Análisis Vectorial: Teorema de la Derivada de Vectores en Coordenas, Apuntes de Métodos Matemáticos

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Métodos Matemáticos de la Física

OSCAR REULA

ÍNDICE GENERAL

• 1. Conceptos Básicos de Topología
  • 1.1. Introducción
    • 1.1.1. Terminología
  • 1.2. Conceptos Derivados
    • 1.2.1. Mapas continuos
    • 1.2.2. Compacidad
• 2. Álgebra Lineal
  • 2.1. Espacios Vectoriales
    • 2.1.1. Covectores y Tensores
    • 2.1.2. Complexificación
    • 2.1.3. Espacios cociente
  • 2.2. Normas
    • 2.2.1. Las normas inducidas en V?
  • 2.3. Teoría de Operadores Lineales
    • 2.3.1. Representación Matricial
    • 2.3.2. Subespacios Invariantes
    • 2.3.3. Forma Canónica de Jordan
    • 2.3.4. Relación de Semejanza
  • 2.4. Operadores Adjuntos
  • 2.5. Operadores Unitarios
  • 2.6. Problemas
• 3. Geometría
  • 3.1. Variedades
  • 3.2. Funciones Diferenciables en M
  • 3.3. Curvas en M
  • 3.4. Vectores
  • 3.5. Campos Vectoriales y Tensoriales
    • 3.5.1. El Corchete de Lie
      • renciales Ordinarias 3.5.2. Difeomorfismos y la Teoría de las Ecuaciones Dife-
    • 3.5.3. Campos de Covectores y Tensores
    • 3.5.4. La Métrica
    • 3.5.5. Notación de Índices Abstractos
  • 3.6. Derivada Covariante
• 4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
  • 4.1. Introducción
  • 4.2. El Caso de una Única Ecuación Ordinaria de Primer Orden
    • 4.2.1. Ecuación Autónoma de Primer Orden
    • 4.2.2. Extendiendo la Solución Local
    • 4.2.3. El Caso No-autónomo
  • 4.3. Reducción a Sistemas de Primer Orden
  • 4.4. Sistemas de EDO
    • 4.4.1. Integrales Primeras
    • 4.4.2. Teorema Fundamental de los Sistemas de EDO
    • 4.4.3. Dependencia en Parámetros, Ecuación de Variaciones
  • 4.5. Problemas
• 5. Sistemas Lineales
  • 5.1. Sistema lineal homogéneo
  • 5.2. Sistema Lineal Inhomogeneo – Variación de constantes
  • 5.3. Sistemas lineales homogéneos: coeficientes constantes
  • 5.4. Problemas
• 6. Estabilidad
  • 6.1. Problemas
• 7. Prueba del Teorema Fundamental
  • 7.1. Problemas
• 8. Elementos Básicos de Análisis Funcional
  • 8.1. Introducción
  • 8.2. Completando un Espacio Normado
  • 8.3. *Integral de Lebesgue
  • 8.4. Espacios de Hilbert
  • 8.5. Serie de Fourier
  • 8.6. Problemas
  • 8.7. Problemas de Series de Fourier
• 9. Distribuciones
  • 9.1. Introducción
  • 9.2. La derivada de una distribución
  • 9.3. Nota sobre la completitud de D y su dual D′
  • 9.4. Convergencia y Compacidad Débil
• 10. La Transformación de Fourier
  • 10.1. Introducción
  • 10.2. *Propiedades básicas de los Espacios de Sobolev
• 11. Teoría de ecuaciones en derivadas parciales
  • 11.1. Introducción
  • 11.2. La ecuación de primer orden
    • 11.2.1. El Problema de Cauchy
  • 11.3. Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales
• 12. Ecuaciones Elípticas
  • 12.1. La Ecuación de Laplace
    • 12.1.1. Existencia
    • 12.1.2. *Regularidad de las Soluciones
  • 12.2. Teorema Espectral
• 13. Ecuaciones simétrico–hiperbólicas
  • 13.1. Introducción
  • 13.2. Un ejemplo
  • 13.3. Desigualdad de la energía para sistemas simétrico–hiperbólicos
  • 13.4. Unicidad de las soluciones
  • 13.5. Dominio de dependencia
    • 13.5.1. Construcción de una superficie característica
    • 13.5.2. Dominio de dependencia, ejemplos
• 14. Ecuaciones Parabólicas
  • 14.1. Introducción
  • 14.2. Unicidad y el Teorema del Máximo
• 15. Grupos
  • 15.1. Introducción
  • 15.2. Isomorfismos
  • 15.3. Subgrupos
  • 15.4. La construcción universal
  • 15.5. Grupos Lineales
    • 15.5.1. El grupo SO( 3 ).
  • 15.6. Cosets
    • 15.6.1. Espacios Homogéneos
  • 15.7. Subgrupos Normales
• 16. Preguntas Teóricas de Exámen
• 2.1. Interpretación geométrica del espacio cociente. ÍNDICE DE FIGURAS
• 2.2. Diagrama del operador dual.
• 2.3. Diagrama del operador estrella.
• 2.4. Vectores normales y tangentes a la esfera.
• 3.1. Un atlas de la esfera.
• 3.2. Relación entre cartas.
• 3.3. Sucesiones en M
• 3.4. Ejemplo de variedad no–Hausdorff.
• 3.5. Composición del mapa de una carta con una función.
• 3.6. La relación entre las fi
• 3.7. Diferenciabilidad de curvas en M
• 3.8. Definición de vector.
• 4.1. Interpretación geométrica de la ecuación f (x) = x^1 /
• 4.2. Prueba del Lema 4.1.
• 4.3. Prueba de la unicidad de la solución.
• 4.4. Distintas soluciones de la ecuación de crecimiento bacteriano
• 4.5. Unicidad global.
• 4.6. Extendiendo la solución.
• 4.7. El péndulo Físico.
• 4.8. La variedad Péndulo Físico.
• 6.1. Estabilidad.
• 6.2. Péndulo físico con fricción.
• 6.3. La norma ρ (x, x).
• 7.1. Entornos usados en la prueba del Teorema Fundamental.
• 8.1. Una sucesión de Cauchy.
• 8.2. Otra sucesión de Cauchy.
• 8.3. Integral de Lebesgue.
• 8.4. El espacio perpendicular.
• 8.5. Ley del paralelogramo.
• 11.1. Curvas características.
• 11.2. Intersección de soluciones.
• 11.3. Construyendo la solución a partir de la curva γ
• 11.4. Construyendo la solución local.
• 12.1. La membrana de un tambor.
• 12.2. Problema mixto.
• 13.1. Sistema coordenado nulo.
• 13.2. Propagación de ondas.
• 13.3. Solución general homogénea en 1+1 dimensiones.
• 13.4. Solución general inhomogenea.
• 13.5. Desigualdad de la energía
• 13.6. Desigualdad de la energía, vista en perspectiva.
• 13.7. Región en forma de ampolla
• 13.8. Cono característico
• 13.9. Construcción de S y una singularidad en S
• 13.10. Dominio de dependencia de un fluido
• 14.1. Condiciones de contorno para la ecuación del calor.
• 14.2. Prueba del Lema 14.1

PREFACIO

Estas notas, ahora devenidas en libro, se originaron como un intento de condensar en un solo lugar un gran conjunto de ideas, conceptos y herra- mientas matemáticas que considero básicas para la comprensión y el trabajo diario de un físico en nuestros días. Usualmente sucede que si un problema es formulado desde una necesi- dad de origen físico, como por ejemplo la descripción de algún fenómeno natural, entonces éste está bien formulado, en el sentido de que una solu- ción razonable al mismo existe. Esta regla ha sido en general muy fructífera y en particular les ha servido como guía a muchos matemáticos para abrirse camino en áreas desconocidas. Pero también ha servido, en particular a mu- chos físicos, para trabajar sin preocuparse demasiado por aspectos formales, ya sean analíticos, algebraicos o geométricos y poder así concentrarse en as- pectos físicos y/o computacionales. Si bien esto permite un rápido desarrollo de algunas investigaciones, a la larga se llega a un estancamiento pues al pro- ceder de este modo se evita enfrentar problemas que son muy ricos en cuanto a la conceptualización del fenómeno a describir. Es importante constatar que el problema formulado tiene una solución matemática y físicamente correcta. Un ejemplo de esto ha sido el desarrollo, a mediados del siglo pasado, de la teoría moderna de las ecuaciones en derivadas parciales. Muchas de es- tas ecuaciones surgieron debido a que describen fenómenos de físicos: trans- misión del calor, propagación de ondas electromagnéticas, ondas cuánticas, gravitación, etc. Una de las primeras respuestas matemáticas al desarrollo de estas áreas fue el teorema de Cauchy-Kowalevski que nos dice que dada una ecuación en derivadas parciales, (bajo ciertas circunstancias bastante genera- les) si una función analítica es dada como dato en una hipersuperficie (con ciertas características), luego existe una solución única en un entorno sufi- cientemente pequeño de dicha hipersuperficie. Tomó mucho tiempo darse cuenta que este teorema realmente no era relevante desde el punto de vista de las aplicaciones físicas: existían ecuaciones admitidas por el teorema tales que si el dato no era analítico ¡no había solución! Y en muchos casos, si éstas exis- tían, no dependían continuamente del dato dado, una pequeña variación del

donde se debería hacer hincapié en el tipo de ecuaciones que se resuelven (elíp- ticas, hiperbólicas), y el sentido de sus condiciones iniciales o de contorno, según corresponda. Usando además en forma coherente el concepto de dis- tribución, que lejos de ser un concepto matemático abstracto es en realidad un concepto que aparece naturalmente en la física. Nada del contenido de estas notas es material original, sí algunas formas de presentarlo, por ejemplo algunas pruebas más simples que las usuales, o la forma de integrar cada contenido con los anteriores. Mucho del material debería ser pensado como una primera lectura o una iniciación al tema y el lector interesado en profundizar debería leer los libros citados, de los cuales he extraído mucho material, siendo éstos excelentes y difíciles de superar.

Ejemplo: a) Sea T = {;, X }, es decir que los únicos subconjuntos abiertos de X son el subconjunto vacío y el subconjunto X. Es claro que esta colección de subconjuntos es una topología, ya que satisface las tres condiciones reque- ridas, a esta topología se la denomina indiscreta. Podemos decir que en esta topología los puntos de X están arbitrariamente cerca entre sí, ya que si un abierto contiene a uno de ellos los contiene a todos.

Ejemplo: b) Sea T = P (X ), la colección de todos los subconjuntos de X , cla- ramente esta colección también satisface las condiciones arriba mencionadas y por lo tanto también es una topología de X , la llamada discreta. Podemos decir que en ésta todos los puntos están arbitrariamente separados entre sí ya que por ejemplo, dado cualquier punto de X existe un abierto que separa a éste de todos los demás, el que consiste de solo el punto en cuestión.

Ejemplo: c) Sea X el conjunto de los números reales, de ahora en más, lR, y sea T = {O| s i r ∈ O, ∃ " > 0 t al q ue s i |r − r ′| < " , r ′^ ∈ O}, es decir la colección de abiertos en el sentido usual. Veamos que esta colección satisface las condiciones para ser una topología. Claramente ; ∈ T , (ya que no tiene ningún r ), lo mismo que lR, (ya que contiene a todos los r ′), y así condición

1. es satisfecha. Veamos la segunda, sea r ∈

I O λ^ luego^ r^ ∈^ O λ^ para algún^ λ y por lo tanto existirá " > 0 tal que todo r ′^ con |r − r ′| < " está también en O λ , y por lo tanto en

I O λ. Veamos finalmente la tercera, sea^ r^ ∈^ O^ ∩^ O

′

luego r ∈ O y por lo tanto existirá " > 0 tal que todo r ′^ con |r − r ′| < " estará en O, como r también está en O′^ existirá " ′^ > 0 tal que todo r ′^ con |r − r ′| < " ′^ estará en O′. Sea " ′′^ = mi n{ " , " ′} luego todo r ′^ con |r − r ′| < " ′′ estará en O y en O′^ y por lo tanto en O ∩ O′, con lo que concluimos que este último conjunto también está en T. lR con esta topología es llamada la línea real.

Ejercicio: Encuentre usando el ejemplo anterior una intersección infinita de abiertos que no es abierta.

Ejemplo: d) Sea X = lR×lR ≡ lR^2 , es decir el producto cartesiano de lRconsigo mismo –el conjunto de todos los pares (x, y), con x, y ∈ lR– y sea T = {O| s i (x, y) ∈ O, ∃ " > 0 t al q ue s i |x − x′| + |y − y′| < " , (x′, y′) ∈ O}. Del ejemplo anterior se puede ver que este también es un espacio topológico y que esta es la topología que usualmente usamos en lR^2

Definición: Un espacio métrico, (X , d ) es un par consistente en un conjunto

X y un mapa d : X × X −→ lR, llamado usualmente distancia, satisfaciendo las siguientes condiciones:

1. d (x, x′) ≥ 0, = 0 ⇒ x = x′.
2. d (x, x′) = d (x′, x).
3. d (x, x′) + d (x′, x′′) ≥ d (x, x′′).

Ejercicio: Pruebe que este espacio posee una topología inducida por su métri- ca en forma similar a lR en el ejemplo anterior.

Ejercicio: Vea que d (x, y) = 1 si x 6 = y, es una distancia. ¿Qué topología nos introduce dicha distancia? Claramente una métrica nos da una noción de cercanía entre puntos, ya que nos da un valor numérico de la distancia entre sí de estos. Una topología, al no darnos en general ningún número nos da una noción de cercanía mucho más vaga, pero de todos modos en general interesante.

1.1.1. Terminología

Damos a continuación un resumen de la terminología usual en esta área, la misma es una generalización directa de la usada comúnmente.

Definición: Llamaremos el complemento, Oc^ , del subconjunto O de X al subconjunto de todos los elementos de X que no están en O.

Definición: Diremos que un subconjunto O de X es cerrado si su comple- mento Oc^ es abierto.

Definición: Un subconjunto N de X es llamado un entorno de x ∈ X si existe un abierto Ox , con x ∈ Ox , contenido en N.

Definición: Llamaremos el interior de A ∈ X al subconjunto I nt (A) de X formado por la unión de todos los abiertos contenidos en A.

Definición: Llamaremos la clausura de A ∈ X al subconjunto C l (A) de X formado por la intersección de todos los cerrados conteniendo a A.

Definición: Llamaremos la frontera de A ∈ X al subconjunto ∂ A de X for- mado por C l (A) − I nt (A) ≡ I nt (A)c^ ∩ C l (A).

Definición: Un mapa φ : X → Y entre un conjunto X y otro Y es una asignación a cada elemento de X de un elemento de Y. Esto generaliza el concepto de función usual, note que el mapa está definido para todo elemento de X , mientras que en general su imagen, es decir el conjunto φ (X ) ≡ {y ∈ Y | ∃x ∈ X y φ (x) = y}, no es todo Y. En el caso que lo es, es decir que φ (X ) = Y , diremos que el mapa es suryectivo. Por otro lado si se cumple que φ (x) = φ (˜x) =⇒ x = ˜x diremos que el mapa es inyectivo. En tal caso existe el mapa inverso a φ entre el conjunto φ (X ) ⊂ Y y X. Si el mapa es además suryectivo entonces su inverso está definido en todo Y y en este caso se denota por φ −^1 : Y → X. Es de utilidad considerar también los conjuntos φ −^1 (O) = {x ∈ X | φ (x) ∈ O}

Claramente la definición anterior solo usa conceptos topológicos ¿Tie- ne algo que ver con la usual épsilon-delta usada en lRn^? La respuesta es afir- mativa, como veremos más abajo en nuestro primer teorema, pero primero veamos algunos ejemplos.

Ejemplo: a) Sean X e Y cualquiera y sea la topología de X la discreta. Luego cualquier mapa entre X e Y es continuo. En efecto, para cualquier O abierto en Y , ϕ −^1 (O) es algún subconjunto en X , pero en la topología discreta todo subconjunto de X es un abierto.

Ejemplo: b) Sean X e Y cualquiera y sea la topología de Y la indiscreta. Lue- go también cualquier mapa entre X e Y es continuo. En efecto, los únicos abiertos en Y son ; e Y , pero ϕ −^1 (;) = ;, mientras que ϕ −^1 (Y ) = X , pero cualquiera sea la topología de X , ; y X son abiertos. De los ejemplos anteriores parecería ser que nuestra definición de conti- nuidad no es muy interesante, eso es debido a que hemos tomado casos con las topologías extremas, en las topologías intermedias es donde la definición se hace más útil.

Ejemplo: c) Sean X e Y líneas reales, y sea ϕ (x) = 1 si x ≥ 0, ϕ (x) = − 1 si x < 0. Este mapa no es continuo ya que, por ejemplo, ϕ −^1 (( 1 / 2, 3 / 2 )) = {x|x ≥ 0 }.

Teorema 1.1 El mapa ϕ : X → Y es continuo si y solo si se cumple que: dado cualquier punto x ∈ X y cualquier entorno M de ϕ (x), existe un entorno N de x tal que ϕ (N ) ⊂ M.

Esta segunda definición está mucho más cerca del concepto intuitivo de continuidad.

Prueba: Supongamos ϕ continuo. Sea x un punto de X , y M un entorno de φ (x). Luego existe un abierto O en Y contenido en M y conteniendo a φ (x). Por continuidad N = ϕ −^1 (O) es un abierto de X , y como contiene a x, un entorno de x. Se cumple entonces que ϕ (N ) ⊂ O ⊂ M. Supongamos ahora que dado cualquier punto x ∈ X y cualquier entorno M de ϕ (x), existe un entorno N de x tal que ϕ (N ) ⊂ M. Sea entonces O un abierto cualquiera de Y , debemos mostrar ahora que ϕ −^1 (O) es un abierto de X. Sea x un punto cualquiera de ϕ −^1 (O), luego ϕ (x) ∈ O y por lo tanto O es un entorno de ϕ (x), por lo tanto existe un entorno N de x tal que ϕ (N ) ⊂ O y por lo tanto N ⊂ ϕ −^1 (O). Pero entonces ϕ −^1 (O) contiene un entorno de cada uno de sus puntos y por lo tanto es abierto.

Ejercicio: Sea φ : X → Y y ψ : Y → Z mapas continuos, pruebe que ψ ◦ φ : X → Z también es continuo. (Composición de mapas preserva continuidad.)

Topología Inducida:

Sea φ un mapa entre un conjunto X y un espacio topológico {Y, T }. Este mapa proporciona naturalmente, es decir sin la ayuda de ninguna otra estruc- tura, una topología en X , denotada por T (^) φ y llamada la topología inducida por φ en X. El conjunto de sus abiertos está dado por: T (^) φ = {O ⊂ X | O = φ −^1 (Q), Q ∈ T }, es decir O es un abierto de X si existe un abierto Q de Y tal que O = φ −^1 (Q).

Ejercicio: Demuestre que esta construcción realmente define una topología. No todas las topologías así inducidas son de interés y en general dependen fuertemente del mapa, como lo demuestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo: a) Sea X = Y = lR con la topología usual y sea φ : lR → lR la función φ (x) = 17 ∀ x ∈ lR. Esta función es claramente continua con respecto a las topologías de X e Y , las de la línea real. Sin embargo T (^) φ , la topología inducida en X por este mapa es la indiscreta! b) Sea X e Y como en a) y sea φ (x) un mapa invertible, luego T (^) φ coincide con la topología de la línea real.