¡Descarga Espacios Euclídeos y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Espacios Eucl´ıdeos
Natalia Boal Mar´ıa Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza
A lo largo de todo el cap´ıtulo consideraremos que V un espacio vectorial real de dimensi´on finita.
1 Producto escalar
Definici´on. Se dice que F : V × V −→ IR es un producto escalar sobre V si es una forma bilineal sim´etrica y definida positiva.
Notaci´on. F (u, v) = (u, v).
Es inmediato observar que
- (u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ V,
- (u 1 + u 2 , v) = (u 1 , v) + (u 2 , v), ∀u 1 , u 2 , v ∈ V,
- (λu, v) = λ(u, v), ∀u, v ∈ V, ∀λ ∈ IR,
- (u, u) > 0 , ∀u ∈ V, u 6 = 0V.
Definici´on. Un espacio eucl´ıdeo es un espacio vectorial con un producto escalar, es- cribiremos, (V, F ) o bien (V, (· , ·) ).
Definici´on. Dado el espacio eucl´ıdeo (V, (· , ·) ). Se define la norma asociada o inducida por el producto escalar (· , ·) a la aplicaci´on ‖·‖ : V → IR+^ tal que
‖v‖ =
(v, v).
Propiedades.
- ‖λ v‖ = |λ| ‖v‖, ∀λ ∈ IR, ∀v ∈ V.
- ‖v‖ ≥ 0 , ∀v ∈ V.
- Desigualdad triangular: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖, ∀u, v ∈ V.
- Desigualdad Cauchy-Schwarz: | (u, v) | ≤ ‖u‖ ‖v‖, ∀u, v ∈ V.
Definici´on. Una aplicaci´on ‖·‖ : V → IR+^ verificando las propiedades (1), (2) y (3) anteriores se dice norma en V y (V, ‖·‖) es un espacio normado.
Observaci´on. A partir de todo espacio eucl´ıdeo podemos construir un espacio normado. Sin embargo el rec´ıproco no es cierto. Existen espacio normados que no vienen inducidos por ning´un espacio eucl´ıdeo.
2 Bases ortonormales
Definici´on. Los vectores u, v ∈ V se dicen ortogonales si (u, v) = 0. Lo denotaremos u⊥v.
Definici´on. Una familia de vectores de V , {v 1 ,... , vm}, se dice ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, esto es, (vi, vj ) = 0, ∀i 6 = j.
Definici´on. Un vector v ∈ V se dice unitario si ‖v‖ = 1.
Definici´on. Una familia de vectores de V , {v 1 ,... , vm}, se dice ortonormal si es una familia de vectores ortogonales y unitarios. As´ı, (vi, vj ) = 0, ∀i 6 = j y ‖vi‖ = 1, ∀i.
Proposici´on. Toda familia de vectores de V no nulos y ortogonales es una familia libre.
2.1 M´etodo de Gram-Schmidt
Proposici´on. Sean (V, (· , ·) ) espacio eucl´ıdeo y S subespacio de V de dimensi´on finita. Entonces, S posee una base ortonormal.
Demostraci´on. M´etodo de Gram-Schmidt, este m´etodo permite a partir de una base de S dada, construir una base ortonormal de S. §
M´etodo de Gram-Schmidt. Sea {v 1 , v 2 ,... , vm} una base de S subespacio de V. El m´etodo de Gram-Schmidt consiste en construir una familia ortonormal equivalente, es decir, una familia {w 1 , w 2 ,... , wm} tal que
- wi⊥wj , ∀i 6 = j,
- IR〈{v 1 ,... , vk}〉 = IR〈{w 1 ,... , wk}〉, k = 1,... , m.
Proceso.
- Definimos w 1 = v 1 /||v 1 || (normalizamos, v 1 = ˜v 1 en general no es unitario).
- Buscamos ˜v 2 tal que
- IR〈{v 1 , v 2 }〉 = IR〈{w 1 , ˜v 2 }〉, por ello, elegimos ˜v 2 = v 2 + α w 1. Entonces,
(˜v 2 , w 1 ) = (v 2 , w 1 ) + α (w 1 , w 1 ).
Adem´as se ha de satisfacer
- ˜v 2 ⊥w 1 , esto es, (˜v 2 , w 1 ) = 0. Como w 1 es unitario se tiene que α = −(v 2 , w 1 ). Luego v ˜ 2 = v 2 − (v 2 , w 1 ) w 1.
- Definimos w 2 = ˜v 2 /||˜v 2 || (normalizamos, ˜v 2 en general no es unitario).
- Buscamos ˜v 3 tal que
Sabemos que existe una matriz de cambio de base P (regular) tal que (bj )t^ = (ai)tP , luego X = P X˜ e Y = P Y˜. De donde se deduce que
P tP = In.
Definici´on. Una matriz Q ∈ Mm×n(IR) de rango n se dice ortogonal si
QtQ = In.
Observaciones.
- Si Q ∈ Mn(IR) ortogonal, se tiene que Q es regular y adem´as Q−^1 = Qt.
- La matriz de cambio entre bases ortonormales es ortogonal.
3 Clasificaci´on de formas cuadr´aticas
Definici´on. Dos matrices sim´etricas reales A, B ∈ Mn(IR) se dicen congruentes ortogo- nales si existe P ∈ Mn(IR) ortogonal tal que B = P tAP.
Sea A ∈ Mn(IR) sim´etrica entonces se verifica:
- Todos los valores propios de A son reales.
- A es diagonalizable, es decir, existe una base de IRn^ de vectores propios {vi}ni=1.
- IRn^ = V (λ 1 ) ⊕ · · · ⊕ V (λr) con λ 1 ,... , λr los distintos valores propios de A.
- Sean α y β dos valores propios de A (distintos), vα, vβ vectores propios asociados a α y β, respectivamente. Entonces, {vα, vβ } libre y adem´as
vα⊥vβ (respecto del producto escalar ordinario de IRn).
Luego los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales (respecto del producto escalar ordinario de IRn).
Propiedades.
- Toda matriz sim´etrica y real es congruente ortogonal con una matriz diagonal.
- Existe una base de vectores propios {vi}ni=1.
- Partiendo de la base {vi}ni=1 aplicamos el proceso de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt para obtener una base de vectores propios ortonomal (respecto del producto escalar ordinario de IRn), {wi}ni=1.
Base vect. propios Base ortonormal vect. propios {vi}ni=1 − Gram-Schmidt → {wi}ni=
- Entonces, como {ei}ni=1 es una base ortonormal (respecto del producto escalar ordinario de IRn) y la matriz de cambio entre bases ortonormales es ortogonal se tiene que existe P ∈ Mn(IR) ortogonal con
(wi)′^ = (ei)′P.
- La matriz coordenada respecto de {wi}ni=1 es diagonal, D con D = P tAP con P t^ = P −^1.
- Toda forma cuadr´atica puede clasificarse (rango y signatura) a partir de los valores propios de su matriz coordenada A.
- Rango Q = n´umero de valores propios no nulos de A.
- Signatura Q = n´umero de valores propios positivos de A.
- Una matriz sim´etrica A es:
- Definida positiva ⇐⇒ todos sus valores propios son positivos.
- Definida negativa ⇐⇒ todos sus valores propios son negativos.
- Semidefinida positiva ⇐⇒ todos sus valores propios son no negativos.
- Semidefinida negativa ⇐⇒ todos sus valores propios son no positivos.
- Indefinida ⇐⇒ existen alg´un valor propio positivo y alg´un valor propio nega- tivo.
4 Factorizaci´on QR
Toda matriz A ∈ Mm×n(IR) de rango n admite factorizaci´on QR, es decir, descomposici´on en producto de una matriz Q ∈ Mm×n(IR) ortogonal por una matriz R ∈ Mn(IR) triangular superior con rii > 0.
Factorizaci´on QR Escribimos A = (A 1 |A 2 |... |An) con las columnas Ai ∈ IRm.
- Construcci´on de Q: Tomamos {A 1 ,... , An}, sistema libre de vectores de IRm. Consideramos en IRm^ el producto escalar est´andar y aplicamos el proceso de ortonormalizaci´on de Gram- Schmidt para obtener una familia ortonormal {Q 1 ,... , Qn}. Entonces definimos
Q = (Q 1 |Q 2 |... |Qn).
Observaci´on. Cuando multiplicamos Qt^ Q tenemos que el elemento (i, j) ser´a Qti Qj. Como {Q 1 ,... , Qn} es sistema ortonormal en IRn^ respecto del producto es- calar ordinario, se tiene Qti Qj =
0 , si i 6 = j 1 , si i = j.
6 M´ınimos cuadrados
Definici´on. Sean A ∈ Mm×n(IR), x ∈ IRn^ y b ∈ IRm. El sistema lineal Ax = b se dice sobredeterminado si posee m´as ecuaciones que inc´ognitas, es decir, m > n.
Observaci´on. En general los sistemas sobredeterminados suelen ser incompatibles, luego para todo x ∈ IRn, Ax 6 = b. Consideramos A 1 ,... , An ∈ IRm^ las n columnas de A. El sistema Ax = b podemos verlo como x 1 A 1 + x 2 A 2 +... xn An = b.
De modo que, la existencia de soluci´on del sistema anterior equivale a que el vector b se pueda expresar como combinaci´on lineal de los vectores A 1 ,... , An. Por tanto,
- si b ∈ S = IR〈A 1 ,... , An〉 entonces el sistema Ax = b es compatible.
En caso contrario, Ax = b no tiene soluci´on. Sin embargo, buscaremos x 0 ∈ IRn^ tal que Ax 0 ∈ IRm^ sea la mejor aproximaci´on de b en S = IR〈A 1 ,... , An〉. Luego, (Ax 0 −b) ∈ S⊥, es decir, para todo z ∈ IRn^ se ha de satisfacer
Az ⊥ (Ax 0 − b) ⇔ (Az)t(Ax 0 − b) = 0
y por tanto zt(AtAx 0 − Atb) = 0, ∀z ∈ IRn.
De donde se deduce el sistema de ecuaciones normales asociado a Ax = b:
AtAx 0 = Atb.
Observaci´on. Este sistema de ecuaciones normales siempre es compatible. El vector x 0 ∈ IRn^ se llama soluci´on por m´ınimos cuadrados.
Usamos la factorizaci´on QR:
Supongamos que A ∈ Mm×n(IR) tiene rango n y que admite factorizaci´on A = QR. Entonces AtAx 0 = Atb ⇒ RtQtQRx 0 = RtQtb
como QtQ = Im (Q es ortogonal) se tiene que la soluci´on por m´ınimos cuadrados x 0 ser´a la soluci´on del sistema triangular Rx 0 = Qtb.
Observaci´on. Este sistema es equivalente a AtAx 0 = Atb.
