Espacio generado e independencia lineal, Diapositivas de Matemáticas

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MATEMÁTICA ANALÍTICA 4

Sesión 5.

Espacio generado e Independencia Lineal

Temario

1. Combinación lineal
2. Espacio generado
3. Dependencia e Independencia lineal
4. Propiedades

Ejemplos

1. El vector es combinación lineal de los vectores . Porque:
2. El vector es combinación lineal de los vectores             4 1 2 v                       4 3 0 v 1 y v 2 0

• 2 1         4 sen  v x sen x , cos x.                                 4 3 0 2 1 0
• 2 1 4
• 1 2 Porque: (^) x x cos x 2 2 sen 2 2 4 sen (^)         

Sea V un espacio vectorial y tome el conjunto A ={ u 1 , u 2 ... u n}  V. Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de A, se le denomina espacio generado por A y se denota y se define por:

            n i i i a a 1 gen A v u / R i

2. Espacio generado

Nota: El conjunto gen(A) es un S.E.V. de V.

3. Dependencia e Independencia lineal

Sea V un espacio vectorial. Se dice que el conjunto es LINEALMENTE INDEPENDIENTE (LI), si la única solución de la ecuación: es: De lo contrario el conjunto A se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE (LD).

1 2

k

A  v v v  V

1 1 2 2

k k

a v  a v   a v  0

1 2

k

a  a   a 

Ejemplo

4. Propiedades

1. es y es
   2. es y es
2. es V V U U V U V U V V       LD LD LI LI 0 LD
   4. Un conjunto { v 1 , v 2 , …, v n} de vectores de R n^ es LI

si y sólo si.

det( )  0

1 n

v ,..., v

Ejemplo

Ejercicios Ejercicios 6.1 – Pág. 460-461. Ejercicios: 24, 25, 26, 28 36, 38, 42, 43, 51, 52, 59,60, 62

Bibliografía  (^) David Poole (2013): “Álgebra lineal una introducción moderna". Tercera edición. Cengage Learning.