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"ConÖeso francamente que nunca he sentido gusto por el estudio o la investigaciÛn en fÌsica o en geometrÌa, a no ser que pudiera servir como medio de llegar a alg˙n tipo de conocimiento de las causas prÛximas...para el bien y la comodidad de la vida, el mantenimiento de la salud, la pr·ctica de alg˙n arte...pues he observado que una buena parte de las artes se basa en la geometrÌa, como el de tallar la piedra en arquitectura, el de los relojes de sol, y el de la perspectiva en particular." Girard Desargues
1 Espacio Proyectivo
1.1 DeÖniciones
Sea V un espacio vectorial.
Se llama espacio proyectivo y se denota P(V ) al conjunto de rectas vecto- riales de V.
Cada recta vectorial se llama punto proyectivo.
Se llama dimensiÛn del espacio proyectivo a dim P(V ) = dim V 1.
El espacio proyectivo se puede deÖnir de modo alternativo como las clases de equivalencia de vectores no nulos de V con la siguiente relaciÛn de equivalencia: ~v est· relacionado con w~ si y sÛlo si existe 6 = 0, ~v = ~w.
En particular, llamamos plano proyectivo real y se denota P 2 al conjunto de rectas vectoriales de R^3 ; esto es
P 2 = P(R 3 ) = f< ~v > j ~v 2 R^3 g:
Y llamamos espacio proyectivo real y se denota P 3 al conjunto de rectas vecto- riales de R^4 ; esto es
P 3 = P(R^4 ) = f< ~v > j ~v 2 R^4 g:
1.2 Coordenadas homogÈneas
Sea P(V ) un espacio proyectivo. Se dice que una familia de puntos f< ~v 1 > ; :::; < ~vr >g de P(V ) generan el espacio proyectivo P(V ) si la familia de vectores f~v 1 ; :::; ~vr g generan el espacio vectorial V. Sea P(V ) un espacio proyectivo. Se dice que los puntos < ~v 1 >; :::; < ~vr > de P(V ) son proyectivamente independientes si los vectores ~v 1 ; :::; ~vr de V son linealmente independientes.
Ejemplo. Consideremos P 2 = P(R^3 ), entonces una familia generadora e independiente de puntos de P 2 = P(R^3 ) est· formada por tres puntos X 1 =< ~v 1 >, X 2 =< ~v 2 > y X 3 =< ~v 3 > de manera que los tres vectores ~v 1 ; ~v 2 y ~v 3 son linealmente independientes.
Y un punto X =< ~w > 2 P 2 se expresa de modo ˙nico como sigue:
w ~ = 1 ~v 1 + 2 ~v 2 + 3 ~v 3 ;
y las coordenadas de X serÌan ( 1 ; 2 ; 3 ). Si elegimos el representante ~w de X, pues X =< ~w > 2 P 2 entonces
~w = 1 ~v 1 + 2 ~v 2 + 3 ~v 3 ;
y las coordenadas de X serÌan ( 1 ; 2 ; 3 ). Como las coordenadas son ˙nicas vamos a identiÖcar
( 1 ; 2 ; 3 ) con ( 1 ; 2 ; 3 ) para 6 = 0
y llamamos coordenadas homogÈneas del punto X a la clase [ 1 ; 2 ; 3 ]; esto es,
[ 1 ; 2 ; 3 ] = f( 1 ; 2 ; 3 ); con 6 = 0g:
1.3 RelaciÛn entre el espacio afÌn y el proyectivo
Sea A un espacio afÌn con espacio vectorial asociado Rn. Los puntos X 2 A los podemos ver como puntos de P(Rn+1) de la siguiente manera:
A ! P(Rn+1) X !< (1; X) > :
Si R = fO; Bg es un sistema de referencia de A y (x 1 ; :::; xn) son las coordenadas de X 2 A entonces
A ! P(Rn+1) (x 1 ; :::; xn) !< (1; x 1 ; :::; xn) > :
A los puntos de P(Rn+1) que no son de la forma < (1; x 1 ; :::; xn) > se les denomina puntos del inÖnito o puntos impropios. Los puntos impropios son de la forma < (0; x 1 ; :::; xn) > por tanto, est·n en le hiperplano proyectivo de ecuaciÛn x 0 = 0. DeÖniciÛn. Sea An un espacio afÌn con espacio vectorial asociado Rn^ con sistema de referencia R = fO; Bg. Se llama espacio afÌn proyectivizado y se denota An al conjunto formado por todos los puntos de An junto con los puntos del inÖnito de An; esto es,
An = An [ f(0; x 1 ; x 2 ; :::; xn) j xi 2 Rg:
IdentiÖcamos An con P(Rn+1) de la siguiente manera:
An !P(Rn+1) (1;
x 1 x 0
xn x 0
) ! [(x 0 ; x 1 ; :::; xn)]; (x 0 6 = 0) puntos propios de P(Rn+1)
(0; x 1 ; :::; xn) ! [(0; x 1 ; :::; xn)]; (x 0 = 0) puntos impropios de P(Rn+1)
Toda recta propia, a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0, determina un punto del inÖnito o impropio [0; a 2 ; a 1 ] donde ( a 2 ; a 1 ) es el vector director de la recta r del plano afÌn A 2 de ecuaciÛn a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0. DeÖniciÛn. La recta que une dos puntos impropios de P 2 se dice que es una recta impropia de P 2 y tiene ecuaciÛn x 0 = 0.
1.5 Ecuaciones de subespacios proyectivos de P 3
Sea P 3 el espacio proyectivo real tridimensional.
1.5.1 Rectas en P 3
Sean P; Q dos puntos independientes de P 3. Por tanto, P =< ~v > y Q =< ~w > con ~v; ~w 2 R^4 vectores linealmente independientes. La recta r que contiene a P y Q es r = f< ~v + ~w > j (; ) 6 = (0; 0)g.
Si los puntos P y Q tienen las siguientes coordenadas homogÈneas:
P = [(p 0 ; p 1 ; p 2 ; p 3 )]; Q = [(q 0 ; q 1 ; q 2 ; q 3 )]
entonces se tiene que un punto X = [(x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 )] pertenece a la recta r si y sÛlo si sus coordenadas cumplen las siguientes ecuaciones 8
<
:
x 0 = p 0 + q 0 x 1 = p 1 + q 1 x 2 = p 2 + q 2 x 3 = p 3 + q 3
que se llaman ecuaciones paramÈtricas de la recta r del espacio proyectivo P 3. Equivalentemente el punto X = [(x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 )] pertenece en la recta r del espacio proyectivo P 3 si y sÛlo si
rg
B
B
x 0 p 0 q 0 x 1 p 1 q 1 x 2 p 2 q 2 x 3 p 3 q 3
C
C
A = 2;
de donde se obtienen las dos ecuaciones cartesianas de la recta. DeÖniciÛn. La recta que une dos puntos propios de P 3 se dice que es una recta propia de P 3. Y sus ecuaciones son las ecuaciones homogÈneas de una recta afÌn. DeÖniciÛn. La recta que une dos puntos impropios de P 3 se dice que es una recta impropia de P 3. ObservaciÛn. En P 3 hay inÖnitas rectas impropias.
1.5.2 Planos en P 3
Dados tres puntos P =< ~v >, Q =< ~w > y R =< ~u > de P 3 independientes, el plano que contiene a P , Q y R es
= f< ~v + ~w + ~u > j (; ; ) 6 = (0; 0 ; 0)g.
Si los puntos P , Q y R tienen las siguientes coordenadas homogÈneas:
P = [(p 0 ; p 1 ; p 2 ; p 3 )] Q = [(q 0 ; q 1 ; q 2 ; q 3 )] R = [(r 0 ; r 1 ; r 2 ; r 3 )]
entonces se tiene que un punto X = [(x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 )] pertenece al plano del espacio proyectivo P 3 si y sÛlo si sus coordenadas cumple las siguientes ecua- ciones (^8)
<
:
x 0 = p 0 + q 0 + r 0 x 1 = p 1 + q 1 + r 1 x 2 = p 2 + q 2 + r 2 x 3 = p 3 + q 3 + r 3
que se llaman ecuaciones paramÈtricas del plano del espacio proyectivo P 3. Equivalentemente el punto X = [(x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 )] pertenece al plano del espacio proyectivo P 3 si y sÛlo si
a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0;
que es la ecuaciÛn cartesiana del plano que se obtiene al imponer que el siguiente determinante se anule:
x 0 p 0 q 0 r 0 x 1 p 1 q 1 r 1 x 2 p 2 q 2 r 2 x 3 p 3 q 3 r 3
Observaciones. Tres puntos propios determinan un plano propio de P 3. Y su ecuaciÛn es la ecuaciÛn homogÈnea de un plano afÌn. Tres puntos impropios determinan un plano propio de P 3 que tiene por ecuaciÛn cartesiana la ecuaciÛn x 0 = 0. Todo plano propio determina una recta impropia. Y toda recta impropia est· contenida en el plano impropio x 0 = 0.
1.6 RazÛn doble
Teorema. Si cuatro puntos alineados A; B; C; D; se proyectan desde un vÈrtice V en cuatro puntos alineados A^0 ; B^0 ; C^0 ; D^0 , entonces las siguientes razones son iguales: AC CB AD DB
A^0 C^0 C^0 B^0 A^0 D^0 D^0 B^0
2 CÛnicas
DeÖniciÛn. Una cÛnica C en P 2 (R^3 ) es el conjunto de puntos cuyas coordendas en cierta referencia R satisfacen una ecuaciÛn homogÈnea de grado 2 :
X^2
i=
X^2
j=
aij xixj
= a 00 x^20 + a 11 x^21 + a 22 x^22 + a 01 x 0 x 1 + a 10 x 1 x 0
- a 02 x 0 x 2 + a 20 x 2 x 0 + a 12 x 1 x 2 + a 21 x 2 x 1 :
Y se dice que es propia o degenerada si es o no irreducible. Por ejemplo, C 1 x^20 + 2x^21 + 3x 1 x 2 = 0 es una cÛnica propia pues el polinomio homogÈneo de grado 2 , x^20 + 2x^21 + 3x 1 x 2 = 0 es irreducible (no se puede poner como producto de dos polinomios de grado 1 ). Sin embargo, la cÛnica C 2 x^20 4 x^21 = 0 es degenerada pues x^20 4 x^21 = (x 0 2 x 1 )(x 0 + 2x 1 ); esto es la cÛnica C 2 son dos rectas que se cruzan. Finalmente, la cÛnica C 3 (x 0 + 2x 1 + 3x 2 )^2 = 0 es degenerada. La cÛnica C 3 es una recta doble. Usando notaciÛn matricial, la ecuaciÛn de la cÛnica
C^
X^2
i=
X^2
j=
aij xixj = 0
se puede escribir como sigue
C^ XT^ AX = 0;
donde
A =
a 00 a 01 a 02 a 01 a 11 a 12 a 02 a 12 a 22
A
esto es, X 2 C () XT^ AX = 0: M·s formalmente, DeÖniciÛn. Dada una forma cuadr·tica! : R^3 ! R. La cÛnica proyectiva deÖnida por! es el conjunto de puntos X 2 P 2 (R^3 ), donde se anula !; esto es,
C^ = fX 2 P 2 (R^3 ) j !(X) = 0g:
Y la cÛnica afÌn deÖnida por! es el conjunto de puntos X 2 A 2 , X~ = (1; x 1 ; x 2 ), donde se anula !; esto es,
C = fX 2 A 2 j !( X~) = 0g: Se tiene C C. Recuerdo. DeÖniciÛn. Una forma cuadr·tica! : R^3 ! R es una aplicaciÛn tal que existe una forma bilineal f : R^3 R^3 ! R con !(v) = f (v; v), para todo v 2 R^3. Resultado. Dada una forma cuadr·tica! existe una forma bilineal f tal que:
- f es simÈtrica (esto es, f (u; v) = f (v; u))
- la forma cuadr·tica asociada a f es!
- f es ˙nica.
A la ˙nica forma bilineal simÈtrica f cuya forma cuadr·tica es! la llamamos la forma polar de !. La forma polar de una forma cuadr·tica! viene dada como sigue:
f (u; v) =
(!(u + v) !(u) !(v)):
Se tiene: !(X) = f (X; X):
2.1 Puntos singulares
DeÖniciÛn. Sea C una cÛnica proyectiva generada por una forma cuadr·tica !, con forma polar f y matriz asociada A.
Se dice que dos puntos P; Q 2 P 2 son conjugados si f (P; Q) = 0.
Se dice que un punto P 2 P 2 es un punto autoconjugado si !(P ) = f (P; P ) = 0.
Se dice que un punto P 2 P 2 es un punto singular de C si es conjudado con cualquier punto de P 2 ; esto es, f (P; Q) = 0 para todo punto Q 2 P 2. Esto es, si f (P; Q) = P T^ AQ = 0; 8 Q 2 P 2 ; o equivalentemente, P T^ A = 0:
Se dice que un punto P 2 P 2 es un punto regular de C si no es un punto singular.
La cÛnica C es no degenerada, regular u ordinaria si no tiene puntos singulares.
La cÛnica C es degenerada Û singular si tiene alg˙n punto singular.
Observaciones: Sea C una cÛnica proyectiva generada por una forma cuadr·tica !, con forma polar f y matriz asociada A.
- Sea Sing( C) el conjunto de puntos singulares de C; esto es,
Sing( C) = fX 2 P 2 j f (X; Y ) = 0; para todo Y 2 P 2 g = fX 2 P 2 j AX = 0g:
Se tiene dim(Sing( C)) = 2 rg(A):
2.2.1 EcuaciÛn de la recta polar
Si P es un punto no singular con coordenadas [(p 0 ; p 1 ; p 2 )] y la matriz asociada a la cÛnica es
A =
a 00 a 01 a 02 a 01 a 11 a 12 a 02 a 12 a 22
A
entonces rP = fX 2 P 2 j P T^ AX = 0g;
esto es,
0 = P T^ AX = (p 0 ; p 1 ; p 2 )
a 00 a 01 a 02 a 01 a 11 a 12 a 02 a 12 a 22
A
x 0 x 1 x 2
A
= (p 0 a 00 + p 1 a 01 + p 2 a 02 )x 0 + (p 0 a 01 + p 1 a 11 + p 2 a 12 )x 1
- (p 0 a 02 + p 1 a 12 + p 2 a 22 )x 2 :
2.2.2 ConstrucciÛn geomÈtrica de la recta polar
Dados la cÛnica C y un punto P 2 P 2 no singular, vamos a obtener la recta polar de P respecto de la cÛnica C. Primero, tomamos dos rectas r; s desde P que corten a la cÛnica en cuatro puntos: R 1 ; R 2 ,S 1 ; S 2. La recta polar de P respecto de C es la recta de cuartos armÛnicos de P respecto de los pares de puntos de intersecciÛn; esto es, los puntos X tales que fP; X; R 1 ; R 2 g = 1. Para obtener los cuartos armÛnicos, construimos el cuadr·ngulo completo; esto es, construimos
- las rectas diagonales del cuadril·tero R 1 R 2 S 1 S 2 : rectas R 1 S 1 , R 2 S 2 , R 1 S 2 y R 2 S 1 ,
- consideramos los puntos de intersecciÛn. X = R 1 S 1 \ R 2 S 2 , Y = R 1 S 2
R 2 S 1.
La polar de P respecto de C es la recta XY.
2.2.3 Polo de una recta respecto a una cÛnica C
DeÖniciÛn. Dada una recta r del plano proyectivo P 2 , llamamos polo de la recta r respecto de la cÛnica C al punto cuya recta polar es r; esto es, rP = r. Si la ecuaciÛn de la recta r es
r u 0 x 0 + u 1 x 1 + u 2 x 2 = U T^ X = 0; con U = (u 0 ; u 1 ; u 2 ) y X = (x 0 ; x 1 ; x 2 );
entonces rP = r si y sÛlo si
P T^ AX = U T^ X, para todo X 2 P 2
Û equivalentemente, P T^ A = U T^ () AP = U:
Y si la cÛnica C no es degenerada (por tanto, det A 6 = 0), entonces P = A ^1 U. Teorema. Si la polar de un punto Q pasa por un punto P , entonces la polar de P pasa por el punto Q. Esto es debido a que la condiciÛn de conjugaciÛn f (P ; Q) = 0, es simÈtrica en P y Q. Teorema. Si A; B; C; D son cuatro puntos en una cÛnica C, entonces el tri·ngulo diagonal (tri·ngulo con vÈrtices P; X; Y , en el dibujo) del cuadr·ngulo ABCD, es autopolar para C. Esto es, la recta que une XP es la recta polar de Y , la recta que une P Y es la recta polar de X, y la recta XY es la recta polar de P.
2.2.4 Polaridad deÖnida por una cÛnica
Como hemos visto, dada una cÛnica C a cada punto P no singular se le asigna una recta (su recta polar) y recÌprocamente, a cada recta r se le asigna un punto (su polo). DeÖniciÛn. Se llama polaridad deÖnida por una cÛnica C a la aplicaciÛn que a cada punto no singular de P 2 le hace corresponder su recta polar. Esto es,
P 2 Sing( C) ! Rectas de P 2 P 7 ! rP
- Si P 2 C es un punto regular, entonces TP C es una recta y, de hecho, es la recta polar del punto P ; esto es, TP C = rp.
- Si P 2 C es un punto singular, entonces TP C = P 2.
- Si P 2 = C, podemos deÖnir la variedad tangente a C en P 2 = C como el conjunto de puntos X 2 P 2 tales que la recta que une P y X es tangente a la cÛnica C; esto es, TP C = fX 2 P 2 j recta XP es tangente a Cg = fX 2 P 2 j = f (P; X)^2 !(P )!(X) = 0g = fX 2 P 2 j f (P; X)^2 = !(P )!(X)g: Y se cumple que TP C es una cÛnica degenerada que tiene a P como punto singular.
ConstrucciÛn geomÈtrica de TP C cuando P = 2 C Tenemos TP C = fX 2 P 2 j recta XP es tangente a Cg. Calculamos la recta polar de P , rP = fX 2 P 2 j f (P; X) = 0g
y hallamos la intersecciÛn de rP y C. Si rP \ C = fP 1 ; P 2 g, entonces TP C = rP 1 [ rP 2.
Si rP \ C son dos puntos imaginarios; esto es, la recta rP es exterior a la cÛnica C y el punto P es un punto interior a la cÛnica y desde Èl no se puede lanzar ninguna tangente.
2.4 ClasiÖcaciÛn de las cÛnicas
Sea C una cÛnica con matriz asociada A.
rango A sign (A) CÛnica EcuaciÛn canÛnica 3 3 cÛnica no degenerada vacÌa x^20 +x^21 +x^22 = 0 3 1 cÛnica no degenerada no vacÌa x^20 +x^21 x^22 = 0 2 2 punto singular x^20 +x^21 = 0 2 0 par de rectas x^20 x^21 = 0 1 1 recta doble (ax 0 +bx 1 +cx 2 )^2 = 1
Nota: Llamamos signatura de A y lo denotamos sign(A) a j j donde =no de autovalores positivos de A y =no^ de autovalores positivos de A.
2.5 ClasiÖcaciÛn afÌn y elementos notables de las cÛnicas
Sea A 2 = P(R^3 ) el plano afÌn proyectivizado, con sistema de referencia R = fO; Bg. Y sea! una forma cuadr·tica con matriz asociada A. Sea
C^ = fX 2 P 2 (R^3 ) j !(X) = 0g
una cÛnica proyectiva con cÛnica afÌn
C = C \ A 2 = fX 2 A 2 j !( X~) = 0g; donde X~ = (1; x 1 ; x 2 ):
2.5.1 Centro de una cÛnica afÌn
DeÖniciÛn: Se llama centro de una cÛnica afÌn C al polo de la recta del inÖnito si ese punto es un punto propio (si no lo es, se dice que la cÛnica afÌn no tiene centro propio). La ecuaciÛn de la recta del inÖnito es x 0 = 0 y la ecuaciÛn de la cÛnica es XtAX = 0. Por tanto, el polo de la recta del inÖnito es el punto P tal que P tA = (1; 0 ; 0). Ejemplo. La par·bola es tangente al inÖnito: por tanto, el polo de la recta del inÖnito es el punto de tangencia, que est· en el inÖnito, asÌ que la par·bola no tiene centro propio. ProposiciÛn. El centro de una cÛnica afÌn es centro de simetrÌa.
ConstrucciÛn geomÈtrica del centro de una cÛnica.
El centro es el polo de la recta del inÖnito, por tanto, es la intersecciÛn de las rectas polares de puntos del inÖnito.
- Tomamos un punto del inÖnito P 1 y hallamos su recta polar de la siguiente manera:
Si det A 00 6 = 0, entonces C tiene centro propio que es el centro de simetrÌa de la cÛnica. Cualquier recta que pasa por el centro corta a la cÛnica en dos puntos que son simÈtricos respecto del centro.
Por tanto, se pueden dar los siguientes casos:
C^ \ r 1 =
2 puntos reales distintos ( det(A 00 ) < 0 ) 2 puntos imaginarios conjugados ( det(A 00 ) > 0 ) 1 punto ( det(A 00 ) = 0)
2.6.1 CÛnicas de tipo parabÛlico
Se tiene que: C \ r 1 = fP g, P punto doble si y sÛlo si det A 00 = 0. El centro de la cÛnica es un punto impropio.
Si det A 6 = 0 la cÛnica es una par·bola.
Si det A = 0 la cÛnica es un par de rectas paralelas
distintas si rg A = 2 recta doble si rg A = 1
2.6.2 CÛnicas de tipo elÌptico
Se tiene que: C \ r 1 = fP 1 ; P 2 g, P 1 ; P 2 puntos imaginarios conjugados si y sÛlo si det A 00 > 0. El centro de la cÛnica es un punto propio.
Si det A 6 = 0 la cÛnica es una elipse.
Si det A = 0 la cÛnica es un par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real (el punto singular de la cÛnica).
2.6.3 CÛnicas de tipo hiperbÛlico
Se tiene que: C \ r 1 = fP 1 ; P 2 g, P 1 ; P 2 puntos reales distintos si y sÛlo si det A 00 < 0. El centro de la cÛnica es un punto propio.
Si det A 6 = 0 la cÛnica es una hipÈrbola.
Si det A = 0 la cÛnica es un par de rectas reales que se cortan en el punto singular
2.6.4 Elementos notables de las cÛnicas
Sea la cÛnica C XtAX = 0, con At^ = A una cÛnica regular.
Centro DeÖnimos centro de la cÛnica C al polo de la recta impropia (es el centro de simetrÌa de la cÛnica).
Di·metros y di·metros conjugados Dos rectas r y s se dicen conjugadas con respecto a una cÛnica regular C cuando cada una de ellas contiene al polo de la otra. DeÖnimos di·metro de la cÛnica C a toda recta tal que su polo es un punto impropio. Por tanto, para cada punto impropio tenemos un di·metro. En virtud del Teorema fundamental de la polaridad, todos los di·metros por ser rectas polares de puntos impropios pasan por el polo de la recta impropia; es decir, pasan por el centro. Dos di·metros dP y dQ diremos que son conjugados cuando cada uno de ellos contiene al polo del otro.
AsÌntotas Se llama asÌntota de una cÛnica, cuando la tiene, a todo di·metro que es tangente a la cÛnica. Por tanto, las asÌntotas son las rectas polares de los puntos impropios de la cÛnica.
Ejes en las cÛnicas regulares Dos rectas r^0 a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 y s^0 b 0 x 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 = 0 con a 1 6 = 0 Û a 2 6 = 0 y b 1 6 = 0 Û b 2 6 = 0 diremos que son ortogonales en el plano proyectivo P 2 si a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0. Se llaman ejes de una cÛnica regulares a aquellos di·metros que siendo con- jugados son adem·s ortogonales. Veamos cÛmo obtener los ejes: Sean P [0; p 1 ; p 2 ] y Q[0; q 1 ; q 2 ] los puntos impropios de los ejes. Como los ejes son rectas ortogonales P y Q se cumple: p 1 q 1 + p 2 q 2 = 0. Y por otra parte, como P y Q son los puntos impropios de rectas conjugadas, deben ser puntos conjugados; esto es, P tAQ = 0. Por tanto, se deben cumplir las siguientes ecuaciones: 8
<
:
p 1 q 1 + p 2 q 2 = 0
(0; p 1 ; p 2 )
a 00 a 01 a 02 a 01 a 11 a 12 a 02 a 12 a 22
A
q 1 q 2
A = 0
p 1 q 1 + p 2 q 2 = 0 (p 1 a 11 + p 2 a 12 ) q 1 + (p 1 a 12 + p 2 a 22 ) q 2 = 0
()
p 1 p 2 p 1 a 11 + p 2 a 12 p 1 a 12 + p 2 a 22
q 1 q 2
El sistema anterior tiene soluciÛn distinta de la trivial si la matriz de coeÖcientes tiene determinante cero; esto es, si las Ölas de la matriz de coeÖcientes son proporcionales: a 11 p 1 + a 12 p 2 = p 1 a 12 p 1 + a 22 p 2 = p 2
(a 11 ) p 1 + a 12 p 2 = 0 a 12 p 1 + (a 22 ) p 2 = 0
El sistema anterior tiene soluciÛn (p 1 ; p 2 ) 6 = (0; 0) si
det
a 11 a 12 a 12 a 22
= 0 () ^2 (a 11 + a 22 ) + det A 00 = 0
El punto impropio de la recta r x 0 + x 1 + 2x 2 = 0 satisface la ecuaciÛn x 1 + 2x 2 = 0 por tanto tiene coordenadas homogÈneas P [0; 2 ; 1]. La recta polar de P es el di·metro conjugado de r; esto es,
rP (0; 2 ; 1)
A
x 0 x 1 x 2
A = 0
rP x 0 + x 1 + x 2 = 0:
NÛtese que los puntos impropios de r y rP ; P [0; 2 ; 1] y Q[0; 1 ; 1] respectiva- mente, son puntos conjugados: P tAQ = 0 pero r y rP no son rectas ortogonales pues 2 1 1 1 6 = 0. Los autovalores de A 00 son 1 = 0, 2 = 2. Y los autovectores asociados a dichos autovalores son:
~v 1 = ( 1 ; 1) autovector asociado a = 0 ~v 2 = (1; 1) autovector asociado a = 2
Por tanto los ejes de la cÛnica son las rectas polares de los puntos impropios P 1 [0; 1 ; 1] y P 2 [0; 1 ; 1]; esto es,
rP 1 (0; 1 ; 1)
A
x 0 x 1 x 2
A = 0
rP 2 (0; 1 ; 1)
A
x 0 x 1 x 2
A = 0
Por tanto, los ejes de la cÛnica son
rP 1 x 0 = 0; rP 2 x 0 + 2x 1 + 2x 2 = 0:
Los di·metros de la cÛnica se cortan en el centro; en particular, el centro es el punto de intersecciÛn de los ejes de la cÛnica: x 0 = 0 x 0 + 2x 1 + 2x 2 = 0
x 0 = 0 x 1 + x 2 = 0
() Z[0; 1 ; 1]
La par·bola tiene centro impropio. Los vÈrtices de la cÛnica son los puntos de intersecciÛn de la cÛnica con sus ejes. Como C es una par·bola, tiene un punto impropio que es precisamente el centro Z y tambiÈn es un vÈrtice de la par·bola (el vÈrtice impropio):
x^20 + x^21 + x^22 2 x 0 x 2 + 2x 1 x 2 = 0 x 0 = 0
(x 1 + x 2 )^2 = 0 x 0 = 0
() Z[0; 1 ; 1]
El otro vÈrtice es la intersecciÛn de la par·bola con su eje propio: 1 + x^21 + x^22 2 x 2 + 2x 1 x 2 = 0 1 + 2x 1 + 2x 2 = 0
()
1 + (x 1 + x 2 )^2 2 x 2 = 0 1 = 2x 1 + 2x 2
1 + 14 2 x 2 = 0 1 = 2x 1 + 2x 2
()
x 2 = (^58) x 1 = 12 x 2 = 12 58 = (^18)
() V
Ejemplo 2 Sea la cÛnica C x^20 4 x^21 + x^22 2 x 0 x 1 2 x 0 x 2 = 0. Se pide:
- ClasiÖcar la cÛnica.
- Calcular las asÌntotas de la cÛnica.
- Calcular los ejes de la cÛnica.
- Hallar el centro de la cÛnica.
- Calcular los vÈrtices de la cÛnica.
ClasiÖcaciÛn: La matriz de la cÛnica es
A =
A :
El determinante de A es: det(A) = 1 6 = 0, ( C es una cÛnica regular) y como det A 00 = 4 < 0 , la cÛnica es una hipÈrbola.
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.
5 4 3 2 1 0
x
y
x
y
