Espacios euclideos algebra, Apuntes de Álgebra Lineal

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Capítulo 4 El espacio euclídeo R” 4.1. Producto escalar y ortogonalidad 4.1.1. Producto escalar u vu ur Y . Dados dos vectores del espacio vectorial R”, u = . yv= . , se define su producto Un Un, escalar como el número real que resulta del producto matricial ufv, y se representa por: a y p ul vu u-v=uv=(u UY... Un ) . = 410] + UgUa +... + Un Un = Un El producto escalar tiene las siguientes propiedades: 1. Definido positivo: para todo u € |R”, u-u > 0, y además: u.u=0 —= u=0 2. Simétrico: u - v = v -u, para todos u, v € KR”. 3. Bilineal: Para cualesquiera u, v, w € R” y para todo a € RR se cumple que: u- (v+w)=(u-v)+(u-w) y (au) - v =a(u - v) 4.1.2. Norma de un vector ul u Se llama norma del vector u = . ER” al número real no negativo: Un a ul = Vu = Vta =, e i=1 Un vector u € R” se llama unitario si su norma es |Ju|] = 1. Si u e R” es un vector no nulo y no unitario, se llama vector normalizado de u al vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que u. El vector normalizado de u 4 0 es el vector Ter 79