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Tema 1. Métodos de Análisis de Circuitos
TEMA 1 CORRIENTE CONTINUA
EJEMPLOS
ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
INGENIERIA INDUSTRIAL
ING. HUMBERTO GARCIA ZAMORANO
1
i
¿ R? i 3 0
i
2
6
3 A
2
i
1
2
Tema 1. Métodos de Análisis de Circuitos
1.1 Introducción
1.2 Análisis de nudos
1.3 Análisis de mallas
1.4 Comparación entre el análisis de nudos y el de mallas
1A
1.1. Introducción
- En principio, para resolver un circuito es necesario formular un conjunto
de ecuaciones simultáneas que se obtiene aplicando de forma combinada
las leyes de Kirchhoff y las relaciones i-v de los elementos del circuito
- Las relaciones i-v gobiernan el comportamiento de cada elemento con
independencia de en qué circuito este conectado
- Las leyes de Kirchhoff son condiciones impuestas a las conexiones,
independientes de los elementos concretos presentes en el circuito
- Para un circuito de E elementos, este procedimiento conduce a un sistema
lineal de 2E ecuaciones con 2E incógnitas.
- EN ESTE TEMA estudiaremos métodos de análisis más eficientes:
- El método de tensiones de nudo
- El método de corrientes de malla
2
26
1.2 Análisis de nudos
- Definición de Nudo:
- Nudo: punto de conexión entre dos o más elementos de circuito
3
4
- Alternativamente, podemos elegir un nudo del circuito como nudo de
referencia (nudo de tierra) y asignarle un valor de tensión conocido
(típicamente 0 V)
- El nudo de tierra suele identificarse con alguno de los siguientes
símbolos:
A B
v
AB
1.2 Análisis de nudos
- Definición de Tensión de Nudo:
- Hasta ahora nos hemos referido a la tensión (o potencial) en términos de
“diferencia de potencial entre 2 nudos” que, generalmente, se
corresponden con los terminales de un elemento
26
Solución 𝑉 4
1
2
+ V
A
- - V
B
𝐴
4
1
𝐵
2
1
+ + V
D
𝐶
V
G
V
E
V
C
𝐷
4
2
𝐸
4
𝐹
3
3
𝐺
- Ejemplo2: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura
en los casos siguientes: a) v 3
= 0; b) v 4
V
V
13 V 𝑉
3
8 V 3
V
26
4
1
4
V
b)𝑉 4
1
2
1
v
3 13 +
V
1
3
V
a) 𝑉 3 = 0 -
V
Solución- El valor de las tensiones de nudo no es
único!!
V
10
El valor de las tensiones de nudo no es único! Esta en función
al nudo de ref.
v
4
3
2
3
V
V
1
4
4
1
1
V
3
1
2
2
V
V
1.2 Análisis de nudos
- El análisis de nudos (ó método de las tensiones de nudo) es un método
general y sistemático para el análisis de circuitos
- Este método usa tensiones de nudo (en vez de tensiones de elemento)
como variables de circuito
- Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver
- En resumen, el objetivo del método de las tensiones de nudo es calcular
la tensión en todos y cada uno de los nudos del circuito problema,
supuesta conocida la tensión en el nudo de referencia.
- El método se basa en la aplicación combinada de:
- La ley de las corrientes de Kirchhoff (KCL)
- La ley de Ohm
11
26
14
R
3
I
S
i
3
2
v
R
2
v
1
i
2
i
1
R
1
I
S
- Asignamos tensiones de nudo v 1
y v 2
- Asignamos corrientes de rama
Solución:
- a) Elegir un nudo de referencia y asignar las tensiones de nudo
v 1
, v 2
,…,v N-
a los restantes N-1nudos
b) Asignar corrientes de rama a cada resistencia
- Para este circuito N = 3
- Indicamos el nudo de referencia con el símbolo de la tierra
- Aplicar la KCL a cada nudo, salvo al de referencia. Se obtendrán
N-1 ecuaciones
KCL
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Nudo 1:
𝒔𝟐
𝟏
𝟐
i 2
Nudo 2:
𝟐
𝟑
26
𝑉
1
− 0
𝑅 1
𝑉 1
−𝑉
2
𝑅 2
𝑉 2
− 0
3
Para 𝑅
3
2
Para 𝑅
2
1
Para 𝑅
1
En este caso:
- Utilizar
la relación i-v de cada resistencia para escribir las corrientes de
rama en función de las tensiones de nudo
- Aparte de las fuentes de corriente independientes solo hay resistencias, por tanto la
relación i-v a considerar es la ley de Ohm
- Aplicamos la ley de Ohm en la forma:
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
26
- Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones
obtenidas.
1
1
2
2
2
𝑆
𝑆
𝑆
1
2
2
𝑅 2
2
3
Factorizando
tenemos:
2
2
2
1
𝑆
𝑆
1
2
𝑆
2
3
Definición: Se denomina siemens (símbolo: S ), a la unidad derivada
del SI para la medida
de la conductancia eléctrica, que se representa con el símbolo G. Se
nombra así por el
ingeniero alemán Werner von Siemens, su inversa es la resistencia
𝐺 1
𝑣 1
− 𝐺 2
𝑣 2
= 𝐼 𝑆
− 𝐼 𝑆
−𝐺 2
𝑣 1
𝑣 2
= 𝐼 𝑆
Que representas las ecuaciones de tensiones de nudo; llevando a
forma matricial tenemos:
2
1
2
𝑆
2
1
𝑆
𝑆
2
2
Reemplazando en las siguientes
expresiones tenemos:
Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones
obtenidas.
26
- Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones
obtenidas.
2
1
2
2
𝑆
𝑆
1
2
3
2
𝑆
2
2
2
3
1
𝑆
𝑆
2
Resolviendo las ecuaciones matriciales
tenemos para 𝑣
1
𝑆
𝑆
2
1
1
2
𝑆
2
3
𝑆
𝑆
3
2
𝑆
2
1 2 2 3 2 2
2
3
- Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones
obtenidas.
2
2
2
3
1
𝑆
𝑆
2
Resolviendo las ecuaciones matriciales
tenemos para 𝑣 2 :
2
𝑆
𝑆
2
1
2
2
𝑆
2
𝑆
2
𝑆
𝑆
1 2 2 3 2 2
2
3
Obtenidos las tensiones de nudo podemos obtener las
corrientes en cada rama.
26
- CASO 2: Si la fuente de tensión está conectada entre dos nudos, no
siendo ninguno de ellos de referencia, entonces:
- Se introduce la corriente que atraviesa la fuente (i x
) como
variable adicional.
- Se añade una ecuación que relaciona la tensión de la fuente
con las dos tensiones nodales (v 1
-v 2
= V
S
2.2.2 Análisis de nudos para circuitos CON fuentes de tensión
v
1
i
x
v
1
± VS
Circuito
Resto
± VS
Circuito
Resto
v 2
v
2
v
1
2
V
S
22
26
- Ejemplo5: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura
23
I
s
R
2
R
1
v
2
V
s
v
1
26
2.3 Análisis de mallas
- Definiciónde Malla:
- Lazo: Camino cerrado, es decir, camino que empieza y termina en el
mismo nudo sin pasar más de una vez por cada uno de los nudos
intermedios
- Malla: Lazo que no contiene ningún elemento en su interior
28
26
29
iD
i
A
i
C
iB
2.3 Análisis de mallas
- Definiciónde Corrientede Malla:
- Hasta ahora hemos trabajado solamente con corrientesde rama, es decir,
con corrientes que fluyen entre dos nudos y que, normalmente, se
asocian con un elemento concreto
30
- La asignación de sentido de giro a las corrientes de malla es
arbitrario
i
2
i
1
2.3 Análisis de mallas
- Definiciónde Corriente de Malla:
- Alternativamente, podemos introducir el concepto de corriente de malla
- Corriente de Malla: es la corriente que recorre una determinada malla.
Por tanto, es una corriente cerrada
26
2.3 Análisis de mallas
- El análisis de mallas es otro método general para el análisis de circuitos
- Este método usa corrientes de malla (en vez de corrientes de rama)
como variables de circuito
- Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver
- En resumen, el objetivo del método de las corrientes de malla es calcular la
calcular la corriente de cada una de las mallas del circuito problema
- El método se basa en la aplicación combinada de:
- La ley de las tensiones de Kirchhoff (KVL)
- La ley de Ohm
34
26
- a) Asignar las corrientes de malla i 1
, i 2
,…,i N
a las N mallas
b) Asignar tensiones de elemento a cada resistencia
- Aplicar la KVL en cada una de las mallas. Se obtendrán N
ecuaciones
- Utilizar la relación i-v de cada elemento para escribir las
tensionesde elementoenfunciónde las corrientesde malla
- Sustituir las tensiones de elemento, obtenidas en (3), en las ecs.
de malla obtenidas en (2)
- Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones
obtenidas
2.3.1 Análisis de mallas para circuitos SIN fuentes de corriente
- Dado un circuitode Nmallas sinfuentesde corriente,
el análisis de mallas consta de los siguientes pasos:
35
