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Homolog´ıas. Ejercicios
- Sea ϕ una homograf´ıa del espacio proyectivo P(E), de dimensi´on 2, que tiene un punto fijo P y una recta de puntos fijos r que no contiene a P.
i) Demostrar que las rectas que pasan por P son fijas.
ii) Escoger una referencia de P(E) y escribir la matriz de ϕ.
iii) Sean Q un punto distinto de P y no contenido en r, Q la intersecci´on de r con la recta P Q. Demostrar que la raz´on doble λ de la sucesi´on (P,Q, Q, ϕ(Q)) no depende del punto Q escogido. Se dice de ϕ que es una homolog´ıa general de centro P , eje r y raz´on λ.
iv) Sea f un isomorfismo de E, representante de ϕ. Demostrar que f tiene dos valores propios, uno de multiplicidad 1 y otro de multiplicidad 2, y que su cociente es igual a λ.
i) Cualquier recta que pasa por P corta a r en un punto de modo que pasa por dos puntos fijos y, por lo tanto, es fija.
ii) Una referencia “natural” es la formada por dos puntos de la recta y por el punto P. Todos son fijos por lo que la proyectividad se representar´a en esta referencia por una matriz diagonal diag(α, β, γ) con α = β ya que todos los puntos de la recta determinada por los dos primeros son fijos y podemos suponer que ese valor com´un es igual a 1 (recordar que los auto- morfismos correspondientes a una proyectividad est´an determinados salvo una homotecia).
iii) Si Q es un punto no perteneciente a r admite las coordenadas homog´eneas (a : b : 1), con a o b no nulos si es distinto de P , y resulta inmediatamente que Q admite las coordenadas homog´eneas (a : b : 0). En definitiva se trata de calcular la raz´on doble de la sucesi´on de puntos que admiten las coordenadas homog´eneas (0 : 0 : 1), (a : b : 0), (a : b : 1), (a : b : γ). Se ve bien que ((0, 0 , 1), (a, b, 0)) es una base adaptada y que la raz´on doble en cuesti´on es igual a γ. Desde luego este valor no depende del punto Q.
iv) Un isomorfismo representante de ϕ tendr´a por matriz una trans- formada de la anterior por semejanza y quiz´as multiplicada por una matriz
escalar. Est´a claro que tendr´a dos valores propios distintos, uno de multi- plicidad 1, otro de multiplicidad 2 y que su correspondiente cociente ser´a el valor obtenido para la raz´on doble.
- Demostrar que dos homolog´ıas generales de P^2 con el mismo eje conmutan si y s´olo si tienen el mismo centro.
Existe una referencia en la que un automorfismo correspondiente a una homolog´ ıa es diag(1, 1 , α), con α 6 = 1, y uno correspondiente a la otra es
1 0 β 0 1 γ 0 0 δ
; la conmutaci´on de estas matrices da β = γ = 0 y se concluye.
- Sea ϕ una homograf´ıa de P^2 que tiene una recta de puntos fijos y no tiene puntos fijos fuera de ella.
i) Demostrar que existe un haz de rectas fijas por un punto P de r. Se dice que ϕ es una homolog´ıa especial de eje r y centro P.
ii) Escribir la matriz de ϕ en una referencia conveniente.
Un automorfismo del cual provenga la homograf´ıa debe tener un valor propio de espacio de vectores propios de dimensi´on 2 (del que la recta de puntos fijos es su espacio proyectivo) y podemos suponer que ese valor pro- pio es igual a 1. No puede existir otro valor propio cuyo subespacio de vectores propios dar´ıa otro punto fijo para la proyectividad. Esto significa que existe una referencia en la que la matriz de ϕ es la matriz B 23 (1) y los puntos fijos son los que en ella tienen nula su tercera coordenada ho- mog´enea. Consideremos ahora un punto no fijo, por lo tanto que admite el sistema de coordenadas homog´eneas (a : b : 1). Su imagen por ϕ admite el sistema de coordenadas homog´eneas (a : b + 1 : 1) de manera que la recta que determinan esos puntos pasa por el punto del eje de coordenadas homog´eneas (0 : 1 : 0). Esto significa que, para cada punto no fijo, la recta determinada por ese punto y su imagen pasa por ese punto. Evidentemente eso quiere decir que todas las rectas que pasan por tal punto son fijas por ϕ y se termina.
- Sea g una perspectividad de una recta r en una recta s de P^2 de centro un punto O no perteneciente a r ni a s. Estudiar las homograf´ıas de P^2 que dejan fijo el punto O y cuya restricci´on a r coincide con g.
Para los puntos se trata de calcular los vectores propios del isomorfismo que tiene, evidentemente, a λ y a 1 como ´unicos valores propios. No parece que haya mucho que esperar tal como las cosas se han planteado: para λ se obtiene ´unicamente el subespacio < e 1 > y para 1 las rectas del subespacio < e 2 , e 3 >. En otras palabras: los ´unicos puntos fijos por ϕ son los que ya lo eran por ψ.
En cuanto a los hiperplanos invariantes son los anulados por los vectores propios de la aplicaci´on dual. Para ello consideramos la matriz traspuesta de la anterior, bien sencilla, cuyos valores propios son los mismos y cuyos subespacios propios son < e∗ 4 >, que es el anulador del subespacio F , y todos los de < e∗ 2 , e∗ 3 >, cuyos anuladores son los hiperplanos que contienen a < e 1 , e 4 >. En otras palabras: los planos fijos por ϕ son π y los del haz de eje la recta r.
- Sean ϕ 1 y ϕ 2 dos homolog´ıas generales de P^2 de centros O 1 y O 2 y ejes r 1 y r 2 respectivamente. Supongamos que O 1 est´a en r 2 y que O 2 est´a en r 1.
i) Demostrar que O 1 y O 2 son distintos, que r 1 y r 2 son distintas y que los puntos O 1 , O 2 y r 1 ∩ r 2 no est´an alineados.
ii) Estudiar ϕ 1 ◦ ϕ 2 en funci´on de las razones de ϕ 1 y de ϕ 2. Determinar cu´ando ϕ 1 ◦ ϕ 2 es una homolog´ıa y en tal caso calcular su raz´on.
Por definici´on de homolog´ıa general el punto O 1 no est´a en la recta r 1 y el punto O 2 no est´a en la recta r 2 y los resultados de la primera parte son claros. Es natural tomar la referencia (O, O 1 , O 2 ) en la que las proyectividades ϕ 1 y ϕ 2 se representan por las matrices respectivas
0 λ 1 0 0 0 1
0 0 λ 2
La composici´on ϕ 1 ◦ ϕ 2 se representa por la matriz
0 λ 1 0 0 0 λ 2
Est´a claro que es una homolog´ıa general solamente cuando λ 1 = λ 2 , que su centro es el punto O, que su eje es la recta O 1 O 2 y que su raz´on es el inverso del producto de las razones de las homolog´ıas de partida.
