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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1.INTRODUCCIÓN:ESTIMACIÓN Y ESTIMADOR
2.PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES
3. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN. EJEMPLO 1 , EJEMPLO 2
1.Introducción :Estimación y Estimador
En este tema se analizan las formas adecuadas para el establecimiento del conocimiento numérico o abstracto de un parámetro de una población , y que evidentemente nos es desconocido , partiendo ,claro está, de la información suministrada por la muestra.
LA ESTIMACIÓN , como proceso, consiste en que dada una población que siga una distribución de cierto tipo con función de probabilidad (de cuantía o de densidad)
f( X, ) dependiente de un parámetro o varios desconocido(s) " ", aventurar en base
a los datos muestrales el valor que toma o puede tomar el parámetro o parámetros.
UN ESTIMADOR θ (x) es una función de una muestra genérica
x=[x 1 ,x2 , ,...,x (^) n ], es decir , un estadístico que utilizaremos para estimar el valor del parámetro. Por tanto es una variable aleatoria y será necesario para la estimación conocer la distribución muestral del estimador.
UNA ESTIMACION será el valor concreto que tomará el estimador al aplicar la muestra concreta obtenida y será ,por tanto ,la solución concreta de nuestro problema. (Cuando
no haya lugar para la confusión designaremos al estimador, a veces, como en vez de θ (x) )
θ
θ^
LA TEORIA DE LA ESTIMACION se ocupará, dentro del marco de la perspectiva clásica, de estudiar las características deseables de los estimadores permitiéndonos escoger aquel estimador que reúna más propiedades ventajosas para que realicemos buenas estimaciones.
2.Propiedades de los Estimadores
INSESGADEZ: un estimador es insesgado o centrado cuando verifica que
E( θ ) = . (Obsérvese que deberíamos usar (x) y no , pues hablamos de estimadores y no de estimaciones pero como no cabe la confusión ,para simplificar ,
aquí , y en lo sucesivo usaremos θ ). En caso contrario se dice que el estimador es
sesgado. Se llama sesgo a
θ
θ
θ
B θ E θ^
[se designa con B de BIAS ,sesgo en inglés]
Como ejemplo podemos decir que : la media muestral es un estimador insesgado de la media de la población (y lo es sea cual fuere la distribución de la población) ya que:
si el parámetro a estimar es
y establecemos como estimador de
tendremos que
luego la media muestral es un estimador insegado de la media poblacional.
En cambio la varianza muestral es un estimador sesgado de la varianza de la población ,
ya que: si utilizamos como estimador de
la varianza muestral es decir :
tendremos que
que es el parámetro a estimar.
existe pues un sesgo que será
Dado que la varianza muestral no es un estimador de la varianza poblacional con propiedades de insesgadez , conviene establecer uno que si las tenga ; este estimador no es otro que la cuasivarianza muestral , de ahí su importancia ;así
la cuasivarianza es en función de la varianza y tomada como estimador
SUFICIENCIA. Un estimador es suficiente cuando
no depende del parámetro a estimar .
En términos más simples : cuando se aprovecha toda la información muestral.
3. Métodos de Estimación
MÉTODO POR ANALOGÍA. Consiste en aplicar la misma expresión formal del parámetro poblacional a la muestra , generalmente , estos estimadores son de cómoda operatividad , pero en ocasiones presentan sesgos y no resultan eficientes. Son recomendables , para muestras de tamaño grande al cumplir por ello propiedades asintóticas de consistencia.
METODO DE LOS MOMENTOS. Consiste en tomar como estimadores de los momentos de la población a los momentos de la muestra. Podríamos decir que es un caso particular del método de analogía. En términos operativos consiste en resolver el sistema de equivalencias entre unos adecuados momentos empíricos (muestrales) y teóricos(poblacionales).
Ejemplo :
conocemos que la media poblacional de una determinada variable x depende de un parámetro K que es el que realmente queremos conocer (estimar). Así
por el método de los momentos tendríamos que
de donde
ESTIMADORES MAXIMO-VEROSIMILES. La verosimilitud consiste en otorgar a un estimador/estimación una determinada "credibilidad" una mayor apariencia de ser el cierto valor(estimación) o el cierto camino para conseguirlo(estimador).
En términos probabilísticos podríamos hablar de que la verosimilitud es la probabilidad de que ocurra o se dé una determinada muestra si es cierta la estimación que hemos efectuado o el estimador que hemos planteado.
Evidentemente , la máxima verosimilitud , será aquel estimador o estimación que nos arroja mayor credibilidad .En situación formal tendríamos :
Un estimador máximo-verosímil es el que se obtiene maximizando la función de verosimilitud (likelihood) de la muestra
Que es la función de probabilidad (densidad o cuantía) que asigna la probabilidad de
que se obtenga una muestra dependiendo del (o de los) parámetro(s) " " pero
considerada como función de . Si la distribución de la población es tal que su
densidad depende de uno o más parámetros , la probabilidad (densidad) de cada realización muestral xi
(con i=1,2,..,n) será:
y, a partir de aquí podremos obtener la función de verosimilitud de la muestra
Si el muestreo es simple:
por ser independientes cada una de las realizaciones muestrales.
El estimador que maximice
será el estimador máximo-verosímil (E.M.V.) Y será aquel valor/expresión para el que se verifique la derivada :
Si lo planteado fuera EMV de varios parámetros
las expresiones serían..
Debido a que la función de verosimilitud es a fin de cuentas una función de probabilidad ,será una función definida no negativa y por lo tanto alcanzará su máximo en los mismos puntos que su logaritmo. Por esta razón suele maximizarse
en lugar de la propia función de verosimilitud. Suele hacerse esto en todos aquellos casos en los que la función de verosimilitud depende de funciones exponenciales.
maximizar L es equivalente a maximizar ln L.
Maximizando :
despejando : de la primera :
de la segunda :
el estimador (MV) de la media poblacional será la media de la población mientras que el de la varianza poblacional corresponderá a su homónima muestral. Ambos estimadores reúnen casi-todas las propiedades salvo en el caso de la varianza muestral que es asintóticamente insesgada.
