Estadistica, Apuntes de Estadística

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Instrucciones sobre cómo

presentar la estadística en un

trabajo científico

Francisco Javier Barón López [email protected] http://www.bioestadistica.uma.es/baron

1 Introducción

Estamos acostumbrados a ver cómo la práctica totalidad de los artículos y comunicaciones a congresos requieren del uso de algún tipo de estadísticas. Siendo muy extenso el número de las técnicas estadísticas existentes, el objetivo de esta obra no consistirá en exponer muchas en detalle, sino en destacar algunas de ellas, por lo extendido de su uso, y explicar qué pasos deben seguirse para su utilización en la redacción de un trabajo científico.

2 Estadística descriptiva

La primera tarea consiste siempre en describir los datos que tenemos, divididos en tantos grupos como esté formado el estudio. Por ejemplo si estamos presentando los resultados de un estudio realizados sobre individuos que han seguido uno de tres posibles tratamientos dermatológicos, la presentación de los resultados descriptivos debe hacerse para cada grupo por separado.

Por tanto, en primer lugar daremos unas ideas sobre la manera de presentar la estadística descriptiva de los datos en un grupo, para pasar posteriormente a cómo presentar las comparaciones de los resultados obtenidos en varios grupos.

2.1 Descriptiva de una variable

Normalmente en cada grupo de pacientes se suelen observar, no una sino varias variables que pueden ser cualitativas, como sexo, tabaquismo o “presencia de psoriasis”; o numéricas como edad, peso o Psoriasis Area and Severity Index (PASI).

2.1.1 Datos cualitativos

Decir que el 60% de los pacientes se curaron no es suficiente. No debemos conformarnos con exponer simplemente los porcentajes. Hemos de dar información suficiente como para saber qué número exacto de individuos presentó cada modalidad

2.1.2 Datos Numéricos.

Los datos numéricos no suelen presentarse como los cualitativos, a menos que la variable numérica presente muy pocas modalidades. Lo habitual es presentar una serie de medidas que los resuman, denominadas estadísticos, y cuya elección depende de la distribución que presenten los datos.

15 20 25 30 35 40 45 Edad materna

50

40

30

20

10

0

Frecuencia

Media =30, Desviación típica =5, N =

En múltiples ocasiones los datos presentan cierta distribución acampanada como la de la figura adjunta, denominada distribución normal. En estos casos con sólo dos medidas, como son la media y la desviación típica, tenemos resumida prácticamente toda la

Estado tabáquico

No fumador Ex-fumador Fumador

Recuento

20

15

10

5

0

información contenida en las observaciones. Así, la forma habitual de presentar los resultados que se observan en la gráfica mencionada sería:

Las mujeres que habían tenido hijos formaban un grupo de 295 pacientes, cuyas edades estaban distribuidas de forma aproximadamente normal, con una media de 30,09 años y desviación típica de 5,17 años.

Como se ve es una forma de redactar que ocupa mucho menos espacio que el gráfico. Por otro lado, es difícil decidir en ocasiones si los datos se alejan mucho o poco de una distribución normal, y en este caso, es mejor dar alguna información adicional como el mínimo y el máximo. En este caso los resultados podríamos exponerlos del siguiente modo:

El grupo formado por las mujeres que habían tenido hijos estaba formado por 295 pacientes con edades comprendidas entre los 16 y los 43 años, siendo la media de 30,09 años y la desviación típica de 5,2 años.

Hay más estadísticos que podemos añadir en estas situaciones donde existe cierto alejamiento de la normalidad, como son la asimetría y la curtosis (o apuntamiento). Estos son estadísticos adimensionales (sin unidades). Su utilización indiscriminada haría que un párrafo como el anterior, que de forma natural ya es farragosa, se haga aún peor. De estos estadísticos debemos saber lo siguiente:

• Asimetría : Valores negativos (positivos) indican la presencia de una cola a la izquierda (derecha) de la distribución.
• Curtosis o apuntamiento : Valores negativos indican datos que presentan un menor grado de apuntamiento que la distribución normal. Es lo que suele ocurrir cuando las observaciones se distribuyen con una cierta tendencia a la uniformidad, desde el valor menor hasta el mayor. Valores positivos indican apuntamiento.

Hay situaciones de claro alejamiento de la normalidad, por ejemplo cuando se observan distribuciones que presentan largas colas u observaciones anómalas^1 (outliers). En ese caso, resumir los datos mediante medias y desviaciones típicas no es suficiente, y debemos considerar medidas más resistentes a estas influencias.

(^1) Observaciones demasiado grandes o pequeñas con respecto al resto de valores.

y el valor máximo. Estas cantidades vienen reflejadas en el diagrama de cajas. Este permite ver rápidamente si los datos son simétricos o si incluyen observaciones anómalas. Su composición se basa en una caja cuyos extremos son el primer y tercer cuartil (aproximadamente), con una marca interior para la mediana, y dos bigotes , cuya misión es delimitar hasta donde podemos considerar los datos de las colas como no anómalos. Cualquier valor que quede fuera de los bigotes es marcado como anómalo.

Cuando la muestra no parece tener una distribución normal, no debemos resumir la descripción de la muestra en media y desviación típica. La mediana (percentil 50) da una mejor idea del centro. Para dar una idea de cómo se distribuyen los datos a su alrededor, se complementa con otras cantidades: mínimo, primer cuartil, tercer cuartil y máximo, lo que forma un resumen en cinco números.

Estas cantidades vienen reflejadas en el diagrama de cajas de Tukey. Éste permite ver rápidamente si los datos son simétricos o si incluyen observaciones anómalas. Su composición se basa en una caja cuyos extremos son el primer y tercer cuartil (percentiles 25 y 75 respectivamente), con una marca interior para la mediana, y dos bigotes, cuya misión es delimitar hasta donde podemos considerar los datos de las colas como no anómalos. Cualquier valor que quede fuera de los bigotes es marcado como anómalo.

Un tipo de representación gráfica, que es muy útil para estudiar si unos datos sigue una distribución normal (o cualquier otra), es la de los gráficos cuantil-cuantil (Q-Q). En ellos se compara la distribución de los datos observados con respecto a una distribución de referencia. Si los puntos aparecen más o menos alineados, es que ambas distribuciones son similares. Las desviaciones con respecto a la distribución de referencia se aprecian como desviaciones con respecto a una línea recta en el gráfico Q- Q.

Aplanada

50 55 60 65

50 55 60 65

Normal

30 40 50 60 70 80 90

30 40 50 60 70 80 90

Apuntada

30 40 50 60 70 80

30 40 50 60 70 80

-2 -1 0 1 2

50

55

60

65

Q-Q: Faltan colas

Cuantiles normales

Cuantiles muestrales -3 -2 -1 0 1 2 3

30 40

50

60

70

80

90

Q-Q: Normal

Cuantiles normales

Cuantiles muestrales -3 -2 -1 0 1 2 3

30

40 50

60

70

80

Q-Q: Sobran colas

Cuantiles normales

Cuantiles muestrales

Ejemplo: En un estudio sobre psoriasis de 40 individuos, se obtuvieron los siguientes resultados al medir el indicador “ Psoriasis Area and Severity Index ” (PASI).

Estadísticos pasi 40 0 26, 24, 10, , , -, , 15 48 18, 24, 34,

Válidos Perdidos

N

Media Mediana Desv. típ. Asimetría Error típ. de asimetría Curtosis Error típ. de curtosis Mínimo Máximo 25 50 75

Percentiles

2.2 Estadística descriptiva bivariante

Si resumir la información de una variable es de por sí interesante, en investigación lo es mucho más el poner de manifiesto la posible relación entre dos de ellas. Para ello realizamos estudios donde intervienen ambas variables simultáneamente. Según sean los tipos de cada una de ellas usaremos técnicas diferentes.

2.2.1 Categórica-categórica

Cuando ambas variables son categóricas (o discretas con pocas modalidades), se suele presentar las observaciones en una tabla de contingencia. Esta es una tabla de doble entrada donde se presentan la distribución de frecuencias conjunta de las dos variables. Con ellas podemos estudiar si existe asociación entre ambas. Cuando no hay asociación, la distribución de porcentajes de una de las variables es similar para cada valor de la otra.

Adicionalmente, se suele presentar un estadístico (chi-cuadrado) que nos proporciona una idea del grado de asociación. Si el estadístico no toma un valor “muy grande ”, se considera que no hay asociación entre ambas. Pero, ¿cómo saber cuando un valor del estadístico chi-cuadrado es grande? Para ello se acompaña de un valor, denominado significación, del que hablaremos más adelante. En general es costumbre admitir que los valores de un estadístico no se pueden considerar “ extremos ”, a menos que su significación sea inferior a 0,05.

Ejemplo : En un estudio sobre la efectividad de un fármaco se deseaba evaluar la mejoría de los pacientes. Para ello se formó dos grupos de pacientes, donde por azar, se les decidía aplicar bien el tratamiento, o bien un placebo (grupo de no intervención)

La tabla de contingencia adjunta muestra los resultados. El valor del estadístico chi- cuadrado fue de 4,28, con una significación de 0,028.

Tabla de contingencia Grupo * Resultado experimentado por el paciente

111 24 135 82,2% 17,8% 100,0% 117 11 128 91,4% 8,6% 100,0% 228 35 263 86,7% 13,3% 100,0%

Recuento % de Grupo Recuento % de Grupo Recuento % de Grupo

No intervención

Intervención

Grupo

Total

Mejora No mejora

Resultado experimentado por el paciente Total

La forma de exponer los resultados de forma puramente descriptiva sería la siguiente.

El grupo de intervención estaba formado por 128 pacientes frente a 135 del grupo control. Se observó en el grupo de intervención una mejoría en el 91,4% de los casos (117 pacientes), notablemente superior al 82,2% ( pacientes) conseguido en el grupo de control.

En la práctica, es muy extraño que no se ofrezca, al mismo tiempo, una medida sobre lo diferente que son ambos porcentajes. Por ello, aún a riesgo de adelantar conceptos que se exponen más adelante, indicamos que lo habitual sería expresar el resultado de un modo más completo de la siguiente forma:

El grupo de intervención estaba formado por 128 pacientes y 135 el grupo de control. Se observó en el grupo de intervención una mejoría en el 91,4% de los casos (117 pacientes), notablemente superior al 82,2% (

No intervención Intervención

No mejora

Mejora

Resultado experimentado por el paciente

En estas comparativas debe destacarse adicionalmente, si la diferencia observada es interesante desde el punto de vista clínico. Otra cuestión que trataremos más adelante, es si la diferencia observada es además significativa desde un punto de vista estadístico.

2.2.3 Numérica-Numérica.

Cuando hablamos de comparar dos variables numéricas, pensamos en establecer la posible relación entre ellas. La vía más directa para estudiar la posible asociación, consiste en inspeccionar visualmente un diagrama de dispersión (nube de puntos). Con ella se pretende buscar patrones en los datos.

Uno de los patrones más básicos para reconocer, es el de las tendencias lineales, que es lo que ocurre cuando los puntos del diagrama tienden a no alejarse demasiado de una línea recta. Otro tipo de patrones pueden ser reconocibles, como sería la aproximación a una curva cuadrática.

Si reconocemos una tendencia como las mencionadas, es una indicación de que puede valer la pena explorar con más profundidad dichas relaciones con modelos que incluyan tal vez más variables. Si es el caso, puede interesarnos proseguir con un análisis de regresión múltiple.

Desde un punto de vista puramente descriptivo, el estadístico más interesante (en la mayoría de los casos) donde sólo se explora la posible asociación lineal entre dos variables numéricas, es el coeficiente de correlación lineal de Pearson. Este nos indica con signo positivo si hay una relación directa entre ambas variables. Análogamente, valores negativos, indican relación inversa. Los valores cercanos a cero son muestras de

Grupo

Tto. habitual+nuevo medicamento Tto. habitual

0,

-5,

-10,

-15,

-20,

-25,

-30,

Cambio en PASI a las 6 semanas

ausencia de relación lineal, mientras que los cercanos a 1 ó -1 indican una buena relación lineal.

Hay otra forma de exponer la relación existente entre dos variables, y que se extiende más allá del caso de la simple relación lineal entre dos variables. Se puede utilizar para describir cualquier otro tipo de relación (cuadrática, cúbica, etc.) En estos casos se utiliza un coeficiente que se suele escribir como R^2 , y al que se le denomina como porcentaje de variabilidad explicado o bondad de ajuste. Toma valores entre 0 y 1, pero también lo solemos encontrar expresado en porcentaje. Además sirve para explicar relaciones no sólo entre dos, sino entre múltiples variables. En el caso del modelo lineal, R^2 no es más que el coeficiente de correlación lineal al cuadrado.

Ejemplo : Continuando con el ejemplo anterior, se evaluó durante las 6 semanas de tratamiento, no sólo el cambio producido en la variable Psoriasis Area and Severity Index (PASI), sino también “Dermatology Life Quality Index”, DLQI. Los resultados se observan en la gráfica adjunta, siendo el coeficiente de correlación de r=0,17, lo que supone un valor de R^2 =0,

Cambio en PASI a las 6 semanas

-30,0 -25,0 -20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,

0,

-5,

-10,

-15,

-20,

-25,

Tto. habitual

Tto. habitual+nuevo medicamento

Grupo

Cambio en DLQI a las 6 semanas

Los resultados anteriores muestran que hay diferencias significativas entre los grupos de tratamiento (p=0,003)

A la hora de suministrar los p-valores significativos, debemos utilizar al menos 3 cifras decimales de precisión. Cuando p es muy pequeño es posible indicarlo de forma más breve escribiendo por ejemplo p<0,001.

Poco a poco se ha ido extendiendo la costumbre de aceptar que, p-valores inferiores a 0,05 indiquen evidencia estadísticamente significativa a favor de diferencias entre tratamientos, pero vamos a observar las siguientes cuestiones sobre su uso:

• Especialmente en estudios con grandes muestras, los p-valores suelen ser extremadamente pequeños, sin que por ello las diferencias numéricas que observe el médico sean en la práctica (clínicamente) significativas. Es posible que no queramos considerar entonces las diferencias como relevantes.
• Cuando los p valores son grandes (p>0,05), seguramente no consideremos las diferencias como estadísticamente significativas, pero eso no quiere decir que no lo sean desde un punto de vista clínico. Esto es especialmente cierto cuando las muestras en estudio son pequeñas.
• No debemos considerar que un p-valor grande es una prueba de que los tratamientos en comparación son equivalentes. Para esto hay pruebas específicas, denominadas de equivalencia de tratamiento. La no evidencia de la ausencia de efecto no tiene nada que ver con la evidencia de la ausencia.

3.2 Intervalos de confianza y errores típicos

Mejor que ofrecer p-valores, es ofrecer intervalos de confianza, sobre todo si los tamaños muestrales son muy grandes, pues en ese caso, es sencillo obtener p-valores muy pequeños (estadísticamente significativos), sin que por ello tengan significación clínica. El suministro de intervalos de confianza permite juzgar si este es el caso. Cuando esto es muy engorroso o no es posible, se pueden sustituir por errores típicos o algunos estadísticos de interés que permitan al lector obtener la información que le interese para juzgar lo interesante (desde el punto de vista práctico) de las diferencias observadas.

3.3 Tablas de contingencia

Si el resultado del estudio que estamos haciendo es dicotómico, se espera que los resultados obtenidos en la muestra los ofrezcamos como porcentaje, y por tanto, las cantidades a estimar en la población deben corresponderse a un intervalo de confianza, alrededor de dicho porcentaje. Sin embargo, normalmente estos porcentajes no son calculados en un sólo grupo de pacientes, lo que no permite estimarlos facilmente.

Cuando la tabla de contingencia no es de dimensiones 2x2, no hay mucho más que hacer que mostrarla y referir la significación del estadístico chi-cuadrado. Hemos de tener cuidado con las tablas grandes, pues es frecuente que una buena cantidad de

casillas tenga frecuencias esperadas inferior a 5, lo que invalida las aproximaciones que suelen estar programadas, y los programas de análisis suelen especificarlo. En estos casos debemos utilizar las pruebas exactas, que normalmente pueden usarse para tablas de dimensiones no muy grandes, dependiendo del software y del ordenador que usemos. Si la situación no es evitable, debemos considerar redefinir las variables.

En el caso de tablas 2x2 hay más información que deberíamos ofrecer además de la significación, y a eso está dedicado el resto de la sección.

En el caso de que se trate de comparar los porcentajes en sólo dos grupos, lo más conveniente es ofrecer junto a los porcentajes de cada grupo, el valor del estadístico z para la diferencia de proporciones, que no es más que la raíz del estadístico chi- cuadrado en este caso. Así, retomando un ejemplo anterior, y donde queremos remarcar que lo que nos interesa realmente es la diferencia entre dos proporciones, podríamos presentar los resultados del siguiente modo:

Tabla de contingencia Grupo * Resultado experimentado por el paciente

111 24 135 82,2% 17,8% 100,0% 117 11 128 91,4% 8,6% 100,0% 228 35 263 86,7% 13,3% 100,0%

Recuento % de Grupo Recuento % de Grupo Recuento % de Grupo

No intervención

Intervención

Grupo

Total

Mejora No mejora

Resultado experimentado por el paciente Total

El grupo de intervención estaba formado por 128 pacientes frente a 135 del grupo control. Se observó en el grupo de intervención una mejoría en el 91,4% de los casos (117 pacientes), significativamente superior al 82,2% (111 pacientes) del grupo de control (z=2,2; p=0,028).

Otro tipo de pruebas con variables cualitativas que también conduce a una tabla de doble entrada de dimensiones 2x2, es aquel en el que se observa la misma variable dicotómica (síntomas presentes/ausentes) en un sólo grupo de individuos, pero se hace en dos ocasiones diferentes para saber si los pacientes han evolucionado con el tiempo. En este caso se utiliza la prueba de McNemar. Un ejemplo de uso sería el siguiente, donde se estudia si un grupo de individuos muy sensibles a la luz solar tiene tendencia a cambiar en 2 años consecutivos.

de intervalo de confianza al 95%. Aunque no hay que engañarse en este último caso, pues estos intervalos no son reales.

Retomemos de nuevo un ejemplo anterior, donde se observaba la variable cambio en PASI tras 6 semanas de tratamiento para dos grupos de pacientes. Si nuestra intención es comunicar diferencias de efecto entre grupos, la forma de hacerlo gráficamente podría ser la siguiente

Los intervalos muestran la media +/- 1,0 errores típicos

Tto. habitual+nuevo medicamento Tto. habitual Grupo

-12,

-10,

-8,

Cambio en PASI a las 6 semanas

]

]

Para comunicar lo mismo en una tabla lo haríamos del siguiente modo:.

Grupo Tamaño del grupo Media±E. Típico

Tratamiento habitual (controles)

Tratamiento habitual +medicamento (experimental)

Una vez que exponemos las estimaciones de la media en cada grupo, trataremos de aplicar contrastes que tratan sobre si los efectos medidos en cada grupo de tratamiento son similares.

3.4.1 Comparando dos medias: t-student

Cuando el número de grupos a comparar es dos (como en el último ejemplo) se utiliza la prueba t-student. De nuevo hay que recordar que estamos utilizando esta prueba porque

admitimos un cierto grado de normalidad en los datos. Debemos hacer mención (normalmente en la sección Material y Métodos ), sobre cómo comprobaremos esta posibilidad (normalmente usando métodos gráficos como los Q-Q, o bien usando directamente contrastes de normalidad, como el del Kolmogorov-Smirnov), y también mencionar qué hubiésemos hecho en caso de no ser cierta, lo que consiste normalmente en aplicar una prueba no paramétrica (como la de Mann-Whitney o la de Wilcoxon). Se podría redactar el resultado como sigue:

En el grupo de control se experimentó una reducción media de PASI de 8, (ET=2), y en el grupo experimental de 11,6(ET=1,3). La diferencia de efecto medio fue 2,9 (ET=2,42) a favor del grupo experimental, no siendo estadísticamente significativa (t=1,19;p=0,238).

Este último es un ejemplo de un resultado no significativo. Es frecuente que se expliquen con más detalles los resultados significativos, y el resto, se agrupen bajo una expresión más general y se expongan todos en la misma frase como sigue:

No se observó diferencias significativas para el resto de variables y tratamientos (p>0,2).

El valor de p mostrado, es uno que cubre a todos los p de esos resultados no significativos. Esta frase resumen, no se utiliza para aquellos resultados que estén en el límite de la significación (por ejemplo p=0,071), sino que se hace a partir de algún valor de significación muy grande (como el mostrado).

3.4.2 Comparando tres o más medias: ANOVA

Cuando hay más de dos grupos de tratamiento, tenemos la posibilidad de utilizar la prueba ANOVA. Esta no sólo requiere la normalidad, sino que no haya diferencias de variabilidad muy grandes en cada grupo. Como en el caso anterior debemos mencionar en la sección Material y Métodos cómo verificaremos la validez de las premisas (que en el caso de la igualdad de variabilidad puede ser la prueba de Levene), y qué alternativa usaremos en caso de que no se cumpla, que normalmente consiste en aplicar la prueba no paramétrica de Kruskal-Wallis.

En este caso, el p-valor muestra la evidencia que hay en contra de que las medias de todos los grupos de tratamiento son iguales. Si se rechaza esta hipótesis (p<0,05 como es habitual), pasaremos a contrastar qué grupos de tratamiento son los responsables de este rechazo. Estos son los análisis post-hoc de los resultados de ANOVA. Hay múltiples contrastes a utilizar, dependiendo de las características de las muestras: Diferencia Honestamente Significativa de Tukey , Scheffé , Dunnet …