espacio proyectivo, Apuntes de Geometría

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Jos´e Luis T´abara Versi´on 0.1, 22 Noviembre 2001

´Indice general

• 1. El espacio proyectivo
  • 1.1. Definici´on de espacio proyectivo
  • 1.2. Subvariedades lineales
  • 1.3. Homograf´ıas. Grupo proyectivo
  • 1.4. Aplicaciones proyectivas
  • 1.5. El espacio dual
  • 1.6. Cambio de base
  • Problemas
• 2. Sistemas de referencia
  • 2.1. Coordenadas homogeneas
  • 2.2. Ecuaciones de subespacios proyectivos
  • 2.3. Raz´on doble de cuatro puntos alineados
  • 2.4. Sistemas de referencia duales
  • Problemas
• 3. El espacio af´ın
  • 3.1. Definici´on de espacio af´ın
  • 3.2. Coordenadas afines
  • 3.3. Afinidades
  • Problemas
• 4. El grupo proyectivo
  • 4.1. Colineaciones
  • 4.2. Perspectividades
  • 4.3. Homolog´ıas
• ´Indice de Materias

1.2. Subvariedades lineales

Diremos que un subconjunto de P(E) es una subvariedad lineal cuando sea la imagen por la proyecci´on can´onica π de alg´un subespacio de E. Si V es un subespacio vectorial de E y X = π(V ), diremos que X es la proyectivizaci´on de V , y se verifica que los puntos de X se corresponden de modo can´onico con los del espacio proyectivo asociado a V. Por ello cada subvariedad lineal se puede entender como un espacio proyectivo. El conjunto vac´ıo tambi´en se considerar´a, por convenio, una subvariedad lineal del espacio proyectivo. Ser´a la proyectivizaci´on del subespacio { 0 }. El subespacio que le corresponde a una subvariedad lineal es ´unico pues un subespacio es la uni´on de todas las rectas que contiene. Si X = π(V ) entonces V = π−^1 (X) ∪ { 0 }. La relaci´on de inclusi´on entre subconjuntos de P(E) define una relaci´on de orden entre las subvariedades lineales que llamaremos incidencia. Si X,Y son dos subvariedades lineales tales que X ⊆ Y diremos que X e Y son incidentes. Si X = Y diremos que son coincidentes. Este conjunto tiene una estructura de ret´ıculo, dado de la siguiente ma- nera: si X = π(V ), Y = π(W ) entonces

sup(X, Y ) = X + Y = π(V + W )

inf(X, Y ) = X ∩ Y = π(V ∩ W ) La comprobaci´on de estas propiedades es inmediata. Las subvariedades lineales forman un ret´ıculo, cuyo primer elemento es el conjunto vac´ıo y el ´ultimo elemento es el espacio total. Hemos probado el

Teorema 1.1 Consideremos el ret´ıculo de subespacios y el de subvariedades lineales. La aplicaci´on que manda a cada subespacio V a su proyectivizado π(V ), es un isomorfismo de ret´ıculos.

La aplicaci´on considerada es tambi´en un morfismo de conjuntos ordena- dos: si V ⊆ W entonces π(V ) ⊆ π(W ) Sea S un subconjunto de P(E). La intersecci´on de todas las subvarie- dades de P(E) que contienen a S es una subvariedad lineal que denotamos por < S >. Por construcci´on < S > es la m´ınima subvariedad que contiene a S.

Definici´on 1.3 Diremos que < S > es la subvariedad lineal generada por S.

Dado el subconjunto S consideramos su imagen inversa por π. Como π−^1 (S) es un subconjunto de un espacio vectorial, existe un m´ınimo subes- pacio vectorial que lo contiene. Sea V dicho subespacio. En estas condiciones tenemos π(V ) =< S >

por lo que la subvariedad generada es la proyectivizaci´on del subespacio ge- nerado por las rectas del conjunto.

Definici´on 1.4 Si X = π(V ) es una subvariedad lineal, llamaremos dimen- si´on de X al n´umero dim(X) = dim(V ) − 1.

A la subvariedad ∅ se le asigna por convenio dimensi´on igual a −1. Si el espacio proyectivo tiene dimensi´on uno se dice que es una recta proyectiva. Si tiene dimensi´on dos es un plano proyectivo. En el caso real la dimensi´on de X coincide con la dimensi´on como variedad topol´ogica.

Definici´on 1.5 Si X = π(V ), llamaremos codimensi´on de Xal n´umero

codim(X) = dim(P(E)) − dim(X) = dim(E) − dim(V )

Las subvariedades lineales de dimensi´on cero son los puntos. Las de di- mensi´on uno las llamaremos rectas, las de dimensi´on dos planos y las de codimensi´on uno hiperplanos. De las propiedades conocidas de los espacios vectoriales se deduce que dadas dos subvariedades X, Y incidentes y de la misma dimensi´on, necesaria- mente coinciden. Del mismo modo si X ⊆ Y entonces dim(X) ≤ dim(Y ) y el menor es estricto cuando la inclusi´on tambi´en lo es. La f´ormula de las dimensiones es v´alida para subvariedades:

dim(X + Y ) = dim(X) + dim(Y ) − dim(X ∩ Y )

Esto es consecuencia directa de las definiciones y de la f´ormula an´aloga para subespacios vectoriales. De ello se pueden deducir consecuencias acerca de la intersecci´on y la suma de subvariedades.

Ejemplos

Si A y B son dos puntos distintos, entonces A + B es una subvariedad que pasa por A y por B. Veamos cual es su dimensi´on aplicando la f´ormula anterior

Las rectas de P^3 que pasan por un punto dado forman un plano pro- yectivo.

Los planos de P^3 que pasan por una recta forman una recta proyectiva.

1.3. Homograf´ıas. Grupo proyectivo

Si ϕ : E → E′^ es una aplicaci´on lineal biun´ıvoca, la imagen por ϕ de cada recta de E es una recta de E′. Ello nos permite construir una aplicaci´on de P(E) en P(E′) que denotaremos π(ϕ). Vendr´a definida por la f´ormula

π(ϕ)(π(e)) = π(ϕ(e))

La funci´on no depende del representante tomado en cada clase de equi- valencia por ser ϕ una aplicaci´on lineal. Esta aplicaci´on se llama proyectivi- zaci´on de ϕ.

Definici´on 1.7 Una proyectividad u homograf´ıa es una funci´on de P(E) en P(E′) dada por alg´un isomorfismo ϕ.

La proyectivizaci´on de ϕ hace que el diagrama siguiente sea conmutativo

E

ϕ −→ E′ ↓ ↓ P(E) π(ϕ) −→ P(E′)

Si las aplicaciones lineales se pueden componer, sus homgraf´ıas asociadas tambi´en y cumplen en este caso las siguientes propiedades:

π(ϕ ◦ φ) = π(ϕ) ◦ π(φ)

(π(ϕ))−^1 = π(ϕ−^1 )

π(Id) = Id

De las propiedades enunciadas anteriormente se deduce que el conjunto de homograf´ıas de un espacio proyectivo forma un grupo, que denotaremos P GL(E) y llamaremos grupo proyectivo. La asociaci´on ϕ 7 → π(ϕ) es un mor- fismo de grupos de GL(E) en P GL(E). Esta aplicaci´on es por definici´on epiyectiva y su n´ucleo est´a formado por todas las homotecias, pues si todos los vectores de E son propios de una aplicaci´on lineal ϕ, necesariamente esta aplicaci´on es una homotecia. Este grupo as´ı construido es el grupo de la geometr´ıa proyectiva. De su estudio nos ocuparemos con posterioridad.

Definici´on 1.8 Dos figuras (conjunto de puntos) son proyectivamente equi- valentes si existe una homograf´ıa que transforma una en la otra. Una pro- piedad es proyectiva si es invariante por homograf´ıas

Dada una homograf´ıa π(ϕ), un punto invariante de la homograf´ıa cumple π(ϕ)e = e. Por lo tanto π(ϕ(e)) = e ⇒ ϕ(e) = λe. De este modo el estudio de los puntos invariantes de las homograf´ıas es equivalente al estudio de los valores propios de las aplicaciones lineales.

1.4. Aplicaciones proyectivas

En el caso de las aplicaciones biyectivas no hay ning´un problema para construir la aplicaci´on proyectivizada, debido a que solamente el vector nulo tiene como imagen el vector nulo. Sin embargo si una aplicaci´on lineal tiene n´ucleo, la imagen de esos vectores no genera ninguna recta y no se puede definir la aplicaci´on proyectivizada en dicho subconjunto.

Definici´on 1.9 Dada una aplicaci´on lineal ϕ : E −→ E′, se llama centro de dicha aplicaci´on lineal al proyectivizado de su n´ucleo π(Ker(ϕ)). La aplicaci´on proyectiva π(ϕ) est´a definida en el complementario del centro y responde a la f´ormula π(ϕ)(π(e) = π(ϕ(e))

A pesar de que en realidad la aplicaci´on π est´a definida en el conjunto P(E) − π(Ker(ϕ)) cometeremos el abuso de notaci´on de escribir

π(ϕ) : P(E) −→ P(E′)

teniendo claro que dicha aplicaci´on no est´a definida en todo el espacio. Como vemos las homograf´ıas no son sino las aplicaciones proyectivas aso- ciadas a aplicaciones biyectivas.

1.5. El espacio dual

Sea E∗^ el espacio dual de E. Diremos que P(E∗) es el espacio proyectivo dual de P(E). Como las rectas de E∗^ se corresponden por incidencia con los hiperplanos de E, podemos considerar a P(E∗) como el conjunto de hiper- planos de P(E). Si X = π(V ) es una subvariedad, diremos que Xo^ = π(V o) es la subva- riedad dual o subvariedad incidente de X.

Por supuesto la dimensi´on de XK se calcula entendiendo el espacio ex- tendido como un K-espacio. Como las propiedades geom´etricas son estables por cambio de cuerpo base, es suficiente demostrarlas despu´es de hacer una extensi´on, con lo que puede suponerse que el cuerpo base es algebraicamente cerrado, (recordemos que todo cuerpo admite una extensi´on algebraicamente cerrada). Del mismo modo que a las subvariedades, a cada proyectividad ϕ = π(ϕ) le podemos asociar una proyectividad del espacio extendido mediante la f´ormula ϕK = π(ϕ ⊗ 1). De esta manera se inyecta el grupo lineal proyectivo del espacio E en el grupo lineal proyectivo de E ⊗k K (como K-espacio).

Problemas

Problema 1 Calcula cuantos puntos tiene la recta proyectiva sobre un cuerpo finito de n elementos.

Problema 2 Calcula cuantos puntos tiene el plano proyectivo sobre el cuerpo Z 2.

Problema 3 Probar que un hiperplano proyectivo es una subvariedad maximal.

Problema 4 Toda subvariedad lineal de dimensi´on r es la intersecci´on de n − r hiperplanos.

Problema 5 Dado un hiperplano y un punto no contenido en dicho hiperplano, demostrar que su suma es el espacio proyectivo total.

Problema 6 Sean X y X′^ subvariedades. Probar que X + X′^ es justamente la variedad engendrada por el conjunto X ∪ X′.

Problema 7 Por tres puntos no alineados pasa un ´unico plano proyectivo.

Problema 8 Sea P (E) un espacio proyectivo de dimensi´on n. Un conjunto de puntos {P 1 = π(e 1 ), · · · , Pk = π(ek)}

es proyectivamente libre si {e 1 , · · · , ek} es una familia de vectores linealmente independiente.

Probar que esta definici´on no depende de los representantes elegidos.

Llamamos rango de un conjunto de puntos a la dimensi´on de la variedad lineal que generan

Probar que {P 1 , · · · , Pk} es libre si y solo si su rango es k − 1.

El n´umero m´aximo de puntos independientes es n + 1

Formular en lenguaje proyectivo un teorema an´alogo al de los espacios vectoriales que afirma que todo conjunto de vectores independientes se puede completar hasta formar una base.

Problema 9 Sea P(E) un espacio proyectivo de dimensi´on mayor que dos. Sea p un punto. El conjunto de rectas que pasan por el punto p es un espacio proyectivo. Calcular su dimensi´on.

Cap´ıtulo 2

Sistemas de referencia

2.1. Coordenadas homogeneas

Se introducir´a ahora un concepto an´alogo al de base de un espacio vecto- rial en los espacios proyectivos asociados a espacios vectoriales de dimensi´on finita. Si P(E) es un espacio proyectivo de dimensi´on n, diremos que un conjun- tos de n + 1 puntos (P 0 , P 1 ,... , Pn) es un s´ımplice cuando (P 0 + P 1 + · · · + Pn) es el espacio total. Los hiperplanos resultantes de quitar un punto al s´ımplice se denominan caras del s´ımplice. Tomando un representante de cada punto del s´ımplice se obtiene una base del espacio vectorial, puesto que los puntos engendrar´an el espacio proyectivo total.

Definici´on 2.1 Diremos que una sucesi´on ordenada de n + 2 puntos

R = (P 0 , P 1 , · · · , Pn, U )

es un sistema de referencia, cuando al quitar un punto cualquiera nos quede un s´ımplice. Diremos que los primeros n + 1 puntos forman el s´ımplice de referencia y que U es el punto unidad.

Teorema 2.1 Sea R = (P 0 , P 1 , · · · , Pn, U ) un sistema de referencia. Existe una base, ´unica salvo un factor de proporcionalidad, {ei} de tal que Pi = π(ei) y U = π(e 1 + e 2 + · · · + en). La proporcionalidad significa que si {e′ i} es otra base que cumpla el teorema entonces se cumple: e′ i = λei, donde λ es un escalar no nulo.

Demostraci´on.

Elijamos vectores vi tales que representen a cada punto Pi. Entonces estos vectores forman un base del espacio vectorial. Luego si u es un representante U : u = λ 0 v 0 + · · · + λnvn

para ciertos escalares λi ninguno de los cuales puede ser nulo. Si λi fuera nulo al quitar el punto Pi a la sucesi´on formada por el sistema de referencia no nos quedar´ıa un s´ımplice, pues no generar´ıa el espacio total. La base {λivi} verifica el enunciado. Si {ei} y {e′ i} cumplen el enunciado entonces e′ i = μiei y

ei =

μe′ i. Entonces μ = μi y e′ i = μei.

Corolario 2.2 Dados dos sistemas de referencia en sendos espacios proyec- tivos de la misma dimensi´on, existe una ´unica proyectividad que transforma el primer sistema en el segundo.

Demostraci´on.

Sean {ei} y {e′ i} dos bases asociadas a los sistemas de referencia. La apli- caci´on lineal ϕ que transforma una base en la otra da al proyectivizarla una aplicaci´on que cumple el enunciado. Como las bases son ´unicas, salvo un fac- tor de proporcionalidad la aplicaci´on lineal construida puede diferir tambi´en en un factor de proporcionalidad que no tiene importancia al proyectivizar la aplicaci´on lineal.

Definici´on 2.2 Las bases a las que se refiere el teorema anterior reciben el apelativo de bases normalizadas asociadas al sistema de referencia en cuesti´on.

Sea P un punto del espacio proyectivo y R una referencia en dicho espa- cio. Si e es un representante de P y {ei} una base normalizada asociada a R, podemos expresar e =

xiei. Los n´umeros (indeterminados en una cons- tante no nula) xi son por definici´on las coordenadas homog´eneas del punto P en la referencia R.

Ejemplos

En una recta proyectiva, dar una referencia es dar tres puntos distintos y ordenados.

En un plano proyectivo una referencia est´a formada por cuatro puntos. Los tres primeros formar´an un tri´angulo y el ´ultimo no podr´a estar sobre los lados del tri´angulo.

Teorema 2.3 La condici´on necesaria y suficiente para que dos cuaternas de una recta proyectiva tengan la misma raz´on doble es que est´en ligadas por una proyectividad. Dicha proyectividad es ´unica.

Definici´on 2.3 Diremos que una cuaterna de puntos alineados y ordenados es arm´onica cuando su raz´on doble sea -1. Tambi´en se dir´a que P 4 es el conjugado arm´onico de P 3 , respecto a la pareja (P 1 , P 2 ).

Nota. Conociendo las coordenadas homogeneas de los cuatro puntos de una cuaterna en un cierto sistemas de referencia se puede calcular facilmente en funci´on de ellos la raz´on doble. Sin embargo no lo haremos debido a su tediosidad. El lector interesado puede consultar alg´un texto de geometr´ıa proyectiva donde esto venga desarrollado.

2.4. Sistemas de referencia duales

Este concepto es el an´alogo al de las bases duales en los espacios vecto- riales. Diremos que un sistema de referencia R es el dual de un sistema de referencia R∗^ en el espacio dual, cuando existan dos bases normalizadas aso- ciadas con R y R∗^ que sean duales entre si. Veremos ahora que condiciones, expresadas en lenguaje proyectivo, son necesarias y suficientes para que dos sistemas de referencia sean duales. Para ello necesitamos unos preliminares. Sea R una referencia. Por Pi denotamos los puntos del s´ımplice y por U el punto unidad. P un punto que no sea incidente con las caras del s´ımplice (que no pertenezca a ninguna cara). Llamaremos Pij al punto de intersecci´on

de la recta Pi + Pj con el hiperplano P 0 + · · · +

◦ Pi + · · · +

◦ Pj + · · · + Pn + P. El c´ırculo encima de un punto indica que ese punto no est´a.

Lema 2.4 Si {xi} son las coordenada homogeneas de P en la referencia R, entonces se verifica xi xj

= (Pi, Pj ; Uij , Pij )

Demostraci´on.

Sea {ei} una base normalizada y {wi} la base dual. La forma lineal xj wi −

xiwj es un representante del incidente del hiperplano P 0 + · · · +

◦ Pi + · · · +

◦ Pj

• · · · + Pn + P. As´ı que el vector xiei + xj ej representa a Pij. En consecuencia ei, ej forman una base normalizada asociada a la referencia (Pi, Pj ; Uij ) de donde se sigue el lema.

Teorema 2.5 La condici´on necesaria y suficiente para que una referencia R = ({Pi}; U ) de un espacio proyectivo P(E) y una referencia del espacio dual R∗^ = ({P (^) i∗ }; U ∗) est´en en dualidad es que se verifique:

1. P (^) i∗ es la cara opuesta al vertice Pi del s´ımplice de referencia. (Natural- mente entendiendo como hiperplanos los puntos del espacio dual).
2. La intersecci´on del hiperplano U ∗^ con la recta P (^) i∗ + P (^) j∗ es el conjugado arm´onico del Uij respecto del par (Pi, Pj ).

Demostraci´on.

La necesidad se deja al lector ´avido de conocimientos. Veamos la suficien- cia. Sean {ei} y {wi} bases normalizadas asociadas a los sistemas de refe- rencia. La primera condici´on nos dice que wi(ej ) = 0 siempre que i 6 = j. La intersecci´on de U ∗^ con Pi + Pj est´a representada por el vector

wj (ej ).ei − wi(ei).ej

La segunda condici´on nos establece que

wi(ei) = wj (ej )

lo que concluye el teorema. Nota. Recordar que la intersecci´on de un hiperplano y una recta no incluida en ´el es siempre un punto. Tambi´en es de utilidad recordar que U ∗^ esta representado por el vector

wi.

Cap´ıtulo 3

El espacio af´ın

3.1. Definici´on de espacio af´ın

Definici´on 3.1 Llamaremos espacio af´ın al par formado por un espacio pro- yectivo y un hiperplano del mismo

Si (P, H) es un espacio af´ın diremos que P − H = P ∩ Hc^ es la zona af´ın y que H es el hiperplano del infinito. Los puntos de la zona af´ın se llamar´an puntos propios y los de H puntos impropios o puntos del infinito o direcciones del espacio af´ın. Llamaremos subvariedades afines de un espacio af´ın a las subvariedades lineales que no est´an contenidas en el hiperplano del infinito. La intersecci´on de cualquier subvariedad af´ın con el hiperplano del infinito es una subva- riedad lineal de dimensi´on una menos que la dimensi´on de la subvariedad de partida. Las subvariedades afines est´an determinadas por su intersecci´on con la zona af´ın. Ello quiere decir que si dos subvariedades X e Y tienen la misma intersecci´on con la zona af´ın, necesariamente coinciden. Cada subvariedad af´ın puede considerarse tambi´en como un espacio af´ın, tomando como zona del infinito su intersecci´on con el hiperplano del infinito. Cuando dos subvariedades afines tengan intersecciones con el hiperplano del infinito que sean incidentes, diremos que dichas subvariedades son para- lelas.

3.2. Coordenadas afines

Una referencia R de un espacio proyectivo es una referencia af´ın cuando P 1 + P 2 +... + Pn sea el hiperplano del infinito. En este caso al punto P 0

lo llamaremos origen de la referencia y a las rectas Pi + Pj los ejes de dicha referencia. Si R es una referencia af´ın y {xi} las coordenadas homogeneas de un punto P , ocurre que P es punto propio precisamente cuando x 0 6 = 0. Por ello la sucesi´on de escalares (^) ( x 1 x 0

x 2 x 0

xn x 0

est´a correctamente definida cuando P es un punto de la zona af´ın. En consecuencia, cada referencia af´ın define una biyecci´on entre la zona af´ın y el conjunto Kn. A pesar de ello la zona af´ın no puede considerarse un espacio vectorial, al depender la biyecci´on de la referencia af´ın escogida y no existir procedimiento can´onico para elegir la referencia af´ın. La raz´on doble induce un concepto nuevo en el espacio af´ın: la raz´on simple. Sean A, B, C tres puntos propios distintos alineados y sea D la inter- secci´on de la recta que generan con el hiperplano del infinito. La raz´on simple es por definici´on la raz´on doble de la cuaterna A, B, C, D. Se denotar´a por (A, B, C).

3.3. Afinidades

Dado un espacio af´ın, diremos que una proyectividad es una afinidad cuan- do deje estables todos los puntos del infinito. Esto es, cada punto del infinito se transforma en otro punto del infinito, pero no necesariamente en ´el mismo. Una afinidad induce una biyecci´on de la zona af´ın. Las afinidades forman un subgrupo del grupo lineal proyectivo. La geo- metr´ıa af´ın es el estudio de los conjuntos donde actue el grupo de las afini- dades (o grupo af´ın). Veamos que el grupo af´ın actua libremente sobre la zona af´ın. Para ello basta ver que si una proyectividad induce la identidad en la zona af´ın necesa- riamente es la identidad del espacio proyectivo. Ello es consecuencia de que cada punto del infinito es el corte de una recta af´ın y el propio hiperplano. Si π(ϕ) es una afinidad del espacio af´ın (P(E), π(V )) entonces ϕ(V ) = V y as´ı que ϕ pasa como aplicaci´on lineal biun´ıvoca al espacio cociente E/V. Necesariamente es una homotecia pues el espacio tiene dimensi´on uno. En consecuencia existe un representante que induce la identidad en E/V. Diremos que esa aplicaci´on es el representante normalizado de la afinidad dada. De este modo se obtiene que el grupo af´ın es can´onicamente isomorfo al subgrupo de GL(E) formado por los automorfismos que dejan invariante V e inducen la identidad en E/V.