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Tema 7
Cónicas. Clasificación.
Desde el punto de vista algebraico una cónica es una ecuación de segundo grado en las variables x, y. De ese modo, la ecuación general de una cónica viene dada por una expresión de la forma: a 11 x^2 + a 12 xy + a 22 y^2 + a 01 x + a 02 y + a 00 = 0. (7.1)
En el Tema 3, se vió la descripción de los diferentes tipos de cónicas cuando el término a 12 = 0 , lo que se corresponde con que los ejes de las cónicas coinciden con los ejes coordenados. Además, se describieron en forma canónica o reducida, que consiste en considerar que los centros (en el caso en que la cónica posea centro) o los vértices (si la cónica no posee centro) coinciden con el origen de coordenadas. Sin embargo, en general, el término a 12 6 = 0 y, en ese caso, no es fácil reconocer a simple vista el tipo de cónica a partir de una ecuación. El objetivo de este tema es clasificar una cónica según su ecuación (reducida o no) y obtener los principales elementos que la definen.
7.1. Tipo de una cónica
En primer lugar, tenemos que estudiar la parte principal de (7.1):
a 11 x^2 + a 12 xy + a 22 y^2 , (7.2)
que se describe matricialmente como:
(x, y)
a 11 a 12 2 a 12 2 a 22
x
y
= (x, y) A
x
y
La matriz A es una matriz 2 × 2 simétrica, luego posee autovalores reales y puede diago- nalizarse mediante una matriz de paso ortogonal. El estudio del signo de los autovalores {λ 1 , λ 2 } de A nos dará el tipo de cónica que obtenemos:
- Si λ 1 · λ 2 > 0 , es decir, los dos autovalores son positivos o los dos negativos, entonces la cónica es de tipo elíptico. Dentro de este tipo, podemos distinguir:
a) Una elipse real. b) Un punto.
1
c) Una elipse imaginaria (no hay puntos que verifican esta ecuación).
- Si λ 1 · λ 2 < 0 , es decir, un autovalor es positivo y el otro negativo (se suele considerar λ 1 > 0 y λ 2 < 0 ), entonces la cónica es de tipo hiperbólico. Dentro de este tipo, podemos distinguir:
a) Una hipérbola. b) Un par de rectas secantes
- Si λ 1 · λ 2 = 0, es decir, uno de los dos autovalores es cero (no consideraremos el caso en que ambos autovalores son cero), entonces la cónica es de tipo parabólico. Dentro de este tipo, podemos distinguir:
a) Una parábola. b) Un par de rectas paralelas. c) Una recta doble. d ) Un par de rectas imaginarias (no hay puntos que verifican esta ecuación).
Como podemos deducir, el cálculo de los autovalores y, por tanto, el tipo de cónica que estamos estudiando, es fácil. Lo más complicado es determinar de qué cónica se trata exactamente. Para ello, podemos hacerlo de dos formas:
- pasando de la ecuación original (7.1) a una ecuación canónica o reducida que nos permita identificar claramente de qué cónica se trata,
- o bien, estudiando sus invariantes.
Ejemplo 7.1.1 La cónica de ecuación 3 x^2 + 3y^2 − 2 xy − 2 = 0 se puede transformar mediante una cambio de variable en la cónica:
x^22 +
y 22 1 2
que es una elipse de ejes a = 1 y b =
. Observemos que hemos pasado de las variables
(x, y) a las variables (x 2 , y 2 ).
7.1.1. Clasificación buscando la ecuación reducida
Para escribir las nuevas variables usamos: ( x
y
= P
x 1
y 1
con P la matriz de paso ortogonal asociada a la matriz A. El proceso es el siguiente: La ecuación (7.1) se puede escribir usando (7.2) como:
(x, y) A
x
y
x
y
b) Si b 01 = 0, entonces podemos reescribir la ecuación (7.5) como:
λ 2
y 1 + b 02 2 λ 2
b^202 4 λ 2
− a
luego realizando el cambio de variable:
x 2 = x 1
y 2 = y 1 +
b 02 2 λ 2 obtenemos la expresión: λ 2 y 22 =
b^202 4 λ 2 − a = c,
que nos permite distinguir entre:
- Si cλ 2 > 0 , se trata de un par de rectas paralelas.
- Si cλ 2 = 0, se trata de una recta doble.
- Si cλ 2 < 0 , se trata de un par de rectas imaginarias.
7.1.2. Clasificación por invariantes
A veces resulta complicado usar el método anterior para clasificar las cónicas. Una forma alternativa es usar los llamados invariantes de una cónica, que son aquellas expresiones formadas por coeficientes de la ecuación de la cónica que no varían al cambiar de sistema de coordenadas mediante un giro o una traslación. Para ello reescribimos la expresión (7.1) como:
(x, y, 1)
a 11
a 12 2
a 01 2 a 12 2
a 22 a 02 2 a 01 2
a 02 2 a
x
y
1
= (x, y, 1) A
x
y
1
Se puede demostrar que una cónica tiene los siguientes tres invariantes:
tr(A) = a 11 + a 22 , δ = |A| =
a 11
a 12 2 a 12 2
a 22
, ∆ = |A| =
a 11
a 12 2
a 01 2 a 12 2
a 22 a 02 2 a 01 2
a 02 2
a
La ecuación reducida de una cónica se puede calcular usando dichos invariantes. De ese modo:
- Si la curva es de tipo elíptico entonces δ > 0 y la ecuación reducida viene dada por:
λ 1 x^2 + λ 2 y^2 = −
δ
donde:
a) Si λ 1 ∆ < 0 , entonces es una elipse real. b) Si λ 1 ∆ > 0 , entonces es una elipse imaginaria. c) Si λ 1 ∆ = 0, entonces es un punto.
- Si la curva es de tipo hiperbólico entonces δ < 0 y la ecuación reducida viene dada por: λ 1 x^2 + λ 2 y^2 = −
δ
donde:
a) Si ∆ 6 = 0, entonces es una hipérbola. b) Si ∆ = 0, entonces es un par de rectas secantes.
- Si la curva es de tipo parabólico entonces δ = 0 (consideramos λ 1 = 0 y λ 2 6 = 0) y:
a) Si ∆ 6 = 0, entonces la ecuación reducida viene dada por
λ 2 y^2 = ± 2
λ 2 x,
luego se trata de una parábola. b) Si ∆ = 0, entonces la ecuación reducida viene dada por
λ 2 y^2 = c,
donde (c hay que determinarlo por el método de clasificación anterior):
- Si c λ 2 > 0 , entonces es un par de rectas paralelas.
- Si c = 0, entonces es una recta doble.
- Si c λ 2 < 0 , entonces es un par de rectas imaginarias.
La determinación de los principales elementos de cada cónica no degenerada se verá en la siguiente sección.
7.2. Elementos de una cónica no degenerada
Teniendo en cuenta que el método de clasificación de los invariantes parece un poco más operativo, vamos a intentar obtener los elementos principales de las cónicas no degeneradas mediante su ecuación reducida y razonamientos geométricos.
Ejercicio 7.2.1 Calcula los principales elementos de la cónica 8 x^2 + 17y^2 + 12xy − 8 x − 16 y − 8 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son:
A =
, A =
por tanto, δ = 100 > 0 y ∆ = − 1200 < 00 , luego se trata de una elipse. Calculemos ahora sus principales elementos:
ecuación reducida: Calculamos los autovalores de A y obtenemos:
|A − λ I| =
8 − λ 6 6 17 − λ
= λ^2 − 25 λ + 100 = 0 ⇒ λ 1 = 5, λ 2 = 20
obteniendo: 5 x^2 + 20y^2 =
δ
x^2 12 5
y^2 12 20
centro: El centro se obtiene resolviendo el sistema:
∂f ∂x (x, y) = 0
∂f ∂y
(x, y) = 0 ,
16 x + 12y − 8 = 0
34 y + 12x − 16 = 0
⇔ (x, y) =
eje principal: El eje principal pasa por el centro y tiene como vector director el autovector menor en valor absoluto, es decir, λ = 5, que se obtiene resolviendo el sistema: ( 3 6 6 12
x y
que es equivalente a x + 2y = 0,
luego el autovector asociado es ~v 1 =
. Por tanto, la ecuación del eje principal es: x − (^15) − 2
y − (^25) 1
⇔ y =
(x −
) ⇔ y = 1 − x 2 eje secundario: El eje secundario pasa por el centro y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor mayor en valor absoluto, es decir, λ = 20, que se obtiene resolviendo el sistema: ( − 12 6 6 − 3
x y
que es equivalente a 2 x − y = 0,
luego el autovector asociado es ~v 2 =
. Por tanto, la ecuación del eje secundario es: x − (^15) 1
y − (^25) 2 ⇔ y =
) ⇔ y = 2x
focos: Los focos están en el eje principal, luego sus coordenadas son de la forma:
F =
x 0 ,
(1 − x 0 )
Por otra parte, el foco debe verificar que d(C, F ) = c, siendo c =
√ a^2 −^ b^2 = 12 5
. Por tanto, tenemos que resolver x 0 de la ecuación:
d(C, F ) = c ⇔ d(C, F )^2 = c^2 ⇔
x 0 −
x 0 2
x 0 −
x 0 −
x 0 −
x 0 −
⇔ x 0 =
Obtenemos dos soluciones, cada una de ellas correspondiente a un foco:
F 1 = (− 1 , 1) , F 2 =
7.2.2. Elementos de una hipérbola
La clasificación por invariantes de una hipérbola nos dice que δ < 0 y ∆ 6 = 0, de manera que su ecuación reducida es:
λ 1 x^2 + λ 2 y^2 = −
δ
con λ 1 > 0 , λ 2 < 0 ,
lo que es equivalente a: x^2 −∆ δλ 1
y^2 −∆ δλ 2
Esto significa que la hipérbola en forma reducida es de centro (0, 0). Sin embargo, lo que necesitamos es encontrar los principales elementos asociados a la ecuación en forma general f (x, y) = 0. Para ello:
Cálculo del centro: Resolvemos el sistema (7.7) asociado a la hipérbola.
Cálculo de los ejes: Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen como vectores directores los autovectores asociados a los autovalores de la matriz A. El eje principal (el que contiene a los focos) será el que tiene como autovector el asociado al autovalor que cumpla lo siguiente:
Si ∆ < 0 , entonces
δλ 1
< 0 y
δλ 2
- Luego como el valor positivo es
δλ 2
entonces el autovector elegido es el asociado a λ 2.
centro: El centro se obtiene resolviendo el sistema:
∂f ∂x
(x, y) = 0
∂f ∂y (x, y) = 0 ,
− 4 x + 4y + 2 = 0
2 y + 4x = 0
⇔ (x, y) =
eje principal: El eje principal pasa por el centro y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor que hace que el término al cuadrado sea positivo, es decir, λ 1 = 2, que se obtiene resolviendo el sistema: ( − 4 2 2 − 1
x y
que es equivalente a 2 x − y = 0,
luego el autovector asociado es ~v 1 =
. Por tanto, la ecuación del eje principal
es: x − (^16) 1
y + (^13) 2
⇔ y = −
) ⇔ y = 2x −
eje secundario: El eje secundario pasa por el centro y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor que hace que el término al cuadrado sea negativo, es decir, λ 2 = − 3 , que se obtiene resolviendo el sistema: ( 1 2 2 4
x y
que es equivalente a x + 2y = 0,
luego el autovector asociado es ~v 2 =
. Por tanto, la ecuación del eje secun-
dario es:
x − (^16) − 2
y + (^13) 1 ⇔ y = −
(x −
) ⇔ 4 y + 2x + 1 = 0
focos: Los focos están en el eje principal, luego sus coordenadas son de la forma:
F =
x 0 , −
Por otra parte, el foco debe verificar que d(C, F ) = c, siendo c =
√ a^2 +^ b^2 = 5 12
. Por tanto, tenemos que resolver x 0 de la ecuación:
d(C, F ) = c ⇔ d(C, F )^2 = c^2 ⇔
x 0 −
x 0 −
x 0 −
x 0 −
x 0 −
⇔ x 0 =
Obtenemos dos soluciones, cada una de ellas correspondiente a un foco:
F 1 =
, F 2 =
7.2.3. Elementos de una parábola
La clasificación por invariantes de una hipérbola nos dice que δ = 0 y ∆ 6 = 0, de manera que su ecuación reducida es (considerando λ 1 = 0):
λ 2 y^2 = ± 2
λ 2 x.
lo que es equivalente a:
y^2 = ±
λ 2
λ 2
x.
Esto significa que la parábola en forma reducida es de vértice (0, 0). Sin embargo, lo que necesitamos es encontrar los principales elementos asociados a la ecuación en forma general f (x, y) = 0. Para ello:
Cálculo del vértice: El vértice verifica dos propiedades:
La pendiente m 2 de la directriz debe coincidir con la tangente a la parábola en el vértice, es decir,
m 2 =
∂f ∂x ∂f ∂y
La directriz tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo.
El vértice debe verificar la ecuación de la parábola.
Resolviendo las dos ecuaciones obtenemos las coordenadas del vértive.
Cálculo del eje: El eje de la parábola es una recta que pasa por el vértice y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor nulo.
Cálculo del foco: El foco F es un punto que está en el eje y que dista del vértice una distancia de p 2
, si la ecuación de la parábola es y^2 = 2px. Por tanto, se impone para
encontrar sus coordenadas:
Que las coordenadas del foco verifican la ecuación del eje.
Que d(V, F ) = p 2
Obtendremos dos puntos (P 1 y P 2 ) que verifican ambas condiciones, pero sólo uno de ellos es el foco. Para distinguirlo, necesitamos:
calcular la recta r 1 que pasa por P 1 y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo.
calcular la recta r 2 que pasa por P 2 y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo.
Cortamos r 1 con la parábola.
Cortamos r 2 con la parábola.
eje: El eje pasa por el vértice V =
y tiene como vector director el autovector
asociado al autovalor nulo, es decir, λ 1 = 0, que se obtiene resolviendo el sistema: ( 1 1 1 1
x y
que es equivalente a x + y = 0,
luego el autovector asociado es ~v 1 =
. Por tanto, la ecuación del eje es:
x − (^12) 1
y − (^52) − 1 ⇔ y = −x + 3.
foco y directriz:
- El foco está en el eje luego sus coordenadas son de la forma F = (x 0 , −x 0 + 3).
- La distancia del vértice al foco es p 2
, siendo p = ±
Por tanto, el foco verifica:
d(V, F ) = ±
⇔ d(V, F )^2 =
x 0 −
−x 0 + 3 −
lo que es equivalente a:
x 0 −
⇔ x 0 =
es decir, las soluciones son x 0 =
y x 0 =
Eso nos daría dos puntos P 1 =
y P 2 =
. Sin embargo, la parábola
sólo tiene un foco.
Calculamos ahora:
- la recta r 1 que pasa por P 1 y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo, es decir, ~v 2 =
, obteniendo:
x − (^58) 1
y − (^198) 1
⇔ y = x +
- la recta r 2 que pasa por P 2 y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo, es decir, ~v 2 =
, obteniendo:
x − (^38) 1
y − (^218) 1 ⇔ y = x +
Ahora calculamos las intersecciones de las rectas con la parábola:
- r 1 ∩ f (x, y) = 0 : tiene dos puntos de corte
y
, luego al tener
puntos de corte, nos indica que el foco es F = P 1 =
- (r 2 ∩ f (x, y) = 0) = ∅, luego r 2 es la directriz.
7.3. Estudio de las cónicas degeneradas
Analizamos cada una de las cónicas degeneradas en el mismo orden en que fueron expuestas en la Sección 7.1.2.
7.3.1. Punto (tipo elíptico)
Se clasifica claramente a partir de los invariantes δ > 0 y ∆ = 0. Calcular las coordenadas de dicho punto es equivalente a calcular las coordenadas del centro de una elipse, es decir, resolver el sistema (7.7).
Ejercicio 7.3.1 Calcula los principales elementos de la cónica x^2 +y^2 −xy+2x−y+1 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son:
A =
, A =
por tanto, δ = 34 > 0 y ∆ = 0, luego se trata de un punto. El cálculo de las coordenadas de dicho punto se hace calculando las coordenadas que resuelven el sistema (7.7), es decir,
∂f ∂x (x, y) = 0
∂f ∂y
(x, y) = 0 ,
2 x − y + 2 = 0
2 y − x − 1 = 0
⇔ (x, y) = (− 1 , 0).
Luego la cónica se reduce al punto (− 1 , 0).
7.3.2. Elipse imaginaria (tipo elíptico)
Se clasifica claramente a partir de los invariantes λ 1 · ∆ > 0 , luego no es necesario calcular nada adicional.
Ejercicio 7.3.2 Calcula los principales elementos de la cónica 2 x^2 + 2y^2 − 2 xy + 4x − 2 y + 4 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son:
A =
, A =
por tanto, δ = 3 > 0 (con λ 1 = 1, λ 2 = 3) y ∆ = 6, luego λ 1 · ∆ > 0 y se trata de una elipse imaginaria.
recta 1: Pasa por el centro y tiene como pendiente m = − 1. Por tanto, la ecuación de la primera recta es:
y =
x +
⇔ y = −x + 1
recta 2: Pasa por el centro y tiene como pendiente m =
. Por tanto, la ecuación de la primera recta es:
y =
x +
⇔ y = x 2
7.3.4. Par de rectas paralelas (tipo parabólico)
Son rectas que tienen la dirección del autovector asociado al autovalor λ = 0 y verifican la ecuación de la cónica.
Ejercicio 7.3.4 Calcula los principales elementos de la cónica x^2 +y^2 +4x− 4 y − 2 xy −5 = 0 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son:
A =
, A =
por tanto, δ = 0 y ∆ = 0, luego en este caso sabemos que se trata de una cónica de tipo parabólico degenerada, pero desconocemos el tipo (par de rectas paralelas, recta doble o par de rectas imaginarias). En cualquier caso, la dirección de las rectas será la del autovector asociado al autovalor nulo. Obtenemos en primer lugar sus autovalores: autovalores: Calculamos los autovalores de A y obtenemos:
|A − λ I| =
1 − λ − 1 − 1 1 − λ
∣∣ =^ λ^2 −^2 λ^ =^ λ(λ^ −^ 2) = 0^ ⇒^ λ 1 = 0, λ 2 = 2
autovector asociado a λ = 0: Se obtiene resolviendo el sistema: ( 1 − 1 − 1 1
x y
que es equivalente a x − y = 0,
luego el autovector asociado es ~v 1 =
. Por tanto, la/s recta/s buscada es de la forma:
x − y + a = 0 ⇔ y = x + a,
que sustituido en la ecuación de la cónica nos da:
x^2 + (x + a)^2 + 4x − 4(x + a) − 2 x(x + a) − 5 = 0 ⇔ a^2 − 4 a − 5 = 0
que es una ecuación cuyas soluciones son a = 5 y a = − 1 , ambos reales. Por tanto, hay dos rectas: x − y + 5 = 0 y x − y − 1 = 0
que verifican las condiciones anteriores. Ambas tienen la misma dirección, pero no son iguales. Se trata entonces de un par de rectas paralelas.
7.3.5. Recta doble (tipo parabólico)
Es una recta que tiene la dirección del autovector asociado al autovalor λ = 0 y verifica la ecuación de la cónica.
Ejercicio 7.3.5 Calcula los principales elementos de la cónica x^2 + 4y^2 + 4xy − 6 x − 12 y + 9 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son:
A =
, A =
por tanto, δ = 0 y ∆ = 0, luego en este caso sabemos que se trata de una cónica de tipo parabólico degenerada, pero desconocemos el tipo (par de rectas paralelas, recta doble o par de rectas imaginarias). En cualquier caso, la dirección de las rectas será la del autovector asociado al autovalor nulo. Obtenemos en primer lugar sus autovalores: autovalores: Calculamos los autovalores de A y obtenemos:
|A − λ I| =
1 − λ 2 2 4 − λ
∣∣ =^ λ^2 −^5 λ^ =^ λ(λ^ −^ 5) = 0^ ⇒^ λ 1 = 0, λ 2 = 5
autovector asociado a λ = 0: Se obtiene resolviendo el sistema: ( 1 2 2 4
x y
que es equivalente a x + 2y = 0,
luego el autovector asociado es ~v 1 =
. Por tanto, la/s recta/s buscada es de la
forma:
x + 2y + a = 0 ⇔ y = − x + a 2
que sustituido en la ecuación de la cónica nos da:
x^2 + 4
−x − a 2
−x − a 2
− 6 x − 12
−x − a 2
que es una ecuación cuya solución (doble) es a = − 3. Por tanto, hay una recta doble:
(x + 2y − 3)^2 = 0
que verifica las condiciones anteriores.
7.3.6. Par de rectas imaginarias (tipo parabólico)
Son rectas que tienen la dirección del autovector asociado al autovalor λ = 0 y verifican la ecuación de la cónica. Pero al intentar resolverla no se obtienen soluciones reales.
