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Cap´ıtulo 5
Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas
OPERACIONES EN Rn
Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares orde- nados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Cuando consideramos n conjuntos A 1 ,... , An, el producto cartesiano A 1 ×... × An consiste en las n-uplas (a 1 ,... , an) con ai ∈ Ai, i = 1 ,... , n. En particular, denotaremos por Rn^ el producto cartesiano de n copias de R. Observemos que hay dos opera- ciones naturales en Rn: podemos definir la suma de dos elementos en Rn^ , v = (v 1 , v 2 ,... , vn) y w = (w 1 , w 2 ,... , wn) como
v + w = (v 1 + w 1 , v 2 + w 2 ,... , vn + wn).
Adem´as dado un escalar λ ∈ R, podemos definir la multiplicaci´on de λ por un elemento v de Rn mediante λ · v = (λ · v 1 , λ · v 2 ,... , λ · vn).
Es f´acil comprobar que dichas operaciones verifican las siguientes propiedades con respecto a la suma:
(1.1) v + w = w + v para todo v, w ∈ Rn,
(1.2) v + (w + z) = (v + w) + z para todo v, w, z ∈ Rn,
(1.3) v + 0 = v para todo v ∈ Rn, siendo 0 = ( 0 , 0 ,... , 0 ),
(1.4) v + (−v) = 0 para todo v ∈ Rn, donde −v = (−v 1 , −v 2 ,... , −vn),
y las siguientes con respecto a la multiplicaci´on por un n´umero:
(2.1) α · (v + w) = α · v + α · w para todo α ∈ R y v, w ∈ Rn,
(2.2) (α + β ) · v = α · v + β · v para todo α, β ∈ R y v ∈ Rn,
(2.3) (α · β ) · v = α · (β · v) para todo α, β ∈ R y v ∈ Rn,
(2.4) 1 · v = v para todo v ∈ Rn.
De hecho como vamos a ver en la siguiente secci´on, estas propiedades son justamente las propiedades que definen un espacio vectorial.
DEFINICI ON DE ESPACIO VECTORIAL´
Hay algunos conjuntos distintos de Rn^ que verifican las mismas propiedades (1.1)-(1.4) y (2.1)-(2.4). Pongamos como ejemplos
los polinomios de grado menor o igual que n. De forma natural se puede definir una suma y una multiplicaci´on por escalares. El alumno puede verificar como ejercicio que los poli- nomios satisfacen de hecho tales propiedades.
las matrices de orden m × n con la suma y multiplicaci´on que definimos en el tema anterior.
As´ı pues, puede ser interesante definir unos objetos que verifiquen dichas propiedades y estudiar as´ı de una vez por todas, las caracter´ısticas de todos ellos. Nos hace falta un conjunto V con una operaci´on interna (la suma) que consiste en una aplicaci´on
- : V ×V → V (v, w) → v + w
y una operaci´on externa o multiplicaci´on por escalares
· : R ×V → V (α, v) → α · v
Adem´as a estas dos operaciones vamos a exigirle que satisfagan las propiedades:
(1.1) v + w = w + v para todo v, w ∈ Rn^ (conmutativa de la suma),
(1.2) v + (w + z) = (v + w) + z para todo v, w, z ∈ Rn^ (asociativa de la suma),
(1.3) v + 0 = v para todo v ∈ Rn^ siendo 0 = ( 0 , 0 ,... , 0 ) (existencia del cero),
(1.4) v + (−v) = 0 para todo v ∈ Rn, donde −v = (−v 1 , −v 2 ,... , −vn) (existencia del opuesto),
(2.1) α · (v + w) = α · v + α · w para todo α ∈ R y v, w ∈ Rn^ (distributiva de la suma con respecto al producto),
(2.2) (α +β )·v = α ·v+β ·v para todo α, β ∈ R y v ∈ Rn^ (distributiva del producto con respecto a la suma),
(2.3) (α · β ) · v = α · (β · v) para todo α, β ∈ R y v ∈ Rn^ (asociativa del producto),
(2.4) 1 · v = v para todo v ∈ Rn^ (existencia de la unidad en el producto).
Definici´on
Un subespacio vectorial es un subconjunto W de un espacio vectorial V que es cerrado para la suma y el producto por escalares. Por ejemplo, si consideramos R^2 , el subconjunto W = {(x, 0 ) ∈ R^2 : x ∈ R} es claramente un subespacio pues si x, y, α ∈ R, entonces
(x, 0 ) + (y, 0 ) = (x + y, 0 ) ∈ W
y α · (x, 0 ) = (α · x, 0 ) ∈ W.
Caracterizaci´on
Para comprobar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio de V basta verificar que dados v, w ∈ W y α, β ∈ R, entonces
α · v + β · w ∈ W.
Ahora intentaremos visualizar e identificar de una forma m´as precisa c´omo son los sube- spacios de Rn^ cuando n = 2 , 3. Para ello, estudiaremos las dos formas m´as usuales de construir subespacios vectoriales de Rn.
SUBESPACIO GENERADO POR UNA FAMILIA FINITA DE VECTORES
Combinaci´on lineal
Dados p vectores v 1 ,... , vp de un espacio vectorial V , decimos que un vector w ∈ V es com- binaci´on lineal de dichos vectores si existen escalares α 1 ,... , αp tales que
w = α 1 · v 1 + α 2 · v 2 + · · · + αp · vp.
Por ejemplo, el vector 0 es combinaci´on lineal de cualesquiera vectores v 1 ,... , vp, pues
0 = 0 · v 1 + 0 · v 2 + · · · + 0 · vp
Sistema generador
Diremos que un sistema de vectores {v 1 ,... , vp} genera un subespacio W de V (en particular W puede coincidir con V ) si todo vector w ∈ W es una combinaci´on lineal de v 1 ,... , vp.
Subespacio generado
Definimos el subespacio generado por un sistema de vectores {v 1 ,... , vp} de un espacio vec- torial V como el subconjunto de todas las combinaciones lineales de {v 1 ,... , vp}, y lo denotamos por 〈v 1 ,... , vp〉 o span´ {v 1 ,... , vp}. Es f´acil comprobar que 〈v 1 ,... , vp〉 es de hecho un subespacio de V.
Ejemplos:
Dado un ´unico vector v ∈ Rn, el subespacio 〈v〉 est´a formado por todos los vectores de la forma λ v con λ ∈ R, es decir, por todos los vectores que son paralelos o proporcionales a v. Si v = 0 entonces es claro que λ v = 0 para cada λ ∈ R y deducimos que 〈v〉 = { 0 }. Si v 6 = 0 entonces hay infinitos vectores en 〈v〉 obtenidos al comprimir o dilatar el vector v en el mismo sentido que v o en el opuesto. Los vectores obtenidos de esta manera llenan una recta: la recta vectorial generada por v. Esta recta es la que pasa por 0 con vector director v.
En R^2 , el eje de abscisas U 1 = {(x, y) ∈ R^2 : y = 0 } es la recta vectorial generada por el vector v = ( 1 , 0 ). El eje de ordenadas U 2 = {(x, y) ∈ R^2 : x = 0 } es la recta generada por v = ( 0 , 1 ).
Supongamos ahora que S = {v 1 , v 2 } donde v 1 y v 2 son dos vectores distintos de Rn. Pode- mos suponer que ni v 1 ni v 2 coinciden con el vector 0 (de lo contrario, nos encontrar´ıamos en el caso anterior). El subespacio 〈S〉 = 〈v 1 , v 2 〉 estar´a entonces formado por todas las combinaciones lineales de v 1 y v 2 , es decir, por vectores de la forma λ 1 v 1 + λ 2 v 2 con λ 1 , λ 2 ∈ R. Cuando tomamos λ 2 = 0 o λ 1 = 0 vamos obteniendo todos los vectores par- alelos a v 1 y a v 2 respectivamente. Esto significa que 〈S〉 contiene a las rectas vectoriales generadas por v 1 y por v 2. Si v 1 y v 2 son paralelos, entonces 〈S〉 coincide exactamente con dichas rectas vectoriales que, adem´as, son coincidentes. Sin embargo, cuando v 1 y v 2 no son paralelos, entonces 〈S〉 coincide con un plano que pasa por 0 y que llamamos plano vectorial generado por v 1 y v 2.
En R^3 , el plano coordenado U = {(x, y, z) ∈ R^3 : z = 0 ) es el plano vectorial generado por los vectores ( 1 , 0 , 0 ) y ( 0 , 1 , 0 ). Se comprueba que el vector v = ( 0 , 0 , 1 ) no pertenece a este plano.
En R^3 , el subespacio generado por los vectores ( 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ) y ( 0 , 0 , 1 ) coincide con R^3.
La forma de construir subespacios que hemos aprendido aqu´ı puede parecer muy particular. Sin embargo, se tiene lo siguiente:
Teorema (Sistemas de generadores de un subespacio). Dado un subespacio U de Rn, existe una familia S formada por una cantidad finita de vectores de U de forma que U = 〈S〉. En tal caso, diremos que S es un sistema de generadores de U.
A partir del resultado anterior y de los ejemplos estudiados, se pueden probar estos dos teo- remas:
Teorema (Subespacios de R^2 ). Los subespacios vectoriales de R^2 , adem´as del subespacio nulo { 0 } y del total R^2 , son las rectas del plano que pasan por el origen.
Teorema (Subespacios de R^3 ). Los subespacios vectoriales de R^3 , adem´as del subespacio nulo { 0 } y del total R^3 , son las rectas y los planos que pasan por el origen.
BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL
Dependencia e independencia lineal
Vamos a ver a continuaci´on una noci´on que va a resultar clave para estudiar los espacios vectoriales. Dado un sistema de vectores, podemos preguntarnos cuando existe una combinaci´on lineal de ellos no trivial (es decir con alg´un escalar no nulo) que sea igual a cero. De existir tal combinaci´on lineal, al menos uno de los vectores depender´a linealmente de los otros, esto es, se podr´a expresar como combinaci´on lineal de los otros. Por ejemplo, supongamos que
α 1 · v 1 + α 2 · v 2 + · · · + αp · vp = 0.
Si por ejemplo α 1 6 = 0, entonces
v 1 = −
α 2 α 1
· v 2 −
α 3 α 1
· v 3 −
αp α 1
· vp.
Por tanto, si queremos calcular 〈v 1 ,... , vp〉, podemos prescindir de v 1. Por otro lado, ser´a intere- sante encontrar sistemas en los que no suceda lo anterior, pues a la postre vamos a ver que ser´an sistemas generadores con un n´umero m´ınimo de elementos generadores.
Definici´on
Decimos que un sistema de vectores {v 1 ,... , vp} es linealmente independiente cuando no existe ninguna combinaci´on no trivial (con alg´un escalar distinto de cero) que sea igual a 0. O lo que es lo mismo, si para toda combinaci´on lineal tal que
α 1 · v 1 + α 2 · v 2 + · · · + αp · vp = 0 ,
se tiene que α 1 = α 2 =... = αp = 0. Decimos que un sistema {v 1 ,... , vp} es linealmente dependiente cuando existe una combi- naci´on no trivial tal que α 1 · v 1 + α 2 · v 2 + · · · + αp · vp = 0.
En la pr´actica puede resultar complicado probar que un conjunto de vectores sean linealmente independientes a partir de la definici´on. Un m´etodo ´util en Rn^ lo da el siguiente resultado:
Teorema. Sea S = {v 1 ,... , vm} una familia de vectores de Rn. Sea M la matriz cuyas columnas son los vectores de S. Entonces, los vectores de S son linealmente independientes si y s´olo si rg(M) = m. En particular, se deduce que en Rn^ no puede haber m´as de n vectores linealmente independientes.
Una pregunta natural a la vista de lo que sabemos hasta el momento de espacios vectoriales es si existe un sistema generador que sea lo m´as peque˜no posible. Veamos que la noci´on de base que introducimos a continuaci´on satisface tal requisito.
Definici´on
Decimos que un sistema de vectores {v 1 , v 2 ,... , vn} es una base de un espacio vectorial V , si es un sistema generador de V y es linealmente independiente.
Ejemplos
El sistema {( 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 0 , 1 )} es una base de R^3 a la que llamamos base can´onica. En general decimos que el sistema {( 1 , 0 ,... , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ,... , 0 ), ( 0 , 0 ,... , 0 , 1 )} es la base can´onica de Rn. Prueba como ejercicio que {( 1 , 2 ), ( 0 , 2 )} es una base de R^2.
Coordenadas de un vector en una base
Dado que una base B = {v 1 , v 2 ,... , vn} es un sistema generador, podemos expresar cualquier vector w de V como combinaci´on lineal de la base. Adem´as los coeficientes de dicha combinaci´on lineal son ´unicos, pues si existiesen dos distintos:
w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + anvn = a′ 1 v 1 + a′ 2 v 2 + · · · + a′ nvn
entonces (a 1 − a′ 1 )v 1 + (a 2 − a′ 2 )v 2 + · · · + (an − a′ n)vn = 0 , y como la base es linealmente independiente, deducimos que ai = a′ i para i = 1 ,... , n. Llamare- mos a dichos coeficientes coordenadas de w en B.
Teorema de existencia de la base y la dimensi´on
Dado un espacio vectorial V , podemos preguntarnos si existe una base para dicho subespacio. El teorema de la existencia de la base nos asegura que siempre existe y adem´as si el espacio es finitamente generado (existe un sistema generador con un n´umero finito de elementos), entonces todas las bases de dicho espacio tienen el mismo n´umero de elementos. Llamaremos a dicho n´umero la dimensi´on de V. Observemos que existen espacios vectoriales de dimensi´on infinita (que no son finitamente generados), como por ejemplo el de los polinomios de cualquier grado, pero dichos espacios vectoriales no ser´an tratados en este curso.
Teorema
Dado un sistema generador de un espacio vectorial V , siempre podemos extraer una base de V.
- Halla el valor de x para que los vectores (x, − 3 , 2 ), ( 2 , 3 , x) y ( 4 , 6 , − 4 ) engendren un subespacio vectorial de dimensi´on 1.
- Las coordenadas de un vector v de R^3 respecto a la base B = {( 1 , 2 , 0 ), ( 0 , 2 , 4 ), ( 1 , 0 , 4 )} son ( 2 , 2 , 3 ). Halla las coordenadas de v en la base B′^ = {( 2 , 2 , 0 ), ( 1 , 0 , 1 ), ( 3 , 2 , 0 )}.
- Halla las coordenadas del vector ( 1 , 4 , 2 ) en las bases:
(I) A = {( 0 , 0 , 1 ), ( 1 , 2 , 0 ), ( 0 , 1 , 1 )} (II) B = {( 1 , 2 , 3 ), ( 1 , 1 , 0 ), ( 0 , 0 , 1 )} (III) C = {( 1 , 2 , 1 ), ( 1 , 1 , 1 ), ( 1 , 0 , 0 )}
(IV) D = {( 0 , 2 − 4 ), ( 1 , 2 , 1 ), ( 1 , 4 , 3 )}
(V) E = {( 2 , 4 , 1 ), ( 1 , 1 , 3 ), ( 1 , 0 , 1 )}
(VI) F = {( 1 , 2 , 3 ), ( 0 , 1 , 0 ), ( 2 , 5 , 1 )}
