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TEMA 4
ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS
CONTENIDO Formas bilineales Definición y propiedades. Formas bilineales simétricas; formas bilineales antisimétricas. Expresión analítica de una forma bilineal. Matriz asociada a una forma bilineal en una base. Cambio de base; matrices congruentes. Formas cuadráticas. Definición; forma bilineal polar asociada a una forma cuadrática. Propiedades. Expresión analítica y matricial de una forma cuadrática. Estudio particular de las formas cuadráticas reales. Producto escalar en un espacio vectorial. Definición y propiedades elementales. Expresión analítica del producto escalar. Matriz métri- ca; base canónica. Norma de un vector en un espacio vectorial euclídeo; distancia entre dos vectores; ángulo de dos vectores. Ortogonalidad. Ortogonalidad de dos vectores: definición y propiedades. Teorema de Pitágoras. Conjuntos ortogonales. Subespacio ortogonal. Sistemas de vectores ortogonales; sistemas ortonorma- les. Ortogonalización. Proyección ortogonal. Producto vectorial. Producto mixto. Aplicaciones al estudio de endomorfismos y matrices. Aplicaciones ortogonales. Matrices ortogonales. Diagonalización de matrices simétricas re- ales. Clasificación de las formas cuadráticas reales.
∑= ⋅ ⋅
n i,j 1
xi yj f(ui,uj)
TRANSPARENCIAS
1. FORMAS BILINEALES
Sea K un cuerpo y V un espacio vectorial sobre K. Una forma bilineal sobre V es una aplicación f : VV ⎯⎯⎯→ K que cumple f(au+bu', v) = a·f(u,v) + b·f(u',v) f(u, av+bv') = a·f(u,v) + b·f(u,v') Sea f una forma bilineal sobre V f simétrica ⇔ f(u,v) = f(v,u), ∀u,v∈ V Si K no tiene característica 2: f antisimétrica ⇔ f(u,v) = - f(v,u), ∀u,v∈ V B (V) = {formas bilineales sobre V} es un espacio vectorial sobre K. Bs (V) = {formas bilineales simétricas sobre V} y Ba (V) = {formas bilineales antisi-
métricas sobre V} son subespacios de B (V) y son suplementarios.
Si la dimensión de V es n, B = {u 1 , u 2 ,... , un} una base de V y u = (x 1 , x 2 ,... , xn) y v = (y 1 , y 2 ,... , yn) son vectores de V, el valor f(u, v) se puede expresar en forma analítica:
f(u, v) =
o matricial: f(u, v) = (x 1 x 2... xn) · · =
⎟⎟
f(u ,u) f(u ,u ) f(u ,u )
f(u ,u) f(u ,u ) f(u ,u )
f(u,u ) f(u,u ) f(u,u )
n 1 n 2 n n
2 1 2 2 2 n
1 1 1 2 1 n
n
2
1
y
y
y
X t^ ⋅A⋅ Y
A es la matriz asociada a la forma bilineal f con la base B. Al cambiar en V a la base B' = {u 1 ', u 2 ',... , un'}, la matriz asociada a f será A', relacionada con A por A' = P t·A·P, don- de P es la matriz cuyas columnas son u 1 ', u 2 ',... , un'. Las matrices A y A' son congruentes. f simétrica ⇔ A simétrica ⇔ A' simétrica f antisimétrica ⇔ A antisimétrica ⇔ A' antisimétrica rang A = rang A'
3. ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO
Sea V un espacio vectorial real. Un producto escalar en V es una forma bilineal simétrica y definida positiva. Si se denota con •, se trata de una aplicación
que es Bilineal (au+bu') • v = a·(u•v) + b·(u'•v), ∀u,u',v∈ V; ∀a, b∈ ℝ u•(av+bv') = a·(u•v) + b·(u•v'), ∀u,v, v'∈ V ; ∀a, b∈ ℝ Simétrica u•v = v•u, ∀u,v∈ V Definida positiva v•v > 0, ∀v ≠ 0. (V, •) es un espacio vectorial euclídeo.
La aplicación ║ ║: V ⎯⎯⎯→ ℝ
definida a partir del producto escalar con ║v ║ = v • v es una norma en V.
La aplicación d : VV ⎯⎯⎯→ ℝ
definida por d (u, v) = ║u - v ║ es una métrica en V
4. ORTOGONALIDAD
Sea V un espacio vectorial euclídeo con el producto escalar •. Si u y v son vectores de V u y v son ortogonales :⇔ u • v = 0
Si u y v son vectores ortogonales se escribe u Av.
Sean C y D subconjuntos de V. C y D son ortogonales :⇔ u Av , ∀u∈ C ,∀v∈ D.
Si C y D son conjuntos ortogonales, se escribe C A D.
El conjunto CA^ = { v∈ V │ u Av , ∀u∈ C} es un subespacio de V. Consecuencias:
- C A D ⇒ 〈 C 〉 A 〈 D 〉
- Si U es subespacio de V: U ∩ UA^ = {0} y U + UA^ es suma directa.
Sea S = { v 1 , v 2 ,... , vp} un sistema de p vectores de V, p>0. S ortogonal :⇔ los vectores de S son, dos a dos, ortogonales. Si S es un sistema ortogonal:
- Si S no contiene el vector cero, entonces S es libre.
- ║v 1 + v 2 + · · · + vp║^2 = ║v 1 ║^2 + ║v 2 ║^2 + · · · + ║vp║^2
S ortonormal :⇔ S es ortogonal y los vectores de S son unitarios. Si S es un sistema ortonormal:
- 0 ∉ S
- S es libre Proposición. Si S = {v 1 , v 2 ,... , vr} es libre, existe un sistema S 0 = {u 1 , u 2 ,... , ur}
que es ortonormal y se cumple 〈v 1 , v 2 ,... , vi〉 = 〈u 1 , u 2 ,... , ui〉 , ∀i = 1,2,...,r.
Si V es un espacio vectorial euclídeo de dimensión n y U es un subespacio de V, en- tonces UA^ es un suplementario de U. Luego cada vector v∈V admite una única descompo-
sición como v = u + w, con u∈U y w∈UA. El vector u de esa descomposición es la proyec-
ción ortogonal de v sobre U.
ENDOMORFISMOS SIMÉTRICOS
f es un endomorfismo simétrico :⇔ f(u) • v = u • f(v), ∀u, v∈V Propiedades:
- f simétrico ⇔ A simétrica
- Si f es simétrico, todos sus autovalores son reales.
- Si f es simétrico, λ y μ son autovalores de f, λ ≠ μ, u es un vector propio aso- ciado a λ y v es un vector propio asociado a μ, entonces u y v son ortogona- les. Teorema. Sea V un espacio vectorial euclídeo de dimensión n>0. Si f es un endomor- fismo simétrico de V, existe una base ortonormal de V formada por vectores propios. Corolario: Si A es una matriz simétrica con elementos reales, hay una matriz diago- nal D y una matriz ortogonal P tales que D = Pt· A·P.
CARACTERIZACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS REALES
SIGNATURA Sea V un espacio vectorial euclídeo de dimensión n>0, B = {u 1 , u 2 ,... , un} una ba- se de V, ω^ una forma cuadrática sobre V y A la matriz asociada a^ ω^ con la base B. Teorema (ley de inercia de Sylvester). Sea V un espacio vectorial euclídeo de di- mensión n>0 y ω una forma cuadrática sobre V. Si D y D' son dos matrices diagonales asociadas a ω en distintas bases, entonces D y D' tienen el mismo número de elementos positivos y el mismo número de elementos negativos. Se llama signatura de la forma cuadrática ω al par (p, s) donde p y s son, respecti- vamente, el número de elementos positivos y el número de elementos negativos de cual- quier matriz diagonal asociada a ω.
Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos reales y ω la forma cuadrática
sobre ℝn^ que, con la base canónica, tiene asociada la matriz A.
Se llama signatura de la matriz A al par (p, s) que es la signatura de ω.
CLASIFICACIÓN A es definida positiva ⇔ ω es definida positiva A es definida negativa ⇔ ω es definida negativa A es semidefinida positiva ⇔ ω es semidefinida positiva A es semidefinida negativa ⇔ ω es semidefinida negativa.
Si λ 1 , λ 2 ,... , λn son los autovalores de A: A definida positiva ⇔ λi > 0, ∀ i = 1,... , n ⇔ ⇔ sig A = (n, 0) = sig ω ⇔ ω definida positiva. A definida negativa ⇔ λi < 0, ∀ i = 1,... , n ⇔ ⇔ sig A = (0, n) = sig ω ⇔ ω definida negativa. A semidefinida positiva ⇔ λi ≥ 0, ∀ i = 1,... , n ; ∃ j │ λj >0 , ∃ k │ λk =0 ⇔ ⇔ sig A = (p, 0) = sig ω, p < n ⇔ ω semidefinida positiva. A semidefinida negativa ⇔ λi ≤ 0, ∀ i = 1,... , n ; ∃ j│ λj <0 , ∃ k│ λk =0 ⇔ ⇔ sig A = (0, s) = sig ω, s < n ⇔ ω definida positiva.
