¡Descarga Espacios vectoriales: Comprobación de dependencia lineal de conjuntos de vectores - Prof. y más Ejercicios en PDF de Comunicación Audiovisual solo en Docsity!
Capítulo 7
Espacios vectoriales
Dado un espacio vectorial V , y un conjunto de vectores u 1 , u 2 , · · · , un, sabemos que son linealmente dependientes si existen escalares no nulos a 1 , a 2 , · · · , an tales que a 1 u 1 + a 2 u 2 + · · · + anun = 0. Por tanto, comprobar si un conjunto de vectores es linalemente dependiente o independiente se reduce a resolver un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, vamos a ver si los vectores u 1 = (3, − 1 , 4 , 2), u 2 = (2, 4 , 3 , −3), u 3 = (1, 3 , 2 , 5) y u 4 = (1, − 5 , 1 , 5). (%ixx) u1:[3,-1,4,2]$ u2:[2,4,3,-3]$ u3:[1,3,2,5]$ u4:[1,-5,1,5]$ (%ixx) solve(a1u1+a2u2+a3u3+a4u4,[a1,a2,a3,a4]); solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[a1=-%r,a2=%r,a3=0,a4=%r]] Lo que nos dice que hay solución. Una podría ser a 1 = 1, a 2 = − 1 , a 3 = 0, a 4 = 0. Por tanto los vectores son linealmente dependientes. Eso significa que uno de los vectores es combinación lineal del resto. Eso podemos comprobarlo a partir de la solución que nos ha dado. Pero también (%ixx) solve(b2u2+b3u3+b4u4-u1,[b2,b3,b4]); solve(c1u1+c3u3+c4u4-u2,[c1,c3,c4]); solve(d1u1+d2u2+d4u4-u3,[d1,d2,d4]); solve(e1u1+e2u2+e3u3-u4,[e1,e2,e3]); solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[b2=1,b3=0,b4=1]] solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[c1=1,c3=0,c4=-1]] (%oxx) [] solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[e1=1,e2=-1,e3=0]] Y vemos como el primero, el segundo y el cuarto son combinación lineal del resto, mientras que el tercero no lo es. También, para saber si son linealmente dependientes o independientes, podemos calcular el rango de la matriz formada por los vectores. (%ixx) A:matrix([3,-1,4,2],[2,4,3,-3],[1,3,2,5],[1,-5,1,5]$ rank(A); (%oxx) 3 Lo que nos dice que hay tres vectores linealmente independientes, y el cuarto es combinación lineal del resto. Pero no sabemos qué tres son linealmente independientes. Ahora sabemos por lo que hemos hecho antes, que pueden ser primero, segundo y tercero, primero, tercero y cuarto, o segundo, tercero y cuarto. Tomamos ahora los vectores u 1 , u 2 y u 3 , que sabemos que son linealmente independientes. Vamos a comprobar si el vector v = (1, 2 , 1 , 3) es combinación lineal de estos tres vectores. (%ixx) v:[1,2,1,3]$ solve(a1u1+a2u2+a3*u3-v,[a1,a2,a3]); (%oxx) [] Y como vemos que no lo es, tenemos que los vectores u 1 , u 2 , u 3 , v son linealmente independientes. Como tenemos cuatro vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión cuatro, tenemos una base de Q^4.
Vamos a trabajar ahora en (Z 5 )^5. Para eso, primero modificamos el valor de la variable modulus. (%ixx) modulus:5$ Tomamos los vectores u 1 = (1, 2 , 0 , 1 , 1), u 2 = (3, 1 , 2 , 1 , 0), u 3 = (1, 1 , 0 , 1 , 2), u 4 = (3, 2 , 4 , 4 , 1). (%ixx) u1:[1,2,0,1,1]$ u2:[3,1,2,1,0]$ u3:[1,1,0,1,2]$ u4:[3,2,4,4,1]$ Comprobamos si son linealmente dependientes o independientes. (%ixx) solve(a1u1+a2u2+a3u3+a4u4,[a1,a2,a3,a4]); solve: dependent equations eliminated: (4 5) (%oxx) [[a1=2%r,a2=-2%r,a3=%r,a4=%r]] Lo que nos dice que son linealmente dependientes, y que cualquiera es combinación lineal del resto. Nos quedamos entonces con u 1 , u 2 , u 3. Vamos a ampliar el conjunto {u 1 , u 2 , u 3 } a una base de (Z 5 )^5. Elegimos otro vector u 4. (%ixx) u4:[1,1,2,0,1]$ solve(a1u1+a2u2+a3u3-u4,[a1,a2,a3]); (%oxx) [] Y como u 4 = (1, 1 , 2 , 0 , 1) no es combinación lineal de u 1 , u 2 , u 3 tenemos que {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } son vectores linealmente independientes. Probamos ahora con un quinto vector u 5. (%ixx) u5:[2,1,0,3,0]$ solve(a1u1+a2u2+a3u3+a4*u4-u5,[a1,a2,a3,a4]); (%oxx) [] Y, al igual que antes, u 5 = (2, 1 , 0 , 3 , 0) no es combinación lineal de u 1 , u 2 , u 3 , u 4. Por tanto, el conjunto de vectores B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } es linealmente independiente. Tenemos entonces una base de (Z 5 )^5. La matriz del cambio de base de B a la base canónica es la matriz cuyas columnas son los vectores de B en la base canónica. (%ixx) A:transpose(matrix(u1,u2,u3,u4,u5))$ La matriz del cambio de base de la base canónica a B es la inversa de A. (%ixx) B:rat(invert(A));
(%oxx)/R/
Supongamos que tenemos el vector cuyas coordenadas en la base B son (1, 2 , 1 , 1 , 3). ¿De qué vector estamos hablando?. Para calcularlo, podemos calcular el vector v = 1 · u 1 + 2 · u 2 + 1 · u 3 + 1 · u 4 + 3 · u 5. O podemos multiplicar
la matriz del cambio de base de B a la base canónica por el vector columna
(%ixx) c:transpose(matrix([1,2,1,1,3]))$ (%ixx) rat(u1+2u2+u3+u4+3u5); rat(A.c); (%oxx)/R/ [0,-1,1,-2,-1]
(%oxx)/R/
Y vemos como nos sale el vector v = (0, − 1 , 1 , − 2 , −1) = (0, 4 , 1 , 3 , 4). Si ahora quisiéramos calcular las coordenadas del vector (1, 1 , 1 , 1 , 1) en la base B tendremos que multi- plicar por la matriz del cambio de base de la base canónica a B. (%ixx) c:transpose(matrix([1,1,1,1,1]))$ rat(B.c);
(%oxx)/R/
Lo que nos dice que (1, 1 , 1 , 1 , 1) = −u 2 + u 3 − u 4 + 2 · u 5.
