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2.4. Momentos bidimensionales no centrales y centrales
Dada la distribución bidimensional de la variable (X, Y) observada sobre una
población de tamaño n se define:
Momento no central, o respecto el origen, de órden ( r , s ) de la variable ( X , Y )
1
k p^ k p r s r s rs ij i j ij i j i j i j
m n x y f x y n (^)
(^)
Momento central, o respecto a la media, de órden ( r , s ) de la variable ( X , Y )
1 1 1 1
1
k p (^) r s k p r s
rs ij i j ij i j i j i j
n x x y y f x x y y n
(^) (^)
Prof. Juan Eloy Ruiz Castro
Ejemplos
1
k^ p
ij i j
m f
(^) 0 1 1 1
( )
k p k r r r ij i i i r i j i
m f x f x m X
(^) (^)
( )
k p^ p s s s ij j j j s i j j
m f y f (^) y m Y
(^) (^)
0 ^ 1
( )
k (^) r
r i i r i
f (^) x x X
(^)
0 ^ 1
( )
p (^) s
s j j s j
f (^) y y Y
(^)
1
k^ p
ij i j
f
(^)
2.4.1. Covarianza
Dada la distribución bidimensional de la variable (X, Y) observada sobre una
población de tamaño n se define la COVARIANZA entre X e Y como el momento
central de orden (1, 1)
Prof. Juan Eloy Ruiz Castro
Teorema
1 1 1 1
k p k p
xy ij i j ij j i i j i j
k p
xy ij i j i j
f x x y f y y x
f x y x y
Demostración
1 1 1 1 1 1
- 0
k p^ k p^ k p
xy ij i j ij i j ij i i j i j i j
f x x y y f x x y f x x y
(^) (^) (^)
1 1 1 1 1
0
k p^ k p k
ij i ij i i i i j i j i
f x x y y f x x y f (^) x x
^ ^ ^ ^ ^
1 1 1 1
k p^ k p
xy ij i j ij i j i j i j
k p^ k p
ij i j ij j i j i j
f x x y y f x x y
f x y f y x
y
Prof. Juan Eloy Ruiz Castro
y 1 y 2 … yp ni nixi
x 1 n 11 n 12 … n 1 p
x 2 n 21 n 22 … n2p
xk nk 1 nk 2 … nkp
nj n A
njyj B
1
k p
xy ij i j i j
n x y x y n
Cálculo de la covarianza
C
1
k p
xy ij i j i j
C A B n x y x y n n n n
2.6. Regresión
Prof. Juan Eloy Ruiz Castro
2.6.1. Introducción
Estudiar relaciones funcionales entre un número finito de magnitudes (variables
explicativas X 1 , X 2 ,…, Xn), supuestamente relacionadas con una variable Y (variable
explicada).
Estudio simultáneo de:
Determinación de la estructura de dependencia que mejor expresa el
tipo de relación de la variable explicada con las explicativas
(REGRESIÓN)
Estudio del grado de relación existente entre las variables
(CORRELACIÓN)
Y f (^) X 1 , Xn
Dadas dos variables estadísticas X, Y, llamamos REGRESIÓN DE Y SOBRE X a la
función que explica la variable Y a través de X (análogamente para la regresión de X
sobre Y)
CRITERIO utilizado para su estudio: Criterio de mínimos cuadrados
- Regresión Tipo I: CURVA DE REGRESIÓN
- Regresión tipo II
2.6.2. Regresión Tipo I: Curvas de regresión
La regresión tipo I de Y sobre X tiene como objetivo determinar el funcional f
(Y=f(X)) tal que la media aritmética de las desviaciones cuadráticas (y-f(x))^2 sea
mínima.
Proposición.
La curva de regresión de Y sobre X viene dada por los pares
La curva de regresión de Y sobre X viene dada por los pares
Las curvas de regresión minimizan el error cuadrático medio, es decir, la media de los
residuos al cuadrado.
xi^ ,^ yi^ ,^ i^ 1,...,k
y^ j ,^ x^ j,^ j^ 1,...,p
Demostración.
Sea
^
k p^ k p
ij ij ij j i i j i j
f e f y h x
(^) (^)
k^ p
i j i j i i j
f (^) f y h x
(^)
^
k^ p
i j i j i i j
f (^) f y h x
(^) mínimo para
por optimalidad de la media
h x (^) i (^) yi
^
i
k p k p k
i j i j i i j i j i i Y X x i j i j i
f (^) f y h x f (^) f y y f Var
^ ^ ^
Por lo tanto el mínimo de la media de los residuos cuadráticos es igual a
Curva de regresión de Y sobre X
xi^ ,^ yi^ ,^ i^ 1,...,k
y
x xi
yi
Curva de regresión de X sobre Y
y^ j ,^ x^ j,^ j^ 1,...,p
x
y
yj
xj
Curva de regresión de Y sobre X
xi^ ,^ yi^ ^ y^ j,^ i^ ^ 1,..., ;k j^ 1,...,p
x
y
Curva de regresión de X sobre Y
y^ j ,^ x^ j ^ xi^ ,^ i^ ^ 1,..., ;k j^ 1,...,p
x
y
x
y
Dependencia funcional recíproca
2.6.3. Regresión Tipo II
Objetivo: Predecir los valores de una variable a partir de otra u otras dadas
Dado un funcional, h, dependiente de parámetros. Los parámetros se obtienen
mediante el criterio de mínimos cuadrados (se minimiza el cuadrado de los residuos)
- Regresión tipo II de Y sobre X
Seleccionado el tipo de función, h, se ajusta la “mejor” función de la familia de
considerada
^ 1
min m
k p^ k p
a a ij^ ij^ ij^ j^ i i j i j
f e f y h x
^
Si h x (^) i (^) depende de los parámetros a 1 ,...,am
1 1
0
k^ p
ij j i i i j
f y ax b x
^ ^ ^
1 1
0
k^ p
ij j i i j
f y ax b
^ ^ ^
k p^ k p^ k p
ij i j ij i ij i i j i j i j
f x y a f x b f x
(^) (^)
k p^ k p^ k p
ij j ij i ij i j i j i j
f y a f x b f
(^) (^)
k p k k
ij i j i i i i i j i i
f x y a f x b f x
^
p (^) k
j j i i j i
f (^) y a f x b
^
Solución de las ecuaciones normales
xy x y^ a^ x x^ bx
y ax b b y ax
^
xy x y a x x y ax x xy x y a (^) x y x 2
xy
x
a
h x y ax b
Por lo tanto
b y ax
xy
x
a
xy xy
x x
y x y x
2 ^
xy
x
y y x x
- Recta de Regresión de X sobre Y
h ' (^) y (^) x a y' b'
2 ^
xy
y
x x y y
b ' x a y'
' (^2)
xy
y
a
Las dos rectas de regresión se cortan en el centro de gravedad: x y,
¿Cuánto vale el mínimo en la regresión de X/Y?
'( ', ') ' '
k^ p
ij j i i j
a b f y a x b
(^)
x 1 R
Siendo (^2 )
xy
x y
R
- Propiedades del ajuste lineal por mínimos cuadrados
- Las rectas de regresión pasan por el punto , centro de gravedad.
Demostración. Inmediato.
x y,
- La media de los valores ajustados coincide con la media de los verdaderos valores
de la variable.
Demostración.
1 1 1
k k k
i i i i i i i i
f (^) ax b a f x b f (^) ax b y
^ ^ ^ ^ ^
- La media de los residuos vale cero.
Demostración.
1 1 1 1
k p^ k p
ij ij ij j i i j i j
f e f y ax b
^ ^ 1 1 1 1 1 1
k p^ k p^ k p
ij j ij i ij i j i j i j
f y a f x b f
(^) (^)
y ax b 0
- La media de los productos de los residuos por los valores de la variable explicativa
vale cero.
Demostración.
1 1 1 1
k p^ k p
ij ij i ij j i i i j i j
f e x f y ax b x
^ ^
k p^ k p^ k p
ij j i ij i ij i i j i j i j
f y x a f x b f x
(^) (^)
0 Por ecuación 1 de ecuaciones normales
Por ecuación 2 de ecuaciones normales
