¡Descarga Análisis Vectorial: Coordenas en diferentes bases y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Tema 5
Espais Vectorials
5.0. - Introducció.
La noció “espai vectorial” permet tractar unificadament situacions molt diferents,referint-les a un model especialment simple, de manera que les operacions i càlculs puguin reduir-se a les anàlogues en el model. Per exemple, el model
3 = x x = ( x , y , z ); x , y , z
permet tractar conjuntament els casos següents (i més en general, tots els espaisvectorials sobre , de dimensió 3, com veurem). El punt clau és representar els objectes considerats en cada cas mitjançant 3 nombres reals, de manera que cada objecte potidentificar-se amb un element del model 3.
(0) Els punts de l’espai ordinari. (1) Les magnituds vectorials habituals: forces, velocitats, acceleracions, ... (2) Els polinomis de grau 2 (o menor). (3) Les matrius 2x2 simètriques. (4) Els modes de vibració del sistema mecànic.
(5) Les configuracions d’una estructura porticada de 3 plantes.
(6) Les formes de col·lapse d’un puntal vertical d’una prestatgeria metàl·lica. (7) Les configuracions elèctriques (corrents, tensions, ...) d’una xarxa de la forma
segons els consums i les generacions en cada branca. (8) Les successions ( a 1 (^) , a 2 ,, ak ,)que compleixen la relació de recurrència a (^) k 3 2 a (^) k 2 ak 1 2 a k (9) Els colors: és il·lustratiu el funcionament de les impressores de fotos senzilles, peraplicació successiva de 3 tintes.
(10) Les composicions de la dieta bàsica (proteïnes, greixos, carbohidrats). (11) En el model de Jukes-Cantor sobre transformacions de cadenes de ADN, lesproporcions dels nucleòtids bàsics (adenina, citosina, guanina, timina).
(12) Les poblacions en els models poblacionals de Leslie, quan es consideren 3 cohortsd’edat. Per exemple, en el conegut estudi del mussol americà: joves, subadults, adults. (13) En l’evolució d’ecosistemes, quan es consideren cadenes simples com ara herba /herbívor / carnívor.
Observacions – (1) Sovint en hem de restringir a una regió de l’espai vectorial. Per exemple, on siguinpositives determinades magnituds (poblacions, masses, ...).
(2) Quan en l’exemple (7) considerem corrents alterns, el model de referència ésque aleshores les magnituds elèctriques es representen per nombres complexos (en ℂ^3 , ja lloc de reals, vàlids per corrents continus). Igualment es generalitzen aexemples (2), (3), ... ℂ^3 els
5.1, ... , 5.4. - Espais vectorial: definicions i exemples.
Def. – Considerem un “cos” d’escalars (o coeficients) ; habitualment = ó ℂ un conjunt de “vectors“una suma de vectors E un producte d’un escalar per un vector Es diu que E és un espai vectorial sobre sii: u ( v w )( u v ) w u , v , w E
(3.2) les funcions: f : n^ m^ així com els subconjunts de les contínues, derivables, ...
Obs. –cas. Per exemple, les “sumes”: Les operacions poden tenir significats o interpretacions ben diferents en cada
de vectors: regla del paral·lelogramde funcions: suma d’ordenades per a cada abscissa. de colors: superposició de tintes En cada cas cal verificar l’associativitat, commutativitat, etc.
Def.- En les condicions anteriors, un vector de la forma
1 v 1 s v s
se’n diu combinació lineal dels v 1 ,, vs amb coeficients 1 ,, s.
Obs. – En les combinacions lineals no cal especificar l’ordre de les operacions gràcies ales propietats de commutativitat, associativitat i distributivitat en la definició anterior.
Exemples i aplicacions.- (1) Tot polinomi és combinació lineal dels monomis 1 , t , t^2 , , tn , (2) Cinemàtica i dinàmica de masses. (2.1) Si en els punts x (^) 1 ,, xs de 3 hi ha concentrades masses puntuals m 1 (^) ,, ms respectivament, el centre de masses del sistema ve donat per la combinació lineal mM 1 (^) x 1 mMs (^) x s on M m 1 ms (2.2) Si la velocitat dels punts anteriors és x 1 (^) ,, x s , la quantitat de moviment del sistema és m 1 x ^1 ms x s (2.3) Si l’acceleració dels punts anteriors és x ^ (^) 1 ,, x s , la força d’inèrcia del sistema és m 1 x 1 ms x s
(3) Models de dieta. Suposem que una dieta contempla la ingesta diària de m 1 (^) ,, ms grams de s aliments, i suposem que cadascun conté p (^) i , gi , ci grams de proteïnes, greixos i carbohidrats per cada gram de l’aliment corresponent, i 1 , s. Aleshores, la ingesta diària dels components bàsics esmentats ve donada per la combinació lineal m 1 v 1 ms v s on vi ( pi , gi , ci )^3 , 1 i s. (4) Estats consecutius en un sistema discret de control. (4.1) Considerem el sistema discret de control
x ( k 1 ) Ax ( k ) bu ( k ); A b
on u ( 0 ), u ( 1 ), indiquen els controls externs aplicats en cada pas. Si partim de l’estat inicial x ( 0 ) 0 , els estats consecutius venen donats per les combinacions lineals:
x A x b u u u u u
x A x b u u u u
x A x b u u u
x A b u u
(4.2) Per exemple, si u ( k ) ( 2 ) k ( 0 , 2 , 4 , 8 ,), serà
que té solució única 1 2 3 0
(3’) A la mateixa conclusió s’arriba d’igualar a 0 els coeficients (terme independent,coeficient de 1r grau, ídem. de 2n grau) en l’expressió inicial:
(4) Vegem que 1 , sin t ,cos t ,sin 2 t ,cos 2 t de (^) C ( ) són l.i. Suposem:
1 2 sin t 3 cos t 4 sin 2 t 5 cos 2 t 0
Avaluant en t 0 , ^2 , i 3 ^2 , obtenim:
Per tant: 1 2 3 5 0.
Resulta: 4 sin 2 t 0. Que obliga a: 4 0.
Obs.- (1) Un “símil futbolístic”:- jugadors generen cobreixen tot el camp
- jugadors l.i. no es solapen (2) Veurem de seguida mètodes simples (càlcul de “rangs” mitjançant “pivot”) perverificar la condició de l.i. i de generadors, vàlids quan prèviament es coneix una “base” de l’espai vectorial. Rarament, doncs, caldrà fer comprovacions directes comen els exemples anteriors.
Prop. – Essent u (^) 1 , , us vectors de E , propietats característiques de l.i./l.d. són:
(1) u 1 , , us l.i. 1 u 1 s us 1 u 1 s us
només si 1 1 , , s s
(2) u 1 , , us l.d. 0 1 u 1 s us , amb algun i 0
(2’) u (^) 1 , , us l.d. algun u (^) i és combinació lineal dels altres Exem. – Apliquem-la per confirmar que els vectors v 1 (^) , v 2 , v 3 de l’exemple (1) anterior són l.d.:
(2) v 1 v 2 v 3 0 (2’) v 3 (^) v 1 v 2
5.7, 5.8. - Bases. Coordenades.
Tenint en compte (1) de la proposició anterior, les dues condicions de la definiciósegüent són efectivament equivalents:
Def. – Essent u (^) 1 ,, un vectors de E , (1) ( u (^) 1 , , un ) base de E generen E i són l.i.
v E únics (!) 1 ,, n t.q.: v 1 v 1 n vn
(2) Aleshores 1 ,, n s’anomenen les coordenades de v en la base ( u 1 , , un ). En
forma matricial: n^ T n
Mat (^) u un ( v ) ( 1 ) 1
( 1 , , ) ^
^
(3) Anàlogament, la matriu dels vectors v 1 (^) , , vs en la base ( u 1 (^) , , un )es defineix per:
on cada columna són les coordenades del vector corresponent en la base ( u 1 (^) ,, un ).
Exem. – (1) Continuant l’exemple anterior, ( v 1 (^) , v 2 , v 4 ) i ( v 1 (^) , v 3 , v 4 ) són bases de 3. Si v ( 2 , 2 , 3 ), tenim:
Mat (^) ( v 1 , v 2 , v 4 )( v ) Mat ( v 1 , v 3 , v 4 ) v
(1’) També ho és ( v (^) 2 , v 3 , v 4 ), i:
(3) També és igualment fàcil verificar que ( 1 , t , t^2 ,, tn )és una base de (^) n [t]. (3’) Les coordenades en aquesta base d’un polinomi P ( t ) n [t] són precisament els seus coeficients. (4) També que una base de M (^) mxn ( ) és:
m E E En
(4’) Les coordenades en aquesta base d’una matriu
m m m n
n a a a
a a a A
1 2
11 12 1
són els seus elements a (^) 11 , a^12 ,, anm. (5) En 2 , considerem: e 1 (^) ( 1 , 0 ), e (^) 2 ( 0 , 1 ), u 1 (^) ( 1 , 1 ), u (^) 2 ( 1 , 1 ). El quadre següent recull les matrius de coordenades en diferents bases d’algunsd’aquests vectors, així com les d’un vectors genèric (a,b) :
(6) Les coordenades (x, y) d’un punt de 2 en la base natural ( e 1 (^) , e 2 ), i les ( x , y )en una altra base ( u 1 (^) , u 2 )s’interpreten geomètricament a la figura següent:
Base ( e 1 , e 2 ) Base ( e 2 , e 1 ) Base ( u 1 , u 2 ) e 1 (^) 01 10 1122 u (^) 2 ^11 11 10
( a , b ) ba b a
a^2 b
a b
(6’) També es pot pensar com si un vehicle es pogués desplaçar al llarg d’una viarectilínia formant un angle a l’eix d’abscisses cartesianes, i disposés d’un braç telescòpic que formés un angle respecte a la via:
Per designar la posició de punt P en l’extrem del braç, més que no pas lescoordenades cartesianes habituals (x, y) , sembla més intuïtiu emprar les ( x , y ):
Les cartesianes poden calcular-se a partir d’aquestes mitjançant
sin sin( )
cos cos( )
y D L
x D L
(7) En E M 2 ( ), calculem les coordenades de la matriu A en la base ( M (^) 1 , M (^) 2 , M (^) 3 , M (^) 4 ), essent: A (^) 31 42 ; M (^) 1 (^) 01 01 , M (^) 2 (^) 11 00 , M (^) 3 (^) 01 10 , M 4 (^) 10 01 Plantegem: A 1 M 1 2 M 2 3 M 3 4 M 4
Obs. – (1) Un mateix vector té diferents coordenades en bases diferents. En particular, cal tenirpresent l’ordre dels vectors de la base (vegeu l’exemple 5 anterior).
(2) Vectors diferents han de tenir coordenades diferents en una mateixa base, peròpoden coincidir si per cadascun considerem bases diferents.
(2’) En particular, per tota base ( u 1 (^) , , un )és: T Mat (^) ( u (^) 1 ,, un )( u 1 )( 1 0 0 0 ) T Mat ^ ( u^^^1 ,,^ un^ )( u^2 )(^010 ^0 ) Mat (^) ( u (^) 1 ,, un )( un )( 0 0 0 1 ) T
Aplicacions. – Comentem alguna de les aplicacions presentades a la introducció (5.0): (0) En empaquetaments hexagonals (per exemple, de les barres de combustible d’unreactor nuclear), cada element es determina per les coordenades del centre de l’hexàgon
Resulta més còmoda la base ( u 1 (^) , u 2 ) que no pas la ordinària ( e 1 (^) , e 2 ). Així, les coordenades dels punts 1, 2 i 3 la base ( u 1 (^) , u 2 )en són respectivament: ( 1 , 0 ), ( 1 , 3 )i ( 5 , 1 ). (4) Per sistemes formats per 2 masses iguals unides per 3 molles també iguals, una basede les possibles vibracions és formada pels 2 modes següents:
- la vibració simultània de les 2 masses, mantenint constant la distància entre elles- la simètrica respecte al punt mig entre els ancoratges. Qualsevol altre vibració descompon (de forma única) com a suma de múltiplesd’aquestes dues.
(5) Podem prendre com coordenades la separació de cadascuna de les 3 plantes respectea la vertical pel punt de suport.
(6) En estudis recents, les possibles formes de vinclament o col·lapse d’un puntal esrefereixen a 3 tipus específics:
- “global”: l’eix del puntal es corba, sense canviar la forma de la secció- “local”: rotació de la secció per abonyegament d’una zona
- “distorsional”: canvia la forma de la secció; per exemple, obrint-se o tancant-se lesales. Les “coordenades” respecte a aquests 3 tipus permeten estudiar com millorar laresistència del puntal.
(7) (^) considerant el quart connectat a terra. En algorismes anteriors es prenien comEl mètode dels nusos (MNA) pren com coordenades la tensió en 3 nusos, coordenadesperifèriques). els “corrents de malla” (en aquest cas, els de les 3 branques
(8) Una base és formada per les successions: 1 , ( 1 ) k^ , 2 k. (9) En pintura industrial no és fàcil trobar les “coordenades” d’un color respecte a 3disponibles per tal de poder-lo reproduir. En particular, en impressió gràfica la fidelitat del negre és un índex de qualitat.
Aplicació.- Funcions de control. Un sistema discret de control en n x ( k 1 ) Ax ( k ) bu ( k ); A Mn , b Mn 1 resulta “controlable” si ( b , Ab , , An ^1 b ) (*) és una base de n^. Aleshores, tot estat x n^ és “assolible” des de l’origen en el sentit que
x xn Axn bu n
x Ax bu
x Ax bu
x
per una, així anomenada, funció de control u (0), u (1), ... , u ( n -1). De les igualtats anteriors resulta x An ^^1 bu ( 0 ) Abu ( n 2 ) bu ( n 1 )
(1) s n : - ( u (^) 1 ,, un ) base l.i. generen (2) s n : - no poden ser l.i.- si són generadors s’obté una base eliminant-ne s n l.d.
(3) s n : - no poden generar- si són l.i. s’obté una base afegint-hi n s l.i. (que podem triar d’una altra base ja coneguda)
Exem. – (1) Continuant amb un exemple anterior, els vectors de la figura generenl.i. Com que la dimensió és 3, podem obtenir una base eliminant-ne un. Vegem que E , però no són cal triar-lo adequadament: u 1 (^) u 2 u 3 No és base u 1 (^) u 2 u 4 Si ho és u 1 (^) u 3 u 4 Si ho és u 2 u 3 u 4 Si ho és
(2) E = 2 [t] ( t )^2 ,( t )^2 ,( t )^2 són l.i., i per tant, base. ( t )( t ),( t )( t ),( t )( t )ídem. Obs. – (1) Es confirma que conèixerbase: només cal verificar una de les dues condicions (generar / l.i.) de la definició. dim E simplifica molt la comprovació que una família és
(1’) A l’apartat següent veurem que tant la comprovació com la construcció de bases espot simplificar notablement mitjançant “pivot”, quan es disposa ja d’una altra base coneguda. (2) El símil futbolístic reflecteix força bé la situació del corol·lari:
- un equip requereixi cobrir tot el camp (= generen) i sense solapaments (= l.i.)si són n 11 , no es pot assegurar que formen equip, però només cal verificar
- si sónuna de les dues condicions, ja que una d’elles comporta automàticament l’altra. s 11 , és segur que se solapen (= l.d.), però pot ser que tampoc cobreixin tot el camp; si ho fan (= generen), es poden reduir a un equip, eliminant-neadequadament triats. s -
- si sónque se solapin; si no ho fan (= l.i.), s 11 , és segur que no cobreixen el tot camp (= no generen), però pot ser pot completar-se l’equip afegint 11- s jugadors adients (que podem triar de l’equip filial).
(3) Per no finit generats, la situació és més complexa: 1 , t , t^2 , , tn ,és una base de [t] 1 , sin t , sin 2 t ,, sin n t,... són l.i., però no generen C ( ) (de fet, no se’n coneix cap base) (4) La dimensió depèn del cos : dimℂ ℂ = 1; una base és simplement u 1 (^) 1. dim ℂ = 2; una base és ( u 1 (^) , u 2 ), amb u (^) 1 1 , u 2 i.
5.14, ... , 5.17. - Rang d’una família de vectors.
Com hem fet notar, encara podem simplificar més l’ús del corol·lari anterior si es coneixuna base.
Def. – Es diu rang de la família de vectors v 1 (^) , , vs al nombre (màxim) de l.i. S’escriu: rang ( v 1 ,, vs ).
És fàcil calcular-lo si es coneix una base. Prop. – Donats v 1 (^) , , vs , el seu rang r és el de la seva matriu V en qualsevol base ( u 1 (^) , , un ) considerada: r rang ( v 1 ,, vs ) rangV , V Mat ( ui )( v 1 ,, vs ) És a dir: (1)
(2) També: r = ordre màxim dels menors no nuls de V.
Corol. – En les condicions anteriors:
(1) s n : ( v (^) 1 , , vn ) base r n ( s ) V ~
obtenim una nova base afegint a v (^) 1 ,, vs els vectors corresponents a les columnes pivot addicionals (3”) O més en general, afegint els vectors corresponents a una columna de cada esglaóaddicional (que no tingui 0).
Exem. – (1) Refem l’exemple anterior
Una base estaria formada pels vectors corresponents a les columnes pivot: v 1 (^) , v 2 , v 4. També podem prendre la 3ª columna, en lloc de la 2ª: v 1 (^) , v 3 , v 4.
(1’) Si hagués donat: V
no podríem prendre v 1 (^) , v 3 , v 4 com base.
(2) ( ( t 1 )^2 ,( t 2 )^2 ,( t 3 )^2 ) és base de 2 [t] ja que, en base ( t^2 , t , 1 ):
(3) t 1 , t^2 1 són l.i. ja que, en base ( t^2 , t , 1 ):
(3’) Si volem ampliar-lo a una base, amb polinomis de la base (2):
Per tant: - no es pot ampliar amb ( t 1 )^2
- si que es pot ampliar amb ( t 2 )^2 o ( t 3 )^2 (3”) Si hagués donat:
només podríem ampliar amb la segona columna addicional.
Obs. – (1) Construcció de bases. Sintetitzem les tècniques del corol·lari anterior sobre construcció de bases igeneralitzem-les al cas en que els vectors de partida ni siguin l.i. ( r<s ): v^^1 ,,^ vs no generin ( r<n ) una base està formada per les columnes pivot de la matriu ( - V és la matriu, en una base ( V,G ), on:
- G és la matriu, en la mateixa base, d'una família qualsevol de generadors u^^1 ,,^ un ) , dels vectors^ v^^1 ,,^ vs. (en particular podem prendre els de la base ( u (^) 1 ,, un ), en quin cas G=I ) Com en altres situacions, en lloc d’una columna pivot podem triar qualsevolaltre del mateix esgraó, que no hi tingui un 0. (2) Les tècniques anteriors, basades en pivotar la matriu V , no serveixen, per exemple, per estimar si 1 , e x^ ,sin x ,cos x són l.i., ja que no es coneix cap base de C ( ). Caldria veure si:
1 2 e x 3 sin x 4 cos x 0 ? 1 2 3 4 0
Per exemple, avaluant en x 0 :
Avaluant la derivada en x 0 :
