Ejercicios de Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales, Dependencia Lineal y Determinantes, Ejercicios de Álgebra Lineal

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Ejercicio 1: conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.

A. Definición y propiedades de los espacios vectoriales

Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de espacios vectoriales.

i. U+V=V+U

u + v =¿

v + u =( 9 +(− 1 ) , − 3 +(− 2 ) , − 4 + 4 )=( 8 , −5,0)

ii. U+(-U) =(-U) +U=

u +(− u )=(− 1 , −2,4)+(− 1 )(− 1 , −2,4)

(− u )+ u = 0 =(− 1 ) (− 1 , −2,4 ) +(− 1 , −2,4)

iii. U+(V+W) = (U+V) + W

u +( v + w )

u +( 9 +(− 3 ) , (− 3 )+ 6 ) , (− 4 )+(− 1 )¿=(6,3 , − 5 )

(− 1 , −2,4)+(6,3 , − 5 )

¿((− 1 )+ 6 , (− 2 )+3,4+(− 5 ))

¿(5,1 , − 1 )

( u + v )+ w

( u + v )+ w =((− 1 )+ 9 , (− 2 )+(− 3 ) , 4 +(− 4 ))+ w

c 2 + 4 c 3 = z

Donde su matriz aumentada es:

x y z

Realizando gauss Jordan

x y z f 2 → f 2 − f 1

x y − x z

f 3 → 2 f 3 − f 2

x y − x 2 z − y + x

En este punto se puede observar que sea cual sea el valor que

tome x,y,z existirán constantes por lo tanto se cumple.

c 1 (

0 )

• c 2 (

1 )

• c 3 (

4 )

(

x y z )

Por lo tanto el conjunto R se genera a R

DETERMINAR SI EL CONJUNTO S ES LINEALMENTE DEPENDIENTE

S ={(−2,6) , ( 4 , − 12 )}

C (^1) (−^2 6 )

• C (^2) ( 4 − 12 )

=(^0 0 )

C (^1) (−^2 C^^1 6 C 1 )

• C (^2) ( 4 C^^2 − 12 C 2 )

=(^0 0 )

(

− 2 C 1 + 4 C 2

6 C 1 − 12 C 2 )

=(^0 0 )

− 2 C 1 =− 4 C 2

Reemplazamos:

6 C 2 ( 2 )− 12 C 2 = 0

12 C 2 − 12 C 2 = 0

Si concluye que C2 puede tomar cualquier valor y si C1 es el

doble de C2 se cumplirá que:

C (^1) (−^2 6 )

• C (^2) ( 4 − 12 )

=(^0 0 )

Como c1 y c2 pueden tomar valores diferente de 0 se concluye

que el conjunto S es linealmente independiente.

Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.

A =

(

)

F 2 → F 2 ∗ 1 / 4

A =

(

)

F 4 → F 4 + 3 ∗ F 2

A =

(

)

F 4 → F 4 ∗ 1 / 8

A =

(

)

F 1 → F 1 − F 4

F 3 → F 3 + F 4

A =

(

)

RANGO ( A ) = 4

2. METODO DETERMINANTES

A =

(

)

DetA = 1 ∗

detA = 0 4 − 3 8

+ 4 −^6

− 4 ∗^5

+ 3 −^7 −^6

detA = 7 +( 32 − 18 )− 160 + 3 (− 28 + 30 )

detA = 7 + 14 − 160 + 6 Det A =− 133 ≠ 0

Como el det A^ ≠^^0 entonces^ las^^4 filas^ de^ lamatriz^ son^ linealmente^ independientes^ por^ lo^ tanto rango = 4

3. c^^1

• c 2

• c 3

• c 4

(

c 1 − 7 c 2 5 c 3 0 0 4 c 2 0 − 3 c 4 c 1 − c 2 c 3 0 0 − 6 c 2 4 c 3 8 c 4

)

c 1 − 7 c 2 + 5 c 3 = 0 1 4 c 2 − 3 c 4 = 0 2 − c 2 + c 3 = 0 3 − 6 c 2 + 4 c 3 + 8 c 4 = 0 4 De 3 obtenemos: c 2 = c 3 5 Reemplazando 5 en 4

− 6 c 2 + 4 c 2 + 8 c 4 = 0 − 2 c 2 + 8 c 4 = 0 2 c 2 = 8 c 4 c 2 = 4 c 4 6

reemplazamos 6 en 2

4 ( 4 c 4 )− 3 c 4 = 0 16 c 4 − 3 c 4 = 0 13 c 4 = 0 c 4 = 0 De 6 c 2 = 4 ( 0 ) De 5

c 3 = 0 reemplazamos los valores de c2, c3 en 1

| u ⃗ x ⃗ v |^2 =|⃗ u |^2 |⃗ v |^2 −|⃗ u |^2 ∗|⃗ v |^2 ∗cos^2 θ

Factorizamos

| u ⃗ x ⃗ v |^2 =|⃗ u |^2 |⃗ v |^2 (^1 −cos^2 θ )

Aplicamos identidad trigonométrica (^) sin^2 θ + cosθ^2 = 1

| u ⃗ x ⃗ v |^2 =|⃗ u |^2 |⃗ v |^2 sin^2 θ

Sacamos raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y demostramos que la norma de

u ⃗ x ⃗ v es igual a la norma | u ⃗||⃗ v | sinθ

| u ⃗ x ⃗ v |=|⃗ u ||⃗ v | sinθ

RETROALIMENTACION COMPAÑERO

EJERCICIO 3

a) 1. Determinar si el conjunto s genera a R^3 : s ={(−1,1,6) , ( 2 , − 2 , − 12 ) , (1,2,0)}

( a , b , c )= x (−1,1,6)+ y ( 2 , − 2 , − 12 )+ z (1,2,0)

(− x + 2 y + z , x − 2 y + 2 z , 6 x − 12 y )

− x + 2 y + z = a x − 2 y + 2 z = b 6 x − 12 y = c

(

0 6 − 12 |

a b c |)

f 1 − 1

= f 1 (

0 6 − 12 |

− a b c |)

f 2 − 1 ∗ f 1 = f 2 (

0 6 − 12 |

− a a + b c |)

f 3 ↔ f 2

0 0 3 |^

− a c

a + b |)

f 2 / 6 = f 2

0 0 3 |^

− a c 6 a + b

f 3 / 3 = f 3

− a c 6 a + b 3

f 2 −(− 2 )∗ f 3 = f 2

− a 4 a + 4 b + c 6 a + b 3

f 1 −(− 1 )∗ f 3 = f 1

− 2 a + b 3 4 a + 4 b + c 6 a + b 3

f 1 −(− 2 )∗ f 2 = f 1

2 a + 5 b + c 3 4 a + 4 b + c 6 a + b 3