Williams Mamani Quispe
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Álgebra LineaL
Practica III
Ejercicios Resueltos
II - 2023
Agradecimientos a mis padres
Claudina Quispe Alejo
Manuel Mamani Condori
La Paz - Bolivia 17 de octubre de 2023
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Espacios Vectoriales: Ejercicios Resueltos de Álgebra Lineal, Apuntes de Álgebra Lineal
Ejercicios resueltos de espacios vectoriales
Tipo: Apuntes
2022/2023
1 / 22
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Álgebra LineaL
Practica III
Ejercicios Resueltos
II - 2023
Agradecimientos a mis padres Claudina Quispe Alejo Manuel Mamani Condori
La Paz - Bolivia 17 de octubre de 2023
Espacios Vectoriales y Sub-espacios Vectoriales
Conjuntos que SI
son Espacios
Vectoriales
Recordemos que, dado un conjunto, este puede llegar a ser un espacio vectorial si cumple con los axiomas que definen a un espacio vectorial propiamente.
En los siguientes ejercicios tendremos dos conjuntos V , K y dos operaciones, la adición y la multiplicación escalar
Ejercicio 1 Demuestra que los siguientes conjuntos, con las operaciones definidas, son espacios vectoriales con campo de escalares sobre R
Ejercicio 1 (a) V =
x y
x, y ∈ R + 0
y K = R
Sean a b
c d
∈ V y α ∈ K con los que definimos las siguientes operaciones
a b
c d
ac bd
y α · a b
a α b α
Demostración. Estudiemos los axiomas
A 1. Sean x y
, p q
∈ V
, entonces x, y ∈ R + 0 y p, q ∈ R 0 +
, entonces x, y, p, q ∈ R + 0 y x y
p q
xp yq
Por la definición de la adición
, entonces x y
- p q
= xp yq
y xp , yq ∈ R + 0
, entonces x y
p q
∈ V
Por lo tanto ∀ x y
p q
∈ V ,
x y
p q
∈ V.
A 2. Sean p a
, m n
∈ V
, entonces
p q
m n
pm qn
mp nq
m n
p q
Por lo tanto ∀ p q
m n
∈ V ,
p q
m n
m n
p q
A 6. Sean α ∈ K y p q
∈ V
, entonces α ∈ K y p, q ∈ R +
, entonces p α , q α^ ∈ R +^ y α p q
= p
α q β
Por definición de multiplicación escalar
, entonces α p q
∈ V
Por lo tanto ∀ α ∈ K , ∀ p q
∈ V , α p q
∈ V.
A 7. Sean α ∈ K y a b
, m n
∈ V
, entonces
α
a b
- m n
= α am bn
= (am)
α (bn) α
= a
α m α b α n α
a α b α
m α n α
= α a b
- α m n
Por lo tanto ∀ α ∈ K , ∀ a b
m n
∈ V , α
a b
m n
= α a b
- α m n
A 8. Sean β , λ ∈ K y p q
∈ V
, entonces
( β + λ ) p q
p β + λ q β + λ
p β^ p λ q β q λ
p β q β
p λ q λ
= β p q
- λ p q
Por lo tanto ∀ β , λ ∈ K , ∀ p q
∈ V , ( β + λ ) p q
= β p q
- λ p q
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 7
A 9. Sean β , λ ∈ K y r s
∈ V
, entonces
( β · λ ) r s
= r
β · λ s β · λ
= r
λ · β s λ · β
(r λ ) β (s λ ) β
= β r
λ s λ
= β
λ r s
Por lo tanto ∀ β , λ ∈ K , ∀ r s
∈ V , ( β · λ ) r s
= β
λ r s
A 10. Sea a b
∈ V y (^1) K
, entonces
1 K
a b
a b
a^1 b^1
a b
Por lo tanto ∀ a b
∈ V , 1 K
a b
a b
Consecuentemente
V , +, R , ·
Tomemos a R^2 , pero ahora consideraremos otras operaciones que no son las usuales Ejercicio 2
V = R^2 y K = R Ejercicio 2 (a)
Sean x y
, p q
∈ V y λ ∈ K con los que definimos las siguientes operaciones
x y
p q
x + p + 1 y + q + 1
y λ · x y
λ + λ x − 1 λ + λ y − 1
Solución Estudiemos los axiomas A 1. Si se cumple la clausura de la adición, pues estamos en V = R^2
A 2. Si se cumple la conmutatividad, pues estamos en V = R^2
A 3. Si se cumple la asociatividad, pues estamos en V = R^2
A 4. Si se cumple la existencia del elemento neutro, (^0) V =
A 5. Si se cumple la existencia del elemento opuesto aditivo, dado un x y
tenemos − x y
= −^2 −^ x − 2 − y
A 6. Si se cumple la clausura de la multiplicación escalar, pues estamos en V = R^2
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 8
Conjuntos que NO
son Espacios
Vectoriales
Recordemos que, dado un conjunto, este no puede llegar a ser un espacio vectorial si no cumple con alguno de los axiomas que definen a un espacio vectorial
Nota importante: En ocasiones, los primero axiomas que debemos comprobar son
Clausura de la operación de la adición
Clausura de la operación de la multiplicación escalar
En los siguientes conjuntos, encuentra los axiomas que no se cumplen, de tal forma que estos no sean Ejercicio 3 un espacio vectorial. Las operaciones son las habituales.
V = Ejercicio 3 (a)
x y
∈ R^2
xy ≥ 0
y K = R
Solución Estudiemos los axiomas
A 1. No se cumple la clausura de la adición
∈ V , pero 2 0
∈ / V
Por lo tanto ∃ a b
m n
∈ V ,
a b
m n
∈ / V
Consecuentemente V no es un espacio vectorial
V = Ejercicio 3 (b)
x y
∈ R^2
x^2 + y^2 ≤ 1
Solución Estudiemos los axiomas
A 1. No se cumple la clausura de la adición
∈ V , pero
∈ / V
Por lo tanto ∃ a b
m n
∈ V ,
a b
m n
∈ / V
Consecuentemente V no es un espacio vectorial
V = Ejercicio 3 (d)
t + 1 2 t t − 1
t ∈ R
Solución Estudiemos los axiomas A 1. No se cumple la clausura de la adición
π + 1 2 π π − 1
√^4
∈^ V^ , pero
π + 1 2 π π − 1
√^4
/∈^ V
Por lo tanto ∃
m + 1 2 m m − 1
A + 1
2 A
A − 1
∈ V ,
m + 1 2 m m − 1
A + 1
2 A
A − 1
∈/ V
Consecuentemente V no es un espacio vectorial
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 10
0
Sub-espacios Vectoriales
Ejercicio 5 Determina si los siguientes conjuntos son sub-espacios del espacio propuesto
Ejercicio 5 (a) Sea
R^3 , +, R , ·
y V ⊆ R^3
V =
s 3 s 2 s
s ∈ R
Solución
i) (^0) R 3 ∈ V
Demostración. Sea s = 0
, entonces
∈ V
, entonces (^0) R 3 ∈ V ■
ii)
∀v, w ∈ V
∀ λ ∈ R
λ v + w ∈ V
Demostración. Sean
t 3 t 2 t
k 3 k 2 k
∈^ V^ y^ λ^ ∈^ R
, entonces
λ
t 3 t 2 t
k 3 k 2 k
λ t 3 λ t 2 λ t
k 3 k 2 k
λ t + k 3 λ t + 3 k 2 λ t + 2 k
λ t + k 3 ( λ t + k) 2 ( λ t + k)
p 3 p 2 p
, entonces λ
t 3 t 2 t
k 3 k 2 k
∈ V ■
Por lo tanto
V , +, R , ·
R^3 , +, R , ·
Ejercicio 7 ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son sub-espacios de R n^ , las operaciones son la habituales
Ejercicio 7 (a) V =
x 1 .. . xn
∈^ R
n
∀i ∈ N n
xi ≥ 0
^ y^ K^ =^ R
Solución
i) (^0) R n ∈ V
Demostración. Sea x 1 = 0 , · · · , xn = 0
, entonces
.. . 0
∈^ V
, entonces (^0) R n ∈ V ■
ii)
∃v, w ∈ V
∃ λ ∈ K
λ v + w ∈/ V
Demostración.
.. . 1000 666
.. . 4 4
∈ V y − 7 ∈ K
− 7
1000 .. . 1000 666
+
4 .. . 4 4
=
− 972 .. . − 972 − 638
, pero − 7
.. . 1000 666
.. . 4 4
∈/ V ■
Por lo tanto V no es un sub-espacio de R n
Ejercicio 7 (b) V =
x 1 .. . xn
∈^ R
n
(^) n
i= 1
xi = 0
y K = R
Solución
i) (^0) R n^ ∈ V
Demostración. Sea x 1 = 0 , · · · , xn = 0
, entonces
.. . 0
∈^ V
, entonces (^0) R n ∈ V ■
ii)
∀v, w ∈ V
∀ β ∈ K
β v + w ∈ V
Demostración. Sea
x 1 .. . xn
w 1 .. . wn
∈^ V^ y^ β^ ∈^ K
, entonces
n
i= 1
xi = 0 y
n
i= 1
wi = 0 y β ∈ K
, entonces β
n
i= 1
xi = 0 y
n
i= 1
wi = 0
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 13
, entonces
n
i= 1
( β xi) = 0 y
n
i= 1
wi = 0
, entonces
n
i= 1
( β xi + wi) = 0
, entonces
n
i= 1
( β xi + wi) = 0 y β
x 1 .. . xn
w 1 .. . wn
β x 1 + w 1 .. . β xn + wn
, entonces β
x 1 .. . xn
w 1 .. . wn
∈^ V^ ■
Por lo tanto
V , +, R , ·
R n, +, R , ·
V = Ejercicio 7 (c)
x 1 .. . xn
∈^ R
n
(^) n
i= 1
xi = 1
^ y^ K^ =^ R
Solución
i) (^0) R n^ ∈/ V
Demostración. Supongamos que (^0) R n ∈ V
, entonces
.. . 0
∈^ V
, entonces
.. . 0
∈^ V^ y
.. . 0
∈^ V
, entonces x 1 = 0 , · · · , xn = 0 y
n
i= 1
xi = 1
, entonces
n
i= 1
xi = 0 y
n
i= 1
xi = 1
, entonces 0 = 1
, entonces hay una contradicción ■
ii)
∃v, w ∈ V
∃ β ∈ K
β v + w ∈/ V
Demostración.
.. . 0
.. . 0
∈ V y π ∈ K
, pero π
.. . 0
.. . 0
∈ / V ■
Por lo tanto V no es un sub-espacio de R n
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 14
¿Para qué valores de k los siguientes conjuntos son Linealmente Independientes? Ejercicio 9
Sea Ejercicio 9 (a)
R^2 , +, R , ·
k
−k − 1
Solución Encontremos la soluciones ( x 1 , x 2 ) de la siguiente expresión
1 k
x 1 + −k − 1
x 2 =
x 1 − kx 2 kx 1 − x 2
, entonces obtenemos
x 1 − kx 2 = 0 kx 1 − x 2 = 0
, entonces Si k ̸= 1 y k ̸= − 1
( x 1 , x 2 ) = (0, 0) es la única solución
, entonces
k
, −k − 1
es LI
Sea Ejercicio 9 (b)
R^3 , +, R , ·
k 1
k 1 1
Solución Encontremos la soluciones ( x 1 , x 2 , x 3 ) de la siguiente expresión
x 1 +
k 1
x 2 +
k 1 1
x 3 =
x 1 + x 2 + kx 3 x 1 + kx 2 + x 3 −x 1 + x 2 + x 3
, entonces obtenemos
x 1 + x 2 + kx 3 = 0 x 1 + kx 2 + x 3 = 0 −x 1 + x 2 + x 3 = 0
, entonces
1 1 k 1 k 1 − 1 1 1
= (k + k − 1 ) − (−k^2 + 1 + 1 )
= k^2 + 2 k − 3 = (k + 3 )(k − 1 )
, entonces Si k ̸= − 3 y k ̸= 1
( x 1 , x 2 , x 3 ) = (0, 0, 0) es la única solución
, entonces
k 1
k 1 1
es LI
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 16
2
Espacio Generado
Ejercicio 10 Determina si los siguientes conjuntos determinan espacios vectoriales iguales
Ejercicio 10 (a) Sean
R^3 , +, R , ·
y
W , +, R , ·
W =
Solución Debemos demostrar una igualdad de espacios, a través de la igualdad de conjuntos
I ) W ⊆ R^3
Dem. Definición de espacio generado ■
II ) R^3 ⊈ W
Dem.
∈ R (^3) y
/∈ W ■
Por lo tanto
R^3 , +, R , ·
W , +, R , ·
3
Bases
Ejercicio 12 Calcula una base y la dimensión para los siguientes espacios
Ejercicio 12 (a) Sea
V , +, R , ·
V =
Solución Sea
a b c
∈^ V
, entonces ∃ α , β , γ , θ ∈ R
a b c
=^ α
+^ β
+^ γ
+^ θ
α + 2 β + 3 γ + 2 θ − 2 α − β − 3 γ + θ 3 α + 4 β + 3 γ
, entonces
α + 2 β + 3 γ + 2 θ = a − 2 α − β − 3 γ + θ = b 3 α + 4 β + 3 γ = c
, entonces
1 2 3 2 a − 2 − 1 − 3 1 b 3 4 3 0 c
, entonces la matriz escalonada por pivotes es
4 0 0 − 8 − 2 b + c − 3 a 0 4 0 4 a + 2 b + c 0 0 12 8 5 a − 2 b − 3 c
, entonces ( α , β , γ , θ ) =
− 2 b + c − 3 a 4
- 2 θ , a + 2 b + c 4 − θ , 5 a − 2 b − 3 c 12
θ , θ
, entonces Si tomamos la solución ( α , β , γ , θ ) = ( α , β , γ , 0 ) tenemos
a b c
= α
+ β
+ γ
, entonces
es una base para^ V
Sea Ejercicio 12 (c)
V , +, R , ·
V =
Solución Sea
a b c d
∈ V
, entonces ∃ α , β , γ , θ ∈ R
a b c d
=^ α
+^ β
+^ γ
+^ θ
α + 2 β + 4 γ + 7 θ − α − 2 γ − 3 θ α + 2 γ + 3 θ − α + β + γ − θ
, entonces
α + 2 β + 4 γ + 7 θ = a − α − 2 γ − 3 θ = b α + 2 γ + 3 θ = c − α + β + γ − θ = d
, entonces
1 2 4 7 a − 1 0 − 2 − 3 b 1 0 2 3 c − 1 1 1 − 1 d
, entonces la matriz escalonada por pivotes es
2 0 0 6 a + b − 2 d 0 4 0 8 3 a + 5 b − 2 d 0 0 0 0 c + b 0 0 4 0 −a − 3 b + 2 b
, entonces Si c + b = 0
( α , β , γ , θ ) =
a + b − 2 d 2 − 3 θ , 3 a + 5 b − 2 d 4 − 2 θ , −a − 3 b + 2 b 4 , θ
, entonces Si tomamos la solución ( α , β , γ , θ ) = ( α , β , γ , 0 ) tenemos
a b −b d
=^ α
+^ β
+^ γ
, entonces
es una base para V
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 20