𝐕⃗⃗ entre un
escalar k, es equivalente al producto de 𝐕⃗⃗ por el inverso de k, o sea 𝐕⃗⃗ /k =
(1/k)𝐕⃗⃗ , por lo tanto se cumplen las mismas reglas en cuanto a dirección y
sentido dadas anteriormente para el producto k𝐕⃗⃗.
Figura 2.
La relación entre el vector 𝐕⃗⃗ y su magnitud, cuando se divide por un escalar k, se
aprecia en las Figuras 2. 3 , al comparar 𝐕⃗⃗ , como se muestra en la Figura 2.3 (a), si k = 1 su magnitud es igual, aunque si k >1 su magnitud disminuye, como se
ilustra en la Figura 2.3 (b) y en cambio si k < 1, como se observa en la Figura 2.
(c), la magnitud de 𝐕⃗⃗ aumenta.
Vector Unitario: El cociente de dividir un vector 𝐕⃗⃗ entre su magnitud V, da como
resultado lo que se denominavector unitario, mostrado en la Figura 2.3 (d), el
cual se designa por 𝐮⃗⃗ y se expresa así:
El vector unitario 𝐮⃗⃗ tiene la misma dirección de 𝐕⃗⃗ y su magnitud es V/V =1, por
lo tanto es adimensional, entonces el vector 𝐕⃗⃗ se puede expresar en términos de su vector unitario 𝐮⃗⃗, así:
La relación (2.2) se caracteriza por expresar en forma separada la dirección de un vector, dada mediante el vector unitario 𝐮⃗⃗, de su magnitud V, lo cual tiene importantes aplicaciones, como se verá más adelante.
2.5 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUERZA
Una fuerza se representa mediante una cantidad vectorial, por tanto se caracteriza por poseer: punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido.
Punto de Aplicación: Una fuerza 𝑭⃗⃗ que actúa sobre una partícula A, como se muestra en la Figura 2. 4 (a), tiene su punto de aplicación en la partícula misma.
Figura 2.
Para aplicar la ley del paralelogramo se dibujan las dos fuerzas 𝑭⃗⃗ 1 y 𝑭⃗⃗ 2 , a escala, colocándolas a partir de un mismo punto A, se trazan después líneas paralelas a
𝑭⃗⃗ 1 y 𝑭⃗⃗ 2 para formar un paralelogramo, como lo muestra la Figura 2.5 (b) y por
último, se dibuja a 𝑹⃗⃗ al hacerla coincidir con la diagonal.
Una consecuencia de la Ley del Paralelogramo es la denominada Regla del Triángulo, que consiste en dibujar las dos fuerzas, también a escala, una a continuación de la otra, como se indica en las Figuras 2.6 (a) y (b), uniendo después el inicio de la primera con el extremo de la segunda, para obtener de
esa manera la resultante 𝑹⃗⃗ , al formar un triángulo con las tres fuerzas.
Figura 2.
Nótese que el resultado obtenido es el mismo, si el triángulo se construye de dos
formas: colocando 𝑭⃗⃗ 2 a continuación de 𝑭⃗⃗ 1 , como lo muestra la Figura 2.6 (a), o
viceversa, 𝑭⃗⃗ 1 seguido de 𝑭⃗⃗ 2 , como se aprecia en la Figura 2.6 (b), lo cual comprueba la propiedad conmutativa de la adición de fuerzas, o sea:
2.7 LEY DE LOS SENOS Y DE LOS COSENOS
Dado que la Ley del Paralelogramo y la consecuente Regla del Triángulo, para la suma de dos fuerzas, involucran las respectivas magnitudes, incluida la de su resultante, las cuales se pueden representar mediante los lados de un triángulo y sus correspondientes ángulos internos, como lo muestran las Figuras 2.7 (a) y (b), entonces, es posible hallar las magnitudes requeridas de las fuerzas, al resolver las relaciones entre dichos lados y ángulos, mediante la aplicación de la ley de los senos y de los cosenos.
Ley de los Senos: Dado el triángulo mostrado en la Figura 2.7 (a) de lados a, b y c y cuyos correspondientes ángulos opuestos son α, β y θ, se cumplen las siguientes relaciones entre los lados y los senos de los ángulos opuestos, así:
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼
Figura 2.
Ley de los Cosenos: El cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman. O sea, teniendo en cuenta la Figura 2.7 (a), se expresa así:
𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 − 2bc cosα (2.4)
b^2 = a^2 + 𝑐^2 − 2ac cosβ (2.5)
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cosθ (2.6)
Si en la relación (2.6) se reemplaza el ángulo θ por el valor de 90°, o sea que el triángulo queda convertido en rectángulo, resulta la siguiente expresión denominada Teorema de Pitágoras:
c^2 = a^2 + b^2 (2.7)
2.8 PROBLEMA EJEMPLO 2.
Dadas dos fuerzas 𝑭⃗⃗ 1 y 𝑭⃗⃗ 2 de magnitudes respectivas 80N y 70N, las cuales forman entre sí un ángulo δ = 60° como se indica en la Figura 2.8, hallar la magnitud R de la resultante.
Al aplicar la ley de los cosenos, teniendo en cuenta que la magnitud R es opuesta al ángulo de 120°, siendo este a la vez el ángulo entre las magnitudes 80N y 70N, de acuerdo a la Figura 2.9 (d) y al dar valores, con referencia a la ecuación (2.6), se tiene:
R^2 = (80N)^2 + (70N)^2 − 2(80N)(70N)cos120° 𝑹 = 𝟏𝟑𝟎𝑵
Además, se pueden hallar los ángulos α y β, opuestos a las fuerzas de 80N y 70N, respectivamente, con base en la Figura 2.9 (d), utilizando la ley de los senos, así:
80N 𝑠𝑒𝑛𝛼
80N𝑠𝑒𝑛120°
130N
70N
130N
70Nsen120° 130N
Nótese que: α + β + 120° =32.20° + 27.80° + 120° =180°, como era de
esperarse, puesto que los ángulos internos de un triángulo suman180°.
2.9 PROBLEMA EJEMPLO 2.
Un pequeño aro A está sometido a la tensión de dos cuerdas 𝑭⃗⃗ 1 y 𝑭⃗⃗ 2 cada una de magnitud 80N, como se indica en la Figura 2.10 (a). Determinar magnitud y dirección de la fuerza resultante.
Figura 2.
Solución
Se elabora inicialmente el diagrama de cuerpo libre de la partícula A y se forma
con 𝑭⃗⃗ 1 y 𝑭⃗⃗ 2 un paralelogramo, siendo 𝑹⃗⃗ la resultante, como se aprecia en la Figura 2. 10 (b).
Se construye el triángulo de fuerzas mostrado en la Figura 2.10 (c), en donde F 1 y F 2 son las respectivas magnitudes de las fuerzas, por lo que al aplicar la ley de los cosenos se tiene: 𝑅^2 = 𝐹 12 + 𝐹 22 − 2𝐹 1 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠75°
𝑅^2 = (80𝑁)^2 + (80𝑁)^2 − 2(80𝑁)(80𝑁)𝑐𝑜𝑠75° 𝑹 = 𝟗𝟕. 𝟒𝑵
Se utiliza la ley de los senos para encontrar los ángulos α y β, así:
R sen75°
senβ
senα
97.4N
sen75°
80N
senβ
80N
senα
La dirección de la resultante 𝑹⃗⃗ se indica mediante el ángulo α + 45° = 97.5° el
cual forma con el eje X, como aparece en la Figura 2. 10 (c), aunque resulta más práctico expresarlo mediante el ángulo θ que forma con el lado negativo del eje X, por ser menor de 90°, o sea:
2.10 SUMA DE TRES O MÁS FUERZAS
Para hallar la resultante 𝑹⃗⃗ de tres fuerzas 𝑭⃗⃗ 1 , 𝑭⃗⃗ 2 y 𝑭⃗⃗ 3 , mediante la ley del paralelogramo, el procedimiento consiste en sumar inicialmente dos de ellas,
𝑭⃗⃗ 1 y 𝑭⃗⃗ 2 para encontrar una primera resultante 𝑹⃗⃗ ′, como se indica en la Figura
- 11 (a) y después, sumar nuevamente 𝑹⃗⃗ ′^ con la tercera fuerza 𝑭⃗⃗ 3 , para
determinar la resultante final 𝑹⃗⃗ , tal como se aprecia en la misma Figura 2. 11 (a).
Debido a que la resultante final 𝑹⃗⃗ ha sido obtenida por la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo, tiene la propiedad de producir el mismo efecto sobre la
partícula A que las fuerzas originales 𝑭⃗⃗ 1 , 𝑭⃗⃗ 2 y 𝑭⃗⃗ 3 , por lo tanto 𝑹⃗⃗ se puede expresar como la suma de las tres, así:
Figura 2.
Lo anterior se consigue al trazar 𝑭⃗⃗ aplicada en el punto A y las respectivas líneas de acción de las fuerzas requeridas, como se indica en la Figura 2.12 (a) y
seguidamente, desde el extremo de 𝑭⃗⃗ se dibujan paralelas a dichas líneas, por lo
que al completar el paralelogramo quedan definidas las fuerzas 𝑭⃗⃗ 1 y 𝑭⃗⃗ 2 como lo
muestra la Figura 2.12 (b), las cuales se denominan Componentes de 𝑭⃗⃗.
Mediante un procedimiento similar se pueden hallar dos componentes a cada una de las anteriores y después dos más a cada una de las restantes, hasta
descomponer a 𝑭⃗⃗ en el número de componentes que se deseen.
2.12 COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA EN EL PLANO
Ya se ha visto que una fuerza 𝑭⃗⃗ se pueden descomponer en varias fuerzas, en las direcciones que se elijan, aunque desde el punto de vista práctico resulta conveniente obtener sólo dos componentes, las cuales sean perpendiculares
entre sí. Consideremos una fuerza 𝑭⃗⃗ aplicada en el origen O de un sistema de
coordenadas OXY, la cual se descompone en dos componentes 𝑭⃗⃗ (^) 𝑥 y 𝑭⃗⃗ (^) 𝑦 según las
direcciones de los ejes X y Y, respectivamente, como se aprecia en la Figura 2.1 3 (a).
A partir del extremo de 𝑭⃗⃗ se dibujan rectas paralelas a los ejes X y Y para formar
un paralelogramo siendo 𝑭⃗⃗ su diagonal, lo cual permite trazar las componentes
𝑭⃗⃗ (^) 𝑥 y 𝑭⃗⃗ (^) 𝑦. Como el paralelogramo formado para hallarlas es un rectángulo, se dice
entonces que 𝑭⃗⃗ 𝑥 y 𝑭⃗⃗ 𝑦 son las componentes rectangulares de 𝑭⃗⃗ , lo cual se
expresa así:
Figura 2.
La fuerza 𝑭⃗⃗ forma un ángulo θ con el eje X, como se indica en la Figura 2.13 (b),
por lo tanto, teniendo en cuenta que F es la magnitud de 𝑭⃗⃗ , las componentes escalares están relacionadas así:
Al aplicar el teorema de Pitágoras:
𝐹^2 = 𝐹𝑥^2 + 𝐹𝑦^2
Con el fin de especificar las direcciones de las componentes vectoriales 𝑭⃗⃗𝑥 y 𝑭⃗⃗𝑦
se introducen en este punto los denominados vectores unitariosi yj, según los
ejes X y Y respectivamente, mostrados en la Figura 2.13 (b), los cuales por definición son vectores de magnitud = 1, por lo cual dichas componentes quedan expresadas así:
Siendo 𝐹𝑥 y 𝐹𝑦 las componentes escalares de 𝑭⃗⃗. Al reemplazar los respectivos
valores en la relación (2. 8 ), se tiene:
En cuanto a los signos, la componente escalar 𝐹𝑥 es positiva, si 𝑭⃗⃗𝑥 tiene el mismo sentido que el eje positivo de las X y negativa, si tiene sentido opuesto,
Al reemplazar en (1), resulta:
𝐹𝑥 = + 60𝑁 𝐹𝑦 = − 103.92𝑁
Quedando las respectivas componentes vectoriales, así:
Y la fuerza 𝑭⃗⃗ queda expresada así:
2.14 SUMA DE FUERZAS POR ADICIÓN DE COMPONENTES EN EL PLANO
La suma de fuerzas por adición de componentes es otra forma de aplicar la ley
del paralelogramo para encontrar la resultante 𝑹⃗⃗ de dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula, mediante un procedimiento que consiste en descomponer primero las fuerzas en sus componentes rectangulares, según los ejes X y Y, sumar después las componentes para hallar las resultantes 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 en
cada uno de dichos ejes y obtener finalmente 𝑹⃗⃗.
Figura 2.
Consideremos una partícula A sometida a tres fuerzas 𝑭⃗⃗ 1 , 𝑭⃗⃗ 2 y 𝑭⃗⃗ 3 , como la
mostrada en la Figura 2.15 (a) y se desea obtener la resultante 𝑹⃗⃗ equivalente, la cual se puede expresar como:
Al descomponer cada fuerza en sus componentes rectangulares según los ejes X y Y, se obtiene:
𝑅𝑥𝒊 + 𝑅𝑦𝒋 = 𝐹1𝑥𝒊 − 𝐹1𝑦𝒋 + 𝐹2𝑥𝒊 + 𝐹2𝑦𝒋 − 𝐹3𝑥𝒊 + 𝐹3𝑦𝒋
Se observa que las componentes 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 de la resultante 𝑹⃗⃗ se obtiene mediante
la suma algebraica de las componentes escalares de cada una de las fuerzas según los eje X y Y respectivamente. La magnitud de la resultante y el ángulo formado con el eje X, de acuerdo a la Figura 2.15 (c), se obtiene así:
𝑅^2 = 𝑅𝑥^2 + 𝑅𝑦^2 𝑅 = √𝑅𝑥^2 + 𝑅𝑦^2 (2.11)
𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1^ (
2.15 PROBLEMA EJEMPLO 2.
El cáncamo de la Figura 2.16 (a) soporta la tensión de tres cables 𝑻⃗⃗ 1 , 𝑻⃗⃗ 2 y 𝑻⃗⃗ 3 , como se muestra. Si las magnitudes de las tres tensiones son iguales a 120N, determinar la magnitud y dirección de la resultante utilizando: a) la ley del paralelogramo y b) la suma de fuerzas por adición de componentes.
Solución mediante la Ley del Paralelogramo
Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula A el cual se indica en la Figura 2.16 (b).
Se aplica la ley de los senos para definir los ángulos α y β, así:
𝑅 1 𝑠𝑒𝑛140°
El ángulo θ el cual forma 𝑹⃗⃗ 1 con el eje X, de acuerdo a la Figura 2.17 (a), es:
θ = 20° + α = 20° + 20° = 40°
Se traza ahora un nuevo paralelogramo con la resultante 𝑹⃗⃗ 1 y la tensión
𝑻⃗⃗ 3 como se indica en la Figura 2.17 (b) para obtener una resultante 𝑹⃗⃗ , definitiva cuya magnitud se calcula así:
𝑅^2 = 𝑅 12 + 𝑇 32 − 2𝑅 1 𝑇 3 cos (30° + 𝜃)
𝑅^2 = (225.52𝑁)^2 + (120𝑁)^2 − 2(225.52𝑁)(120𝑁)𝑐𝑜𝑠70° 𝑹 = 𝟐𝟏𝟔. 𝟐𝟏𝑵
Se utiliza nuevamente la ley de los senos para hallar los ángulos Φ y ρ, así:
𝑅 𝑠𝑒𝑛70°
Resultando: Φ = 31.44° y ρ = 78.56°. Entonces, el ángulo formado por la
resultante 𝑹⃗⃗ con el eje X, según la Figura 2.17 (b), es:
Solución por Adición de Componentes
Se elabora inicialmente el diagrama de cuerpo libre de la partícula A, mostrado en la Figura 2.16 (b) y se expresan todas las fuerzas en forma de componentes:
Se aplican las relaciones (2.9) y (2.10), para hallar las resultantes según los ejes X y Y, así:
𝑅𝑥 = (120𝑁)𝑐𝑜𝑠20° + (120𝑁)𝑐𝑜𝑠60° − (120𝑁)𝑐𝑜𝑠30° = 68.84𝑁
Y teniendo en cuenta las expresiones (2.11) y (2.12), se determinan la magnitud y dirección de la resultante:
𝑹 = √𝑅𝑥^2 + 𝑅𝑦^2 = √(68.84𝑁)^2 + (204.96𝑁)^2 = 𝟐𝟏𝟔. 𝟐𝟏𝑵
tan(Φ + θ) =
Como era de esperarse, por ambos métodos se obtiene el mismo resultado, aunque con la ventaja de que el procedimiento por adición de componentes es más práctico y rápido.
2.16 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO
La Primera Ley de Newton se enuncia de la siguiente manera:Si la resultante de
todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, la partícula
permanecerá en reposo si inicialmente estaba en reposo o se moverá con rapidez
constante, si inicialmente estaba en movimiento. Cuando una partícula se
encuentra en reposo o en movimiento uniforme, se dice que está en equilibrio, bien sea estático, en el primer caso o dinámico, en el segundo.
Para el estudio de la Estática, el enunciado anterior significa que si la resultante de todas las fuerzas aplicadas a una partícula es igual a cero, la partícula estará en equilibrio, lo cual se expresa de la siguiente forma:
Al descomponer las fuerzas en sus componentes según los ejes X y Y, resulta:
La ecuación (2.14) se satisface al igualar a cero la sumatoria de las componentes según cada uno de los ejes X y Y, así:
