Introducción a la Algebra Lineal: Vectors, Espacios Vectoriales, Base y Coordenas, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Introducción a la Algebra Lineal: Vectors, Espacios Vectoriales, Base y Coordenas y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

Matemàtiques I

Economia i empresa

Llúcia Mauri Masdeu

Eina-e

Matemàtiques I

Eina-e, 11

Tarragona, 2012

Matemàtiques I

Economia i empresa

Llúcia Mauri Masdeu

Índex de continguts

7

Pròleg

Aquest llibre neix a la Facultat d'Economia i Empresa de la Universitat Rovira i Virgili, concretament dins i fora de les aules on s’imparteix l’assignatura de Matemàtiques I. La idea era que l’alumnat disposés de material de suport per adquirir conceptes, procediments, i, naturalment, competències. A poc a poc, aquelles pàgines i aquells con- tinguts, amb el dia a dia de l’aula, van anar donant forma al que trobareu tot seguit. Així, doncs, sols resta agrair el suport a la meva família, als meus alumnes, a tot el personal del la Facultat d'Economia i Empresa de la URV i, especialment, a Norberto Màrquez, a Margarita Roselló i a Marta Ripollés, els quals m’han guiat desinteressada- ment en els meus primers passos en la docència.

Novembre 2011

11

Part i: Àlgebra lineal

Tema 1: Matrius i determinants

1.1 Concepte de matriu. Operacions amb matrius

Concepte de matriu

Què és una matriu?

S’anomena matriu d’ordre mxn, l’ordenació de m·n nombres reals disposats en m files i n columnes. La denotarem com a A = (aij)mxn.

En aquest cas, aij són nombres reals i s’anomenen elements d’A. Els subíndexs dels elements, és a dir, la i i la j, representen la fila i la columna res- pectivament on es troba l’element.

Exemple:

La matriu A és d’ordre 2x3, atès que té dues files i tres columnes. L’element a 13 =–4, ja que es troba a la fila 1 i a la columna 3.

Matemàtiques I

13

Exemples:

Les matrius A i B són simètriques.

Matriu antisimètrica:

Anomenarem matriu antisimètrica la matriu quadrada en què els elements que hi ha per sobre la diagonal principal són els oposats als que hi ha per sota, és a dir, els ele- ments aij = –aji per i = l, ..., n i j = l, ..., n. A més a més, els elements de la diagonal principal són nuls, és a dir, aii = 0 per i = l, ..., n. Exemples:

Les matrius A i B són antisimètriques.

Matriu transposada:

Anomenarem matriu transposada, i la denotarem per At, la matriu resultant d’intercan- viar les files per les columnes o les columnes per les files, és a dir, si A=(a (^) ij)mxn és una matriu, la seva matriu transposada és A t=(a (^) ji)nxm. Exemples:

14

Llúcia Mauri Masdeu

Per tant, les matrius transposades corresponents són:

Matriu inversa:

Anomenarem matriu inversa d’una matriu quadrada A aquella matriu tal que A⋅A–1^ = In, i la denotarem per A–1. Aquesta matriu s’obté a partir de les operacions següents:

On, det A indica el determinant de la matriu A, i Ac^ és la matriu complementària.

Matriu diagonal:

Anomenarem matriu diagonal la matriu en què tots els elements que no estan a la dia- gonal principal són nuls, és a dir, aij = 0 si i ≠ j per a tot i = l, ..., n i j = l, ..., n. Exemples:

Matriu escalar:

Anomenarem matriu escalar la matriu diagonal en què tots els elements de la diagonal principal són el mateix nombre, és a dir, aij = 0 si i ≠ j i aii = k per a tot i = l, ..., n, j = l, ..., n i k un nombre real. Exemples:

16

Llúcia Mauri Masdeu

Exemples:

Matriu ortogonal:

Anomenarem matriu ortogonal a tota matriu quadrada que compleix A–1=At. Aquest tipus de matrius té la propietat que (^).

Submatriu d’una matriu:

Considerem la matriu A=(aij)mxn. Direm que A’ és submatriu de A si està formada per una selecció de k files i l columnes de A en què k<m i l<n. Exemples:

Les matrius A’ i B’ són submatrius de A i de B respectivament.

Vector (fila o columna):

Anomenem vector fila la matriu que té una fila i n columnes, és a dir, és una matriu d’ordre 1xn. Exemples:

Anomenem vector columna la matriu que té m files i una columna, és a dir, és una matriu d’ordre mx1.

Matemàtiques I

17

Exemples:

Operacions amb matrius

Suma i resta de matrius

Considerem les matrius A=(aij)mxn i B=(b (^) ij)mxn d’ordre mxn.

=

Les matrius suma i resta són matrius d’ordre mxn.

Exemple: Considerem la cadena de magatzems i les matrius dels beneficis generats al gener i al febrer. Volem saber el benefici total d’ambdós mesos; per tant, sumarem els beneficis de cada producte en els diferents centres.

Ara considerem la matriu dels preus dels productes al gener i la matriu amb els dife- rents descomptes que es faran; per tant, restarem i obtindrem la matriu dels preus dels pro- ductes després d’aplicar els descomptes.

Matemàtiques I

19

Producte d’un escalar per una matriu

Considerem la matriu A=(a (^) ij)mxn i un escalar k qualsevol.

Exemple:

Potència d’una matriu

Considerem la matriu quadrada d’ordre m A=(a (^) ij)mxn. Definim: , , ..... , (n vegades)

Exemple: Considerem la matriu A i busquem (^) A^2.

llavors

Propietats

1. (At)t=A

2. (A+ B)t= At^ + Bt

3. (k ⋅ A)t=k ⋅ A t

4. (A ⋅ B)t= Bt^ ⋅ At

5. Direm que una matriu quadrada és simètrica si A = A t

6. Direm que una matriu quadrada és antisimètrica si A = –A t

7. Dues matrius A=(a (^) ij)mxn i B=(bij)mxn són iguals quan llurs elements són iguals un a un, és a dir, aij = bij per tot i = l, ..., m i j = l, ..., n.

20

Llúcia Mauri Masdeu

1.2 Determinant d’una matriu. Propietats dels determinants

Determinant d’una matriu

Què és?

El determinant és una funció que associa a cada matriu quadrada A un únic nombre real, i el denotarem per det A o |A|. Molt important!: Per poder calcular el determinant d’una matriu, la matriu ha de ser quadrada.

Determinants de matrius d’ordre 1:

Si A és una matriu d’ordre 1, és a dir, del tipus A=(a 11 ), llavors el determinant d’A serà l’element en qüestió: |A|=a 11

Exemple: Sigui A=(2) llavors |A|= 2

Determinant de matrius d’ordre 2 i 3:

Determinat de matrius d’ordre :

Sigui llavors considerem

i el determinant de la matriu serà

Exemples:

1. Sigui volem calcular el seu determinant:

2. Sigui volem calcular el seu determinant: