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Sistema de ecuaciones lineales, Rectas y planos Ejercicio 1: conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro un Mapa conceptual que ilustre los siguientes conceptos: e) Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna de una matriz. Ejercicio 2: Axiomas y propiedades de espacios vectoriales. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado en el ejercicio
e) Dados los vectores 𝑢 = (−8, 2, 8), 𝑣 = (1, 8, −5) y 𝑤 = (-6, 8, 4) verifique si se cumple los axiomas: i) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 (− 8 +1,2+ 8,8− 5 ) =( 1 −8,8+ 2 , − 5 + 8 ) (−7,10,3) =(−7,10,3) IGUALDAD ii) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0 ((− 8 )+ 8,2+(− 2 ) , 8 +(− 8 ))=( 8 +(− 8 ) , (− 2 )+ 2 , (− 8 )+ 8 )
( 0,0,0) =( 0,0,0) IGUALDAD
iii) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + w
(−^8 +(−^5 )^ ,^^2 +16,8+(−^1 ))=( −^7 +(−^6 ) ,^^10 +8,3+^4 )
(−13,18,7) =(−13,18,7) IGUALDAD
Ejercicio 3: Conjuntos generadores y Dependencia lineal. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente. e)
Se deduce que el conjunto genera únicamente al espacio que cumpla la condición de z-5x-2y= Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. e) Dada la siguiente matriz: E =
1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán. A F1 le restamos F2;
Se deduce que el rango de la matriz es 2, ya que es el número de filas no nulas.
2. Calcular el rango por el método de determinantes.
Se debe encontrar una matriz cuadrada de orden mayor para determinar su rango. Deducimos la siguiente: M (^) 3 x 3 =
0 0 0 ⟧^
Cuyo determinante es igual a 1 ( 0 )− 1 ( 0 ) + 1 ( 0 ) = 0 0 ≠ 0 Dado que la matriz 3x3 da un determinante de igual a cero, se realiza nuevamente el calculo del determinante pero esta vez seleccionando una matriz 2x M (^) 2 x 2 =
0 1 ⟧^
Cuyo determinante es igual a 1 ( 1 )− 1 ( 0 )= 1 − 0 = 1 1 ≠ 0 Por lo tanto, el rango de la matriz es 2.
3. Indique si existe dependencia o independencia lineal. Al solucionar el sistema se observan que los renglones no son independientes, por lo tanto, el sistema tiene más de una solución y existe dependencia lineal. Descripción del ejercicio 5.
Con todos los procesos anteriormente solucionados se puede obtener la expresión total del lado derecho de la igualdad || u + w || 2 −|| u || 2 −|| w || 2 = A 2
- 2 AR + R 2
- B 2
- 2 BS + S 2
- C 2
- 2 CT + T 2
−(^ A
2
−( R
2
- S 2
- T 2 ) || u + w || 2 −|| u || 2 −|| w || 2 = A 2
- 2 AR + R 2
- B 2
- 2 BS + S 2
- C 2
- 2 CT + T 2 − A 2 − B 2 − C 2 − R 2 − S 2 − T 2 || u + w || 2 −|| u || 2 −|| w || 2 = 2 AR + 2 BS + 2 CT Remplazando en la igualdad original y revisamos si se cumple esta misma 2 ( u. w )=( 2 AR + 2 BS + 2 CT ) || u + w || 2 −|| u || 2 −|| w || 2 = 2 AR + 2 BS + 2 CT 2 ( u. w )=|| u + w || 2 −|| u || 2 −|| w || 2 2 AR + 2 BS + 2 CT = 2 AR + 2 BS + 2 CT Comprobando la expresión con las igualdades.
