¡Descarga es de los docs mas import y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
PROBLEMES DE SISTEMES DE PARTÍCULES (TEMA 5)
5.1 Centre de masses, forces externes, moment lineal total
5.1.1 Un tren, que es troba a una via recta, està format per tres vagons, de masses mA =21000 kg, m B = 18000 kg,
i m (^) C = 24000 kg, units per dues cadenes de masses negligibles. El vagó B està entre els vagons A i C, i la locomotora tira el vagó A amb una força paralꞏlela a la via de mòdul F 0 = 70 kN. Determineu l’acceleració del tren i les tensions TAB i TBC de les dues cadenes : a) si la via és horitzontal i no actua cap fricció; b) si la via és horitzontal i el coeficient de fricció cinètica entre cada vagó i la via val μ = 0, c) si no hi ha fricció i la via està inclinada un angle φ = 30o^ cap amunt d) Què es pot dir de les tensions en cada cas? Quina fracció de F 0 representa TBC?
Sol: a) a = 1,11 m/s^2 , T (^) AB = 46,7 kN , TBC = 26,7 kN b) a = 0,13 m/s 2 , T (^) AB = 46,7 kN , TBC = 26,7 kN c) a = – 3,79 m/s^2 , T (^) AB = 46,7 kN , TBC = 26,7 kN d) Les tensions (forces internes) son iguals en cada cas. La tensió TBC és igual a 𝑇 = ೀಲಽ𝐹^ ൌ^
ଶସ ଷ 𝐹
5.1.2 Dues masses, m 1 = 1,0 kg i m 2 = 2,0 kg, situades inicialment en r 1 = (2,0 i + 1,0 j ) m i r 2 = (2,0 i + 2,0 j ) m,
es mouen amb velocitats constants v 1 = (5,0 i ) m/s i v 2 = (1,0 i +1,0 j ) m/s. Determineu la posició del centre de masses desprès de 2,0 s des de l’instant inicial.
Sol. (6,7 i + 3,0 j ) m
5.1.3 Dues partícules de masses m 1 = 3 kg i m 2 = 6 kg, inicialment en els punts r 1 = 3 j i r 2 = 4 i estan unides per
una barra rígida de massa negligible. Inicialment es troben en repòs i se les sotmet a l’acció de dues forces 𝐹⃗ଵ ൌ 6𝐢 െ 6𝐣 i 𝐹⃗ଶ ൌ 3𝐣 (expressades en N). Determineu, en funció del temps: a) la posició del centre de masses. b) la velocitat del centre de masses b) la quantitat de moviment del sistema.
Sol: a) 𝒓ெ ሺ𝑡ሻ ൌ ቀ
௧ మ^ ା଼ ଷ
ି௧ మ
ቁ 𝐣 (m)
b) 𝒗 ெ ሺ𝑡ሻ ൌ ቀ
ଶ ଷ
ଵ ଷ
𝑡ቁ 𝐣 (m/s)
c) 𝑷ሺ𝑡ሻ ൌ 6𝑡 𝐢 െ 3𝑡 𝐣 (kgꞏm/s)
5.1.4 Tres partícules de masses m 1 = 1kg, m 2 = 3kg i m 3 = 2kg es troben inicialment en repòs en les posicions:
𝒓ଵ ൌ ሺ0,2ሻ, 𝒓 (^) ଶ ൌ ሺ0, െ1ሻ, 𝒓 (^) ଷ ൌ ሺ3,0ሻ (expressades en m). Si apliquem, en t = 0, a cadascuna d’elles una força externa constant amb els mòduls i direccions indicats a la figura, determineu, en qualsevol instant de temps successiu : a) la acceleració del centre de masses a) la velocitat del centre de masses b) la posició del centre de masses
Sol: a) 𝒂ெ ൌ െ^1 ൗ 2 𝐢 m/s^2
b) 𝒗 ெ ൌ ൫െ 𝑡 ൗ ൯ 𝐢 2 (m/s)
c) 𝒓ெ ൌ ቀ1 െ 𝑡^
ଶ
ൗ ቁ 𝐢 െ^1
ൗ 6 𝐣 (m)
m 3
m 1
m 2
F 3 =1N
F 1 =1N
F 2 =3N
X
Y
5.1.5 Una persona està parada a l’extrem d’un llistó de fusta de 10 m de llarg, que descansa sobre d’un llac
gelat. Suposeu que no hi ha fricció entre el llistó i el gel. El llistó pesa 4 vegades més que la persona. a) Si la persona comença a caminar a una velocitat de 3,0 m/s respecte del gel, amb quina velocitat relativa al gel es mourà el llistó? b) Quan la persona arribi a l’altre extrem del llistó, quan haurà avançat la persona respecte del gel?
Sol: a) – 0,75 m/s; b) 8,0 m
5.2 Xocs i explosions en 1D, energia cinètica, coeficient de restitució
5.2.1 Un bloc de 30 kg de massa es deixa caure des d’una alçada de 2,0 m i incideix en una molla de constant
elàstica k = 20 kN/m. Si la colꞏlisió entre bloc i plat és perfectament inelàstica, quin és el màxim desplaçament del plat?
2 m
30kg
10k g
k
Sol: 0,21 m
5.2.2 El bloc A ( m A = 2,0 kg) està comprimint una molla de massa insignificant i k =800 N/m. Quan es deixa anar
el bloc, aquest es mou per una superfície plana sense fregament i xoca de forma completament inelàstica amb el bloc B ( m B = 2,0 kg) que estava en repòs. El conjunt surt a una velocitat de 3,1m/s, i puja per un pla inclinat 30º amb un coeficient de fregament cinètic C = 0,3. a) Determineu la velocitat que té l’objecte A just abans de topar amb B. b) Calculeu la compressió inicial de la molla. c) A quina alçada puja el conjunt dels dos blocs abans de tornar enrere.
Sol: a) 6,2 m/s; b) 0,31 m; d) 0,32 m
5.2.3 Es dispara una bala de 10 g de massa amb una pistola d’aire comprimit que té un canó de 10 cm de longitud.
La força que actua sobre la bala quan aquesta es troba en el canó de la pistola, decreix linealment amb la posició, tal i com es mostra en la figura, essent la força màxima de valor F 0. La bala s’incrusta en un bloc de fusta, de 2,0 kg de massa, situat sobre una superfície horitzontal amb la que té un coeficient de fregament de valor 0,20. El bloc, com a conseqüència de l'impacte, es desplaça 0,10 m abans d’aturar-se. Trobeu el valor de F 0.
2 kg 10 cm
10 g
0,1 0,2 (^) x (m)
F (N) Fo
0
Sol: F 0 = 1,6 kN
A μ
C = 0
μ C = 0,
B
5.3 Sistemes de partícules i xocs en 2D
5.3.1 Un projectil de 10 kg es mou a una velocitat de 30 m/s. En
un cert instant, un mecanisme intern provoca la seva explosió i queda fragmentat en dos trossos A i B de 2,5 kg i 7,5 kg respectivament. Si la direcció de les seves velocitats immediatament després de l’explosió és la indicada a la figura, quina és la velocitat de cadascun dels fragments? Calculeu també l’energia posada en joc en l’explosió.
Sol: v A = 44 m/s i + 44 m/s j , v (^) B = 25 m/s i – 15 m/s j , E c =3,5 kJ
5.3.2 En una pedrera han dinamitat una roca que es trobava en repòs. Aquesta s'ha descompost en tres fragments
A, B i C. Els tres fragments de massa m (^) A = 20 kg, m (^) B = 20 kg i m (^) C = 10 kg, han sortit movent-se paralꞏlelament al terra, amb velocitats v A = 15 m/s j , v B = 10 m/s i , i v C = vC x i + vCy j. a) Determineu les components vC x i vC y de la velocitat de sortida del fragment C. b) Calculeu la velocitat del centre de masses del sistema després de l'explosió. Tot seguit, s’observa que el fragment B, topa amb un bidó de 300 kg que conté grava i que estava situat al costat de la roca. La durada del xoc és d’uns 5,0 ms i la velocitat amb que surt projectat el bidó és de 1,0 m/s. c) Quina serà la velocitat de B després de la colꞏlisió? d) Quina és la força mitjana que la roca ha exercit sobre el bidó durant la colꞏlisió?
Sol: a) V C = –20 m/s i –30 m/s j ; b) 0; c) –5,0 m/s; d) 60 kN
5.3.3 En una taula de billar la disposició de les boles és la que s’indica a l'esquema adjunt. (Les boles són
idèntiques i amb una massa de 0,35 kg). La tacada sobre la bola 1 li proporciona una velocitat de 5,0 m/s. La distància que separa la bola 1 de les altres dues, que estan alineades, és de 2,5 m.
v (^1)
v 2 '
v 3 '
v' 1 1
2
3
1
2 3
Abans de xocar Després de xocar
El coeficient de fricció entre les boles i la taula té un valor μ = 0,097 (suposem que les boles llisquen i NO RODOLEN). Després de xocar amb les altres boles, la bola 1 rebota per la mateixa línia, amb una velocitat de
0,5 m/s, i les boles 2 i 3 surten, respectivament, amb velocitats v 2' , formant un angle = 15° amb la direcció
inicial, i v 3' amb mòdul de 2,0 m/s i formant un angle .
a) trobeu la velocitat que té la bola 1, just a l’instant del xoc amb les altres boles.
b) Quin valor té l’angle ?
c) Calculeu el mòdul de v' 2. d) Trobeu el percentatge de energia cinètica del conjunt de les boles, perdut en el xoc.
Sol: a) v 1 = 4,5 m/s ; b) = 25° ; c) v ' 2 = | v' 2 | = 3,3 m/s; d) 25 %
5.3.4 Un element explosiu (una granada, per exemple) de 60 g de massa es llança de forma efectiva cap a un
objectiu situat en el mateix nivell (eix OX ). La velocitat amb què surt és v 0 = (50 m/s i + 20 m/s j ). Quan l’explosiu assoleix la màxima altura explota (naturalment per error de fabricació) en dos trossos iguals de velocitats: v 1 = 30 m/s i ; v 2 = v 2 x i a) Demostreu que el moviment de l’explosiu és parabòlic, i trobeu-ne l’equació de la trajectòria y = f ( x ). b) Quina altura màxima assoleix l’explosiu respecte al nivell de llançament? c) Quina velocitat té el centre de masses abans i després de l’explosió? d) Quina velocitat tindrà el segon tros després de la explosió, v 2? e) Quant de temps triga el CM en arribar al terra?
Sol: a) y = (2/5) x - x^2 /510 ; b) h màx = 20,4 m ; c) V CM = 50 m/s i ; d) v 2 = 70 m/s i ; e) t = 4,1 s
2 , 5 kg
7 , 5 kg
A
B
Va
Vb
4 5 º 3 0 º
1 0 kg
3 0 m/ s
5.3.5 Sobre d’una superfície plana sense fricció es llança,
amb una velocitat v i = 10 m/s j , un objecte de massa M 1 cap a una corba de 90º que produeix un canvi en la direcció de l'objecte sense pèrdues d'energia en el procés. El recorregut en el tram curvilini té una durada de 3,0ꞏ10 -2^ s. Dades: M 1 = M 2 = 0,60 kg. a) ¿Quina força mitjana produeix el tram curvilini sobre l’objecte? Un cop el mòbil ha sortit de la corba, es dirigeix cap a un altre objecte, de massa M 2 , inicialment en repòs. M 1 no es dirigeix exactament cap al centre de M 2 , pel que, després de la colꞏlisió, M 1 i M 2 surten formant respectivament angles = 69º i = 21º respecte a la trajectòria de M 1 anterior a la colꞏlisió. b) Quina és la velocitat de sortida de M 1 i M 2 després de la colꞏlisió? c) Indiqueu si la colꞏlisió es pot considerar elàstica o no, en aquest cas calculeu la fracció d'energia perduda.
Sol: a) 200 N i – 200 N j ; b) v 1 f = 3.6 m/s; v 2 f = 9.3 m/s; c) la colꞏlisió és elàstica
5.3.6 Dos objectes de masses M 1 = 2,0 kg i M 2 = 5,0 kg porten velocitats donades per v 1 = 10,0 m/s i i
v 2 = 3,0 m/s i + 5,0 m/s j , just abans d’iniciar un xoc durant el qual ambdós s’adhereixen permanentment l’un a l’altre. a) Quina quantitat de moviment té el sistema d’objectes, tant segons el sistema de referència del laboratori com segons el del centre de masses (CM)? b) Quina velocitat té cada objecte segons el sistema del CM? c) Després de xocar, quina velocitat té el CM? d) Calculeu la velocitat que porta cada objecte després de xocar, segons el sistema CM i el del laboratori. e) Quina quantitat d’energia cinètica es transforma en «calor» degut al xoc?
Sol: a) p Lab = 35 kg m/s i + 25 kg m/s j , p CM = 0; b) u 1 = 5,0 m/s i – 3,6 m/s j , u 2 = –2,0 m/s i + 1,4 m/s j ; c) V CM = 5,0 m/s i + 3,6 m/s j ; d) u' 1 = u' 2 = 0 , v' 1 = v' 2 = 5,0 m/s i + 3,6 m/s j ; e) 53 J
5.3.7 En un joc de billar un dels jugadors llança una de les boles amb una velocitat de 20 m/s en una direcció que
prendrem com x. Una altra bola, que s’està movent en direcció 30° respecte l’eix x, amb una velocitat de 10 m/s, xoca amb la primera, canviant la seva direcció a una altra que forma –8° amb l’eix OX i sortint amb una velocitat de 12 m/s. (Les boles són idèntiques i de 0,40 kg de massa). a) Trobeu la quantitat de moviment inicial del sistema de partícules segons el sistema de referència dels jugadors. b) Calculeu la velocitat del CM de les dues boles de billar. c) Quin angle, respecte a la seva direcció inicial, forma la direcció de sortida del xoc de la bola primera? d) Quina energia cinètica té cadascuna de les boles després del xoc, segons el sistema de referència del CM? e) Comproveu que l’energia cinètica del sistema de partícules és, en qualsevol instant: E c resp. jugador^ = E (^) c (^) CM + E (^) c resp. CM
Sol: a) P = 11 kgꞏm/s i + 2,0 kgꞏm/s j ; b) V CM = 14 m/s i + 2,5 m/s j ; c) 22 °; d) E CM^ c 1 = E CM^ c 2 = 4,7 J
5.4 Xocs amb lligams i sistemes amb massa variable
5.4.1 Un canó de 200 kg que es pot moure lliurement sobre uns rails horitzontals dispara un projectil de 5 kg amb
una velocitat de 250 m/s i un angle de 53º respecte a l’horitzontal. a) Trobeu la velocitat de retrocés del canó. b) Es conserva la quantitat de moviment sobre l’eix vertical? Quant val i d’on prové l’increment d la component vertical de la quantitat de moviment? c) Suposem que el dispar dura 0,01 s, quant val la força que ha de fer el terra durant aquest temps?
M 1
M 2
5.5.3 En el sistema de la figura, M = 4,0 kg i m = 1,0 kg, i la politja té massa i radi menyspreables. Partint del
repòs, la massa m = 1 kg puja 1 m, aleshores que la massa M = 4,0 kg baixa la mateixa distància pel pla inclinat. a) Calculeu la variació d’energia potencial del sistema entre els instants inicials i finals b) Calculeu la velocitat de les dues masses en la posició final, si no hi ha cap fricció al pla inclinat c) Sabent que els coeficients de fricció estàtica i cinètica son ambdós igual a μ = 0,2, determineu el treball de la força de fricció cinètica en el recorregut de la massa M , i la velocitat final de les dues masses d) Per quins valors de m , la massa M pujaria en lloc de baixar?
Sol. a) – 9,8 J ; b) 1,98 m/s ; c) –6,79 J , 1,1 m/s ; d) per m > 2,69 kg
5.5.4 Una bala de 100 g de massa xoca inelàsticament amb un bloc de fusta de massa M = 900 g de massa suspès
d’un fil de 2 m de llargària fixat en el altre extrem (O). La bala arriba al bloc amb una velocitat v 0 , travessa el bloc i surt amb una velocitat igual a v 0 /4. Suposant que v 0 = 96 m/s, calculeu: a) El treball total fet per les forces normals i de fricció sobre la bala quan aquesta travessa el bloc b) La velocitat del bloc després del xoc, i la quantitat de calor generada a la colꞏlisió c) El moment angular de la bala respecte de O, abans i després del xoc, i el moment angular del bloc després del xoc respecte de O. Es conserva el moment angular total del sistema en el xoc? d) La alçada màxima a la que arriba el bloc e) La tensió del fil i les acceleracions tangencial i normal de M per a un desplaçament angular de 37º
f) Quin és el valor mínim de v 0 perquè el bloc faci la volta completa al voltant del punt O?
M
v (^0)
m
M
v 0 /
m
v
O
Sol: a) – 432 J ; b) 8 m/s , 403 J ; c) 19,2 kg m^2 /s , 4,8 kg m 2 /s , 14,4 kg m 2 /s. Sí, L respecte de O es conserva ; d) 3,3 m ; e) T = 32 N; a T = 5,9 m/s 2 ; a (^) N = 28 m/s^2 ; f) 120 m/s
5.5.5 Una bola metàlꞏlica de massa m = 1,0 kg penja
d'un fil de massa negligible i longitud l = 2,0 m formant un pèndol. Inicialment el pèndol es troba en repòs formant un angle θ 0 respecte la vertical. Deixem lliure el pèndol i observem que quan l’angle
respecte la vertical és θ = + 20º l’esfera pendular té
una velocitat de 6,0m/s.
a) Determineu l’angle θ 0 que el pèndol forma inicialment amb la vertical. b) Determineu la tensió de la corda i les
acceleracions normal i tangencial de l’esfera pendular per a l’angle θ = + 20º.
M (^) m
30 o
= 0.
Tot seguit el pèndol xoca inelàsticament amb un bloc de massa M = 2,0 kg que està en repòs sobre un pla
inclinat un angle θ = 20º (de forma que la colꞏlisió és frontal). Just després de la colꞏlisió la velocitat del bloc
de massa M és de 3,6 m/s. c) Determineu la velocitat de l’esfera pendular just després de la colꞏlisió, i el coeficient de restitució d) Determineu l’energia perduda (transformada en calor) en aquest xoc, i verifiqueu que el moment angular total del sistema respecte de l’extrem fixe del fil és conserva en el xoc.
e) Tenint en compte que el coeficient de fricció cinètica entre la massa M i el pla inclinat és μc = 0,2, determineu
l’alçada màxima que assolirà la massa M després de la colꞏlisió i el temps que tardarà a arribar-hi.
Sol: a) 89º b) T = 27 N; a (^) n = 18 m/s^2 ; a (^) t = 3,4 m/s 2 c) –1,2 m/s; 0,
d) –4,3 J , L (O)abans = L (O)després = 12 kg m 2 /s (= 14,4 – 2,4) e) 0,43 m; 0,69 s
5.5.6 Sobre un terra llis (sense fricció), un bloc de massa mA = 500 g es mou amb velocitat inicial de 2 m/s cap a
la dreta en la direcció d’un altre bloc de massa mB = 400 g, que té inicialment una velocitat de 1 m/s cap a l’esquerra (vegeu el dibuix). El bloc A té enganxada una molla horitzontal de constant recuperadora k = 50 N/m, que es comprimeix quan els dos blocs s’apropen a una distancia inferior a la seva longitud natural, i torna a tenir la seva longitud natural quan els blocs s’allunyen després d’aquesta mena de colꞏlisió. (a) Expliqueu quines forces internes al sistema format per ambdós blocs actuen durant la colꞏlisió, i perquè la colꞏlisió és elàstica. Determineu la velocitat del centre de masses del sistema i explica perquè es la mateixa abans i després del xoc. (b) Utilitzant el coeficient de restitució per a un xoc elàstic, trobeu les velocitats finals dels dos blocs després de descomprimir la molla. Comproveu amb el càlcul que la energia cinètica final es igual a la inicial. (c) En el sistema de referència del centre de masses, dibuixeu el moment lineal de cada bloc abans i després del xoc, i expliqueu perquè, en el moment de màxima compressió de la molla, els moments lineals, les velocitats, i les energies cinètiques dels blocs s’anulꞏlen en el sistema de referencies del centre de masses. En aquest moment, quina és l’energia cinètica total (Ec,mínima) del sistema de dos blocs, respecte al terra? (d) Determineu la compressió màxima de la molla utilitzant les energies cinètiques inicials de ambdós blocs i l’energia cinètica que heu trobat a l’apartat (d).
Sol. (a) les forces internes son dues forces elàstiques degudes a la molla, actuant cadascuna sobre un dels bloc; son forces conservatives (llei de Hooke), i per tant el seu treball conjunt es pot calcular amb la energia potencial corresponent. El xoc és elàstic perquè les forces internes durant la colꞏlisió son conservatives. v CM = 0,67 m/s; és la mateixa abans i després del xoc perquè es conserva el moment lineal P = M v CM = ( m A + m B) v CM (b) v B,f = 2,33 m/s cap a la dreta , v A,f = 0,67 m/s cap a l’esquerra. E c,f = E c,i = 1,2 J (c) en tot moment, respecte del CM, es compleix p A(CM) = – p B(CM). Això implica que les dues velocitats respecte del CM s’anulꞏlen alhora, moment en que la compressió de la molla es màxima. En aquest instant, els dos blocs tenen la mateixa velocitat, la del centre de masses, i E c,mínima = ½( m A + m B) v CM^2 = 0,2 J (d) Δx (^) max = 20 cm
m
A
k
m
B
2 m/s 1 m/s
