geometria lineal, Apuntes de Geometría

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Apuntes de Geometr´ıa Lineal.

por

Jos´e Antonio Belinch´on

ii

ii

3.4 Movimintos en R 3

• 1 Espacio Af´ın Pr´ologo v
  • 1.1 Espacio af´in.
  • 1.2 Dependencia e independencia lineal de un conjunto de puntos en un espacio af´in.
    • 1.2.1 Cambio de sistema de referencia baric´entrica.
    • 1.2.2 Ecuaciones de una variedad en coordenadas baric´entricas.
    • 1.2.3 Coordenadas cartesianas.
    • 1.2.4 Cambio de sistema de referencia cartesiano.
    • 1.2.5 Ecuaciones param´etricas y cartesianas (o impl´icitas) de una variedad lineal.
  • 1.3 El teorema de Ceva.
    • 1.3.1 La construcci´on geom´etrica con CABRI.
    • 1.3.2 Experimento y conclusiones.
  • 1.4 Ejercicios
• 2 Aplicaciones afines.
  • 2.1 Aplicaciones afines
    • 2.1.1 Ecuaciones cartesianas de una aplicaci´on af´in.
  • 2.2 Afinidades de la recta.
  • 2.3 Afinidades en el plano af´in.
  • 2.4 Ejemplo de transformaci´on af´ın.
    • 2.4.1 Explicaci´on de la pr´actica con Cabri.
    • 2.4.2 De forma gen´erica.
  • 2.5 Ejemplos
• 3 Geometr´ıa af´ın Eucl´ıdea INDICE GENERAL
  • 3.1 Espacio af´ın euclideo.
  • 3.2 Movimientos de la recta af´in eucl´idea.
  • 3.3 Movimientos en el plano.
    • 3.4.1 Veamos algunos ejemplos:
  • 3.5 Semejanza.
  • 3.6 Un ejemplo concreto
  • 3.7 Ejemplos y Ejercicos
• 4 C´onicas
  • 4.1 Tabla resumen.
  • 4.2 Ejemplos.
  • 4.3 Determinaci´on de distintos elementos:
    • 4.3.1 Elipse e hip´erbola.
    • 4.3.2 Par´abola.
    • 4.3.3 Ejemplos.
  • 4.4 Tabla resumen.
  • 4.5 Ejemplo. La par´abola mediante Cabri
    • 4.5.1 Introducci´on.
    • 4.5.2 Construcci´on de la par´abola.
    • 4.5.3 Sobre la tangente y la normal
    • 4.5.4 Aplicaciones.
  • 4.6 Ejemplos y Ejercicios
• 5 Cu´adricas
  • 5.1 Trabla resumen.
    • 5.1.1 Caso 1.
    • 5.1.2 Caso 2.
    • 5.1.3 Caso 3.
    • 5.1.4 Cuadro resumen.

INDICE GENERAL iii

5.2 Ejemplos............................................. 121

5.3 Determinaci´on de distintos elementos............................. 123

Pr´ologo

La idea fundamental de esta notas confecionadas a modo de resumen (personal) es la de tener a mano un

recordatorio de por donde iban los tiros. S´olo se demuestran los teorema fundamentales y se acompo˜na

el texto con una serie de ejercios m´as o menos trabajados. En modo alguno pretenden sustituir (porque

es implosible) los manuales cl´asicos o las notas de clase de un profesor. Es decir, estas notas estan

confeccionadas a modo de refrito entre las notas de clase y de distintos libros cl´asicos como los siguientes:

1. Golovina, L.I.

Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones Edt. MIR 1980

1. Hern´andez, E.

Algebra y geometr´ıa. Addison-Wesley/UAM 1994

1. Castellet, M et al.

Algebra lineal y geometr´ıa. Edt. Revert´e 1994.

1. D. A. Brannan et al. Geometry CUP 2000.
2. S. Xamb´o Geometr´ıa UPC 1997
3. A. F. Costa et al. Geometr´ıa lienal y grupos de transformaciones UNED 1989
4. M. Anzola et al Problemas de ´algebra tomo VI. Geometr´ıa af´ın y eucl´ıdea.
5. A. de la Villa Problemas de ´algebra 1998.

todo ello aderezado (como he indicado antes) con una serie de ejemplos desarrollados (eso espero) al

final de cada capitulillo.

ADVERTENCIA: No est´an concluidas y es muy posible que hayan sobrevivido numerosas erratas.

Toda observaci´on en este sentido es bien recibida.

v

vi

INDICE GENERAL

2 CAP

ITULO 1. ESPACIO AF

IN

Observaci´on 1.1.2 • ∀~u ∈ V, T~u es biyectiva,

• Si ∃p ∈ A / T~u(p) = T~v(p), ~u, ~v ∈ V =⇒ ~u = ~v,
• ∀p, q ∈ A =⇒ ∃!~u ∈ V / T~u(p) = q,
• T~u · T~v = T~u+~v.

Proposici´on 1.1.2 Sea = = {T~u} ~u∈V

, (=, ·) es un grupo abeliano.

Observaci´on 1.1.3 Lo importante del asunto es que a partir de la definici´on de traslaci´on se puede

recuperar el concepto de espacio af´in,

= × A −→ A

(T~u, p) −→ T~u(p) = q

Proposici´on 1.1.3 Sea A un conjunto no vacio, V un espacio vectorial y = = {T~u} ~u∈V

, tal que

T~u : A −→ A

T~u(p) −→ q

biyectiva y verificando:

1. T~u · T~v = T~u+~v
2. ∀p, q ∈ A =⇒ ∃!~u ∈ V / T~u(p) = q

Entonces ∃! espacio af´in (A, V, ϕ) de manera que = es la familia de sus traslaciones.

Definici´on 1.1.3 Variedad lineal. Sea (A, V, ϕ) es un espacio af´in tal que L ⊂ V i.e. es un subespacio

vectorial de V. Llamamos variedad lineal af´in al conjunto

a + L =

b ∈ A /

ab ∈ L

Proposici´on 1.1.4 Propiedades de las variedades lineales.

1. Dos variedades lineales con el mismo conjunto de puntos coincide

b ∈ a + L ⇐⇒ b + L = a + L

1. p, q ∈ a + L =⇒

pq ∈ L

1. {a 1 , ....., an} ⊂ A entonces L = L (

a 1 a 2 , .....,

a 1 an) es a menor variedad que contiene a dichos

puntos.

Definici´on 1.1.4 Variedades paralelas. Sean a + L y b + M variedades, decimos que

a + L ‖ b + M

i.e que son paralelas si:

L ⊂ M, ´o M ⊂ L, ´o L = M

1.1. ESPACIO AF

IN. 3

Proposici´on 1.1.5 a + L ∩ b + M 6 = ∅ ⇐⇒

ab ∈ L + M.

Corolario 1.1.1 a + L ∩ b + M = ∅ ⇐⇒

ab /∈ L + M

Corolario 1.1.2 a + L ‖ b + M (L ⊆ M ) =⇒ a + L ∩ b + M = ∅ y (a + L) ⊆ (b + M ).

Teorema 1.1.1 a + L ∩ b + M 6 = ∅ y sea c ∈ a + L ∩ b + M entonces

a + L ∩ b + M = c + (L ∩ M )

Proposici´on 1.1.6 a + L ∪ b + M Ã a + H / H = L ∪ M.

Teorema 1.1.2 La menor variedad lineal que contiene a la uni´on de a + L y b + M es

(a + L) + (b + M ) = B

Demostraci´on. Tenemos que probar que si existe a + H variedad lineal tal que

a + L ⊂ a + H

b + M ⊂ a + H

? =⇒ B ⊂ a + H

ya que queremos ver que B es la m´as peque˜na (la menor).

Sea B = a +

[

L + M + L

ab

)]

a + L ⊂ a + H

b + M ⊂ a + H

? =⇒ L + M + L

ab

⊂ H

• a ∈ a + H y b ∈ a + H =⇒

ab ∈ H =⇒ L

ab

∈ H.

• ∀~u ∈ L =⇒ ∃c ∈ A /

ac = ~u =⇒ c ∈ a + L =⇒ c ∈ a + H =⇒

ac = ~u ∈ H =⇒ L ⊂ H

• ∀~v ∈ M =⇒ ∃d ∈ A /

bd = ~v =⇒ d ∈ b + M =⇒ d ∈ a + H =⇒

ad ∈ H, ~v =

bd =

ba +

ad ∈

H =⇒ ~v ∈ H =⇒ M ⊂ H, ya que tanto

ba como

ad pertenecen a H.

Luego L + M + L

ab

⊂ H, por lo tanto:

1. a +

[

L + M + L

ab

)]

⊂ a + H,

2. L ⊂ L + M + L

ab

=⇒ a + L ⊂ a +

[

L + M + L

ab

)]

ab ∈ L + M + L

ab

=⇒ b ∈ a +

[

L + M + L

ab

)]

y M ⊂ L + M + L

ab

entonces b + M ⊂

b +

[

L + M + L

ab

)]

= a +

[

L + M + L

ab

)]

1.2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE UN CONJUNTO DE PUNTOS EN UN ESPACIO AF

Decimos entonces que el conjunto de puntos {ai}

n

i=

⊂ A son LI.

Demostraci´on. (1) =⇒ (2) : λ 1

aia 1 + λ 2

aia 2 + .... + λi+

aiai+1 + .... + λk

aiak = ~ 0 λ 1

aia 1 +

λ 2 (

aia 1 +

a 1 a 2 ) + .... + λi+1 (

aia 1 +

a 1 ai+1) + .... + λk (

aia 1 +

a 1 ak) =

0 reagrupando t´erminos vemos

que:

k

i=

λi

a 1 ai + λ 2

a 1 a 2 + .... + λi+

a 1 ai+1 + .... + λk

a 1 ak = ~0 pero por hip´otesis tenemos que:

λ 2 = λ 3 = .... = λi+1 = ..... = λk = 0 por lo tanto

k

i=

λi

= 0 pero como

k

i=

λi

= 0 implica

que λ 1 = 0. luego son LI.

(2) =⇒ (1) : (1) es un caso particular de (2) para i = 1.

(1) =⇒ (3) : Sea p ∈ A arbitrario,

k

i=

λi

pai = 0 y

k

i=

λ = 0 =⇒ λ 1 =

k

i=

λi

. en-

tonces

k

i=

λi

pa 1 + λ 2

pa 2 + .... + λk

pak =

0 reagrupando tenemos que: λ 2 (

pa 2 −

pa 1 ) + .... +

λk (

pak −

pa 1 ) = ~ 0 , λ 2

a 1 a 2 + .... + λk

a 1 ak = ~0 entonces por hip´otesis

k

i=

λi

= 0 implica que λ 1 = 0.

(3) =⇒ (1) : λ 2

a 1 a 2 + .... + λk

a 1 ak = ~0, ∀p ∈ A; λ 2 (

pa 2 −

pa 1 ) + .... + λk (

pak −

pa 1 ) = ~0 en-

tonces

k

i=

λi

pa 1 + λ 2

pa 2 + .... + λk

pak = ~0 donde

k

i=

λ = 0 =⇒ (por hip´otesis) siendo

λ 1 =

k

i=

λi

, entonces por hip´otesis {λi} = 0 ∀i. como quer´iamos demostrar.

Proposici´on 1.2.2 Definici´on: Coordenadas baric´entricas. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´in, dim (A) = n,

y sean {pi}

n

i=

, (n + 1) puntos LI. Entonces para todo punto x de A .i.e ∀x ∈ A se tiene que el conjunto

{x; p 0 , ....., pn}

es linealmente dependiente.

Demostraci´on. (Por reducci´on al absurdo). Suponemos que {x; p 0 , ....., pn} son LI (por el apartado

3 de la proposici´on anterior) sea p ∈ A / α

px + α 0

pp 0 + .... + αn

ppn = ~0 con α +

n

i=

αi = 0 de tal

forma que α = −

n

i=

αi entonces todos los alfas son nulos i.e. {αi}

n

i=

= α = 0 pero esto es una

contradicci´on !¡ ya que dim A = n entonces al menos debe haber un α 6 = 0 ya que si α = 0 tentonces ∑ n

i=

αi = 0 entonces {x; p 0 , ....., pn} son LD.

Ahora bien, como α 6 = 0 llamando

x 0 = −

α 0

α

, .........., xn = −

αn

α

entonces

px = x 0

pp 0 + ......... + xn

ppn

donde

n ∑

i=

xi =

n ∑

i=

αi

α

α

α

6 CAP

ITULO 1. ESPACIO AF

IN

Vemos que {x}

n

i=

no depende del punto “p”, es decir: ∀q ∈ A

qx = x 0

qp 0 + ......... + xn

qpn,

n ∑

i=

xi = 1

qx =

qp +

px =

n ∑

i=

xi

qp + x 0

pp 0 + ......... + xn

ppn =

= x 0 (

qp +

pp 0 ) + ....... + xn (

qp +

ppn)

= x 0

qp 0 + ......... + xn

qpn

Veamos ahora que los {x}

n

i=

son ´unicos: Supongamos que

px = y 0

pp 0 + ......... + yn

ppn,

n ∑

i=

yi = 1

y adem´as que

px = x 0

pp 0 + ......... + xn

ppn,

n ∑

i=

xi = 1

entonces

x 0

pp 0 + ......... + xn

ppn = y 0

pp 0 + ......... + yn

ppn

agrupando t´erminos, vemos que:

(x 0 − y 0 )

pp 0 + ............... + (xn − yn)

ppn = ~ 0

(x 0 − y 0 ) + ............... + (xn − yn) =

n ∑

i=

xi −

n ∑

i=

yi = 1 − 1 = 0

enonces teniendo en cuenta el apartado (3) de la proposici´on anterior y como por hip´otesis los puntos

{pi}

n

i=

son LI entonces:

(x 0 − y 0 ) = 0 ⇒ x 0 = y 0

(xn − yn) = 0 ⇒ xn = yn

como quer´iamos hacer ver.

Conclusi´on 1.2.1 Sea x ∈ A, entonces ∀p ∈ A

px = x 0

pp 0 + ..... + xn

ppn

con

n

i=

xi = 1 de manera ´unica. {xi}

n

i=

son las coordenadas baric´entricas del punto x ∈ A

respecto del sistema de referencia baric´entrico o af´in {pi}

n

i=

8 CAP

ITULO 1. ESPACIO AF

IN

1.2.3 Coordenadas cartesianas.

Definici´on 1.2.1 Sea (A, V, ϕ) un espacio af´in, dim (A) = n = dim(V ). Elegimos p ∈ A que llamamos

origen, ∀x ∈ A definimos ϕp(x) =

px ∈ V. Sea BV = {ei}

n

i=

una base del espacio vectorial V, tal

que

px =

n

i=

xiei. Llamamos sistema de referencia cartesiano de (A, V, ϕ) a S = {p; {ei}

n

i=

} tal que

p ∈ A y {ei}

n

i=

= BV. Llamamos coordenadas cartesianas de x ∈ A a las coordenadas de

px respecto

de la base B.

Observaci´on 1.2.1 Relaci´on entre las coordenadas baric´entricas y las cartesianas.

Sea R = {ai}

n

i=

un sistema de referencia baric´entrico y R

′ = {a 0 ;

a 0 a 1 , ....,

a 0 an} un sistema de ref-

erencia cartesiano. Sean {λi}

n

i=

coordenadas cartesianas de p en R

′ y sean {pi}

n

i=

coordenadas bar-

ic´entricas de p en R.

∀q ∈ A tenemos que:

a 0 p =

i

λi

a 0 ai y

qp =

i

pi

qai /

i

pi = 1

entonces

−→ a 0 p =

i

pi

a 0 ai /

i

pi = 1

si q = a 0 entonces

(λ 1 − p 1 )

a 0 a 1 + .... + (λn − pn)

a 0 an =

sii λi = pi,

p 0 = 1 −

i

pi = 1 −

i

λi ; λi=pi

1.2.4 Cambio de sistema de referencia cartesiano.

Sean S 1 = {p; e 1 , ...., en} y S 2 = {q; v 1 , ...., vn} dos sistemas de referencia y sea x ∈ A tal que respecto

de S 1 , x(x 1 , ...., xn) y respecto de S 2 , x(x

′ 1 , ...., x

′ n)

px = x 1 e 1 + ..... + xnen

−→ qx = x

′ 1

v 1 + ..... + x

′ nvn −→ pq = α 1 e 1 + ..... + αnen

como

v 1 = a 11 e 1 + .......... + a 1 nen

vn = an 1 e 1 + .......... + annen

entonces:

px =

pq +

qx = (α 1 e 1 + ..... + αnen) +

x

′ 1 v^1 +^ .....^ +^ x

′ nvn

= (α 1 e 1 + ... + αnen) + x

′ 1

(a 11 e 1 + .... + a 1 nen) + ... + x

′ n

(an 1 e 1 + ... + annen) =

α 1 + a 11 x

′ 1 +^ ....^ +^ an^1 x

′ n

e 1 + ...... +

αn + a 1 nx

′ 1 +^ ....^ +^ annx

′ n

en

1.2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE UN CONJUNTO DE PUNTOS EN UN ESPACIO AF

como las coordenadas de un vector respecto de una base son ´unicas entonces:

x 1 = α 1 + a 11 x

′ 1 +^ ..........^ +^ an^1 x

′ n

. . .

xn = αn + an 1 x

′ 1

• .......... + annx

′ n

Ecuaciones del

cambio de sistema

que en forma matricial se expresa como:

(x 1 , ..., xn) = (α 1 , ..., αn) +

x

′ 1

, ..., x

′ n

a 11 · · · a 1 n

an 1 · · · ann

por lo tanto

(1, x 1 , ..., xn) =

1 , x

′ 1

, ..., x

′ n

1 α 1 · · · αn

0 a 11 · · · a 1 n

0 an 1 · · · ann

1.2.5 Ecuaciones param´etricas y cartesianas (o impl´icitas) de una variedad lineal.

Sea S = {p; ~e 1 , ...., ~en} , un sistema de referencia cartesiano. Sea B = a + L = {x ∈ A /

ax ∈ L} una

variedad lineal, {αi} coordenadas de “a” respecto al sistema S y L = L (~u 1 , ...., ~uk), entonces

ax ∈ L ⇐⇒

ax =

k ∑

i=

λi~ui

px =

pa +

ax =

pa +

k ∑

i=

λi~ui

tal que

~u 1 = a 11 ~e 1 + ........... + a 1 n~en

~uk = ak 1 ~e 1 + ........... + akn~en

pa =

k ∑

i=

αi~ei

entonces

−→ px = (α 1 + a 11 λ 1 + ...... + ak 1 λk) ~e 1 + ...... + (αn + a 1 nλ 1 + ...... + aknλk) ~en

luego las ecuaciones param´etricas de B son:

x 1 = α 1 + a 11 λ 1 + ...... + ak 1 λk

xn = αn + a 1 nλ 1 + ...... + aknλk

Por el teorema de Roch´e-Frobeni¨us, eliminando los par´ametros {λi}

k

i=

obtenemos las ecuaciones im-

pl´icitas de B.

1.3. EL TEOREMA DE CEVA. 11

1.3.2 Experimento y conclusiones.

Construcci´on (a).

En la primera construcci´on (a) observamos que las tres rectas no son concurrentes (ver figura (1.

(c)). Sin embargo podemos comprobar al mover los puntos D, E o F a lo largo de los lados del tri´angulo

que existen casos particulares en los que las tres rectas sean concurrentes, por ejemplo, moviendo D

sobre BC podemos hacerque las tres rectas sean concurrentes.

Construcci´on (b).

En la segunda construcci´on (b) al mover el punto vemos que la relaci´on (1.1) siemprese verifica.

Con la herramienta distancia y longitud hemos calculado la longitud de cada uno de los segmentos que

aparecen en la relaci´on (1.1) i.e.

BD, DC, AF, F B, CE, EA (1.2)

y con la herramienta calcular hemos comprobado que dicha relaci´on se mantiene para todo punto P ∈ ∆

(utilizando la notaci´on que venimos arrastrando).

Tambi´en hemos podido comprobar que se verifica la relaci´on

AP

P D

BP

P E

CP

P F

siendo este resultado un caso particular del teorema de Van Olben.

Condici´on necesaria. Coordenadas baric´entricas.

Veamos una demostraci´on de que la condici´on (1.1) es necesaria para que las tres rectas sean

concurrentes.

Siguiendo la notaci´on empleada a lo largo de todo el problema (ver figura (1.3)) veremos primero una

demostraci´on utilizando coordenadas baric´entricas y luego otra m´as intuiva pero menos elegante.

a Demostraci´on. Si (α, β, γ) son las coordenadas baric´entricas de P en el sistema de referencia

{A, B, C}, entonces las coordenadas de los puntos (D, E, F ) ser´an:

D =

β

1 − α

γ

1 − α

E =

α

1 − β

γ

1 − β

F =

α

1 − γ

β

1 − γ

por lo tanto

BD

DC

γ

β

AF

F B

β

α

CE

EA

α

γ

de esta forma vemos que:

BD

DC

AF

F B

CE

EA

γβα

βαγ

12 CAP

ITULO 1. ESPACIO AF

IN

como quer´iamos hacer ver.

a Demostraci´on. Sea el tri´angulo ∆ABC en un espacio af´in (A, V ) , dim(A) = 2, entoncesexiste una

aplicaci´on af´i que transforma dicho tri´angulo en otro ∆

′ A

′ B

′ C

′

. Dotando al espacio de un sistema de

coordenadas tal que A

′ = (0, 1), B

′ = (0, 0) y C

′ = (1, 0) entonces si el punto P es el punto donde

concurren las tres rectas en ∆ entonces f transforma P en P

′ = (u, v).

Vemos que en estas circunstancias la ecuaci´on de B

′ C

′ es: y = 0 mientrasquela de A

′ P

′ es: y − 1 =

1 −v

0 −u

(x − 0). Estas dos rectas se intersectan en D

′ que por lo tanto tiene ecuaciones D

′

u

1 −v

. De

forma similar calculamos las coordenadas del punto F

′ siendo ´estas: F

′ = C

′ P

′ ∩ A

′ B

′ cuyas ecuacione

son: C

′ P

′ : y − 0 =

0 −v

1 −u

(x − 1) mientras que la ecuaci´on de A

′ B

′ : x = 0, de esta forma F

′

v

1 −u

Por ´ultimo calculamos las coordenadas de E

′

. Este punto es la intersecci´on de la recta x + y = 1 e

y =

u

v

x porlo tanto E

′

u

u+v

v

u+v

Con estas coordenadas podemos calcular ahora los cocientes:

B

′ D

′

D

′ C

′

u

1 −v

u

1 −v

u

1 − u − v

A

′ F

′

F

′ B

′

v

1 −u

v

1 −u

u + v − 1

−v

C

′ E

′

E

′ A

′

v

u+v

v

u+v

v

u

de esta forma:

B

′ D

′

D

′ C

′

A

′ F

′

F

′ B

′

C

′ E

′

E

′ A

′

Como f

− 1 es una transformaci´on que preserva las razones entonces

BD

DC

AF

F B

CE

EA

como quer´iamos demostrar.

Teorema de Ceva.

Veamos ahora una demostraci´on general del teorema de Ceva.

Sean D, E, F puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente de un tri´angulo ∆ABC. Los segmentos

AD, BE y CF se denominan cevianas, t´ermino que procede del matem´atico italiano Giovanni Ceva

Aqu´i podemos ver tres cevianas de un tri´angulo cumpliendo el teorema de Ceva (ver figura (1.3)).

Teorema 1.3.1 (Ceva). El teorema de Ceva afirma: Si las tres cevianas AD, BE y CF son concur-

rentes, entonces

BD

DC

AF

F B

CE

EA