TAREA IV ´
ALGEBRA SUPERIOR I DIANA AVELLA ALAMINOS
1. Consideremos el conjunto R2,con la suma ¢:R2×R2→R2y el producto
por escalar ¡:R×R2→R2definidos como sigue:
a.(x, y)¢(z, w ) = (x+z, y +w), λ ¡(x, y) = (λx, y)
b.(x, y)¢(z, w ) = (x−z, y −w), λ ¡(x, y) = (−λx, λy)
c.(x, y)¢(z, w ) = (x+z, 0), λ ¡(x, y ) = (λx, 0)
para (x, y),(z, w )∈R2yλ∈R.En cada caso analiza cu´ales de las 8
propiedades de espacio vectorial se cumplen para ¡R2,¢,¡¢y determina si
se trata de un espacio vectorial.
2. Da un ejemplo de φ6=U⊆R2de modo que Ues cerrado bajo la adici´on
y bajo inversos aditivos pero Uno es subespacio de R2.
3. Determina cu´ales de los siguientes subconjuntos de los correspondientes
Rnson subespacios:
a.©(x, y, z)∈R3|x+y+z=−xª
b.©(x, y, z)∈R3|y≥0ª
c.©(x, y, z)∈R3|xyz = 0ª
d.©(x, y, z, w )∈R4|x+y+ 3z−1 = −7ª
e.©(x, y, z)∈R3|zes racionalª
4. Prueba que en un espacio vectorial, si w1∈ hw2, w3, ..., wmientonces
hw1, w2, w3, ..., wmi=hw2, w3, ..., wmi
5. Encuentra tres vectores en R3tales que formen un conjunto linealmente
dependiente pero que cualesquiera dos de ellos formen un conjunto linealmente
independiente.
6. Determina si los siguientes conjuntos son linealmente independientes:
a) {(1,2,4) ,(0,0,3) ,(0,1,7)}.
b) {(2,1,1) ,(−1,1,1) ,(1,0,0)}.
7. ¿Para qu´e valores de kes{(3k, 2),(−k, k + 1)}linealmente independiente?
8. Encuentra bases para los siguientes subespacios de R3y determina su
dimensi´on:
a. El plano 3x−2y+ 5z= 0.
b. El plano x−y= 0.
c. La recta x= 2t, y =−t, z = 4t, t ∈R.
d. Todos los vectores de la forma (a, b, c) con b=a+c.
9. Sean A=
−1 4
2 7
0 5
,B=µ−2 1
−1 4 ¶, C =µ3 3 1
4−3−2¶,
D=
0 5 −6
1 2 −1
6−2 3
, E =µ9
1¶.Calcula: B(−2C)Dt+BAt−(AEEt)t.
10. Una matriz cuadrada Aes diagonal si todos los elementos que est´an
fuera de la diagonal principal son cero (Aij = 0 si i6=j). Demuestra que el
producto de matrices diagonales es cerrado.
11. Una matriz cuadrada Aes triangular superior si Aij = 0 para i>j.
Demuestra que el producto de matrices triangulares superiores es cerrado.
