Límites de funciones, Esquemas y mapas conceptuales de Derecho

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA

MECÁNICA-ENERGÍA

𝐂𝐈𝐂𝐋𝐎 𝟐𝟎𝟐𝟒 − 𝐈

LÍMITES Y CONTINUIDAD

PROFESORA: Mg.YOLANDA AVALOS S.

Alguna vez ha estado Ud. en una competencia de atletismo donde participan

“docentes”, en la cuál dos de ellos llegaron a la meta prácticamente “juntos”, pero

uno de ellos ganó el premio?. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo,

pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada

el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.

NOCIÓN DE LÍMITE

Cuando una variable “se aproxima” a un valor particular, examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función.

Noción de límite

𝑖 ¿ Lí m 𝑥 →− 6 − 𝑓 ( 𝑥 ) =¿ ¿

𝑖 𝑖 ¿ L í m

𝑥→ − 5

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿¿ 𝑖𝑖 𝑖 ¿ 𝑓 ( 3 )=¿ ¿ 𝑖 𝑣 ¿ L í m 𝑥→ − 2 − 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿

𝑣 ¿ Lí m

𝑥 →− 2

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿¿ 𝑣 𝑖 ¿ L í m 𝑥→ − 2

𝑣𝑖𝑖 ¿ 𝑓 ( 2 )=¿ ¿ 𝑣 𝑖𝑖𝑖 ¿ Lí m 𝑥 → 2 − 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿

𝑖𝑥 ¿ L í m

𝑥→ 2 +¿ 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿ ¿ 𝑖 ¿ 𝑓 ( − 4 )=¿ ¿ 𝑖 𝑖 ¿ L í m 𝑥→ − 4 − 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿

𝑖 𝑖𝑖 ¿ Lí m

𝑥 →− 4

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 )=¿¿ ¿ 𝑖𝑣 ¿ Lí m 𝑥→ − 2 − 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿

𝑣 ¿ Lí m

𝑥 →− 2

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿¿

𝑣𝑖 𝑖 ¿ Lí m

𝑥 → 2 − ❑ 𝑓 ( 𝑥 ) =¿ ¿ 𝑣𝑖 ¿ L í m 𝑥 →− 2

𝑣𝑖𝑖 𝑖 ¿ Lí m

𝑥 → 2

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿¿ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ¿

𝑖 𝑖 ¿ L í m 𝑥→ 0 − 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿

𝑖𝑖 𝑖 ¿ Lí m

𝑥 → 0

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿¿ 𝑖 𝑣 ¿ L í m 𝑥→ 0

𝑣𝑖 ¿ L í m 𝑥 → 1 − 𝑓 ( 𝑥 )=¿ ¿ 𝑖 ¿ 𝑓 ( 0 )=¿ ¿ 𝑣 ¿ 𝑓 ( 1 ) =¿ ¿

𝑣𝑖 𝑖 ¿ Lí m

𝑥 → 1

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 ) =¿¿ ¿

𝑣𝑖𝑖 𝑖 ¿ Lí m

𝑥 → 1

Gráfica de un acercamiento por

izquierda

Matemáticamente: x  3

-

Gráficamente:

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores menores que el 3,

se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda

3 5

x

Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo,

obtenemos:

x x

Observando los slides anteriores, se puede decir que si x tiende a 3 por la

izquierda, la función tiende al valor de 5.y si x tiende a 3 por la derecha, la

función tiende al valor de 5

Lí m 𝑥 → 3

• ¿ 𝑓 ( 𝑥 )= 5 ¿ Lí m 𝑥 → 3 − 𝑓 ( 𝑥 )= 5

¡ Importante!

No es lo mismo decir “ x es igual a

tres” , que decir “ x tiende a tres ”

𝒙 = 𝟑 𝒙 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒅𝒆 𝒂 : 𝟑 → 𝟑 ←

¿qué ocurre con el valor de f ( x ) cuando x 3?

3 5 7

x x

Ejemplo Cuando x tiende a 3 por la izquierda, la función se acerca a 5; mientras que cuando se acerca a 3 por la derecha la función se acerca a 7. En conclusión: La función no tiene límite en el punto 3

x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,

f(x) 3,88 3,90 3,99 ---? --- 4,01 4,10 4,

; 2 2 4 ( ) 2     x x x f x Ejemplo. Graficar la función 𝟒 𝟐 𝑓 ( 𝑥 )= ( 𝑥 − 2 )( 𝑥 + 2 ) 𝑥 − 2

; 2 2 4 ( ) 2     x x x f x

4 2 4 2 2             x x Lim x

x 2

x 4

f(x )

2

 Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”

En ambos casos la información apunta a la misma

conclusión: los valores de f(x) se aproxima a 4 cuando los

valores de x se aproximan a 2.

Este comportamiento se denota por:

4 2 4 2 2             x x Lim x

x 2

x 4

f(x )

2

Definici ón

• (^) Una función f tiene límite L cuando x tiende a “a” por cualquier lado

(derecha o izquierda); y se escribe:

Lim f x L x a   ( )

Si todos los valores f(x) para f se encuentran cerca de L para todos los

valores de que se encuentran arbitrariamente cerca, pero que no son

iguales a “ a ”.

Lim f x L

x a



Límite de una función en un punto: definición formal

Vecindad

UnaVecindad es un intervalo abierto de centro 𝐱𝐨 radio 𝛅 > 𝟎 , se denota por 𝐕𝛅 ( 𝐱𝐨 )

𝑽 𝜹 (^ 𝒙 𝒐 )^ =⟨ 𝒙 𝒐 − 𝜹 ; 𝒙 𝒐

• 𝜹 ⟩ 𝒙

− 𝜹 (^) 𝒙

𝒙𝒐 + 𝜹 𝜹 𝜹

𝑽 (^) 𝟎 , 𝟐 ( 𝟓 ) =⟨ 𝟓 − 𝟎 , 𝟐 ; 𝟓 + 𝟎 , 𝟐 ⟩ =⟨ 𝟒 , 𝟖 ; 𝟓 , 𝟐 ⟩ Vecindad Reducida. reducida es aquella que se le quita el centro 𝑽 ′

𝜹 (^

𝒙

= 𝑽

𝜹 (^

𝒙

𝒐 )^

− (^) { 𝒙 𝒐 } 𝑵𝒐𝒕𝒂 𝟐. 𝒙 ∈ (^) ⟨ 𝒙𝒐 − 𝜹 ; 𝒙𝒐 + 𝜹 ⟩ ⟺ 𝟎 <| 𝒙 − 𝒙𝒐 |< 𝜹 𝒙 𝒐 − 𝜹 (^) 𝒙 𝒐 𝒙𝒐 + 𝜹 𝜹 𝜹