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1. VARIABLES ALEATORIAS
Def: una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos, determinados por el resultado de un experimento aleatorio.
Si, por ejemplo, lanzamos una moneda, el resultado puede ser cara o cruz, NO tenemos una variable aleatoria. Sin embargo, si definimos una variable que tome los valores 0 = cara; 1 = cruz (valores numéricos) ya tenemos una variable aleatoria.
Dicho de otra forma, cuando asignamos valores numéricos a los resultados de un experimento que depende del azar (aleatorio), construimos una variable aleatoria.
Cuando hablamos de variables aleatorias, usamos una letra mayúscula (habitualmente X) para designar a la variable. Por ejemplo, utilizamos la letra X mayúscula para designar "el resultado de lanzar una moneda". Sin embargo, utilizamos la letra x minúscula para designar a cada uno de los valores concretos que toma la variable. Por ejemplo, x=1 (cara); x=2 (cruz).
Es importante distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas.
Def: una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores.
Por ejemplo, el número de caras resultantes en 10 lanzamientos una moneda es una variable aleatoria discreta porque sólo puede tomar los siguientes valores: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Es imposible sacar menos de cero caras y es imposible sacar más de 10 caras. También es imposible sacar 1,5 caras o 3,8 caras.
El número de reclamaciones a una compañía de seguros durante un mes sería un ejemplo de variable aleatoria discreta que puede tomar un número infinito numerable de valores. Es decir, a priori no existe un límite para el número de reclamaciones, sin embargo únicamente utilizamos números enteros para contarlas. Así, la variable, igual que en el caso anterior, no puede tomar valores como 1,5 o 3,8. Únicamente puede tomar los valores 0,1,2,3,4…
Def: una variable aleatoria es continua si puede tomar un número infinito de valores, incluso dentro de un intervalo.
Por ejemplo, la temperatura medida Madrid un día escogido al azar es una variable aleatoria continua. Puede tomar un número infinito de valores -si disponemos de instrumentos de medida lo suficientemente precisos- dentro de un intervalo, aproximadamente entre -5 y 40 grados centígrados.
La gran diferencia entre las variables aleatorias discretas y continuas reside en la forma en que se ”distribuye” la probabilidad. En una variable aleatoria discreta cada uno de los posibles valores tiene asociada una probabilidad. Así, al lanzar un dado la probabilidad de que salga un cinco (X=5) es de 1/6, o podemos estimar que la probabilidad de que el número de reclamaciones que recibe la compañía de seguros durante el mes enero sea 10 es de 0,052.
Por el contrario, cuando trabajamos con variables aleatorias continuas la probabilidad de tomar la variable un valor exacto es cero. Por ejemplo, la probabilidad de que al medir la temperatura que hace un 20 diciembre en Madrid el resultado sea exactamente 15,6254893133° es cero. Ocurre lo mismo si pensamos en la probabilidad de que la temperatura sea de 15°, porque en realidad lo que estamos pidiendo es la probabilidad de que la temperatura sea 15,000000000000…°.
Por ello, cuando trabajamos con variables aleatorias continuas tenemos que "buscar" la probabilidad en intervalos. Así, cuando nos referimos a la probabilidad de que el 20 diciembre la temperatura Madrid sea de 15°, lo que en realidad buscamos es la probabilidad de que la temperatura en Madrid esté entre 14,5° y 15,5°.
La distinción que hemos hecho entre variables aleatorias discretas y continuas puede parecer un poco artificial. En la vida real no podemos medir nada de forma continua. Cuando medimos la temperatura, únicamente nos solemos fijar en el valor entero como hemos hecho en el párrafo anterior. Si lo que estamos midiendo es la renta de una persona, como mucho, llegaremos a utilizar dos decimales. ¿Tiene sentido entonces diferenciar variables aleatorias discretas y continuas?
Sí que lo tiene. En la práctica, trataremos como discretas aquellas variables aleatorias para las cuales merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales (posibles valores concretos de la variable) y como continuas aquellas variables aleatorias para las cuales no interesa conocer la probabilidad exacta de cada uno de los valores concretos.
Si, por ejemplo, estamos haciendo una encuesta sobre el nivel de renta de las familias de los alumnos de la Universidad Rey Juan Carlos, no nos interesará conocer la probabilidad exacta de que la renta de una familia sea de 32.528 €, lo que nos puede interesar es conocer en qué intervalo o nivel de renta están las familias de la mayor parte de los estudiantes. Por eso, trataremos esta variable como una variable continua.
Por el contrario, cuando preguntemos por él número de asignaturas que cada alumno ha suspendido, sí que nos puede interesar cada uno de los valores concretos, por lo que en este caso tomaremos esta variable como una variable discreta.
2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Def: la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una representación de las probabilidades de todos los posibles valores que puede tomar esa variable. Esta representación puede ser álgebraica (una función), gráfica o tabular.
Cuando trabajamos con variables aleatorias discretas, podemos representar las probabilidades a través de dos funciones: la función de probabilidad puntual (función de cuantía) y la función de probabilidad acumulada (función de distribución).
2.1. LA FUNCIÓN DE CUANTÍA
Def: la función de cuantía P(x) de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que la variable X tome el valor x, como función de x.
P(x) = P (X=x)
Por ejemplo, cuando lanzamos tres monedas definimos una variable aleatoria que sea X="número de caras obtenidas", los posibles valores que puede tomar esta variable son x=0, x=1, x=2, x=3.
2.2. LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA O DE DISTRIBUCIÓN
Def: la función de probabilidad acumulada o de distribución F(x) de una variable aleatoria X representa la probabilidad de que la variable tome un determinado valor o cualquiera de los inferiores.
F(x) = P(X≤x)
Volviendo al ejemplo anterior, en el que lanzamos tres monedas y medimos el número de caras obtenidas, F(2) indicaría la probabilidad de que la variable tome el valor 2 o cualquiera de los inferiores, es decir, 0 o 1. La probabilidad de que la variable tome cualquiera de estos tres valores no es otra que la suma de la probabilidad individual de cada uno de ellos, por lo tanto, F(2)=1/8+3/8+3/8=7/8.
La función de probabilidad acumulada o de distribución de esta variable sería:
F(0) = P(X≤0) = 1/8; F(1) = P(X≤1) = 4/8; F(2) = P(X≤2) = 7/8; F(3) = P(X≤3) = 8/
Si expresamos la función en forma tabular, tendremos:
x 0 1 2 3 F(x)=P(X≤x) 1/8 4/8 7/8 8/
Y si hacemos un gráfico, tendrá esta forma:
Las propiedades de la función de distribución o de probabilidad acumulada son:
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 para cualquier valor de x.
2) Si x 0 y x 1 los valores tales que x 0 ≤x 1 , entonces, F(x 0 )≤F(x 1 ).
2.3. ESPERANZA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Def: la esperanza o valor esperado de una variable aleatoria es una medida de centralización, también se conoce como media y se representa como μx.
E(X) = ∑ x·P(x)
La definición de esperanza puede hacerse en términos de frecuencias relativas a largo plazo. Supongamos un experimento aleatorio se repite N veces y que el suceso “X=x” ocurre en Nx ocasiones. El promedio de los valores que toma la variable aleatoria sobre las N repeticiones será entonces x·Nx/N, cuando el número de repeticiones tiene infinito el cociente Nx/N, que es la frecuencia relativa del suceso x, tiende al valor de P(x), y por tanto x·Nx/N tiende a x·P(x). Así, el valor esperado puede entenderse como el valor promedio que tomaría una variable aleatoria sobre un número grande de repeticiones.
Por ejemplo, la función de probabilidad de la variable X = número de errores en una página de folleto de una gran superficie es la siguiente:
x 0 1 2 P(x)=P(X=x) 0,81 0,17 0,
Si queremos hallar la esperanza de esta variable, es decir, el número de errores que de media encontraremos en una página de un folleto escogida al azar, debemos hacer el producto de cada uno de los valores por su probabilidad y sumar todos los resultados.
μx = E(X) = ∑ x·P(x) = 0·0,81 + 1·0,17 + 2·0,02 = 0,
Def: sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(x) y sea X’ otra variable aleatoria construida en función de la primera: X’=g(X). Entonces, la esperanza de la variable aleatoria X’ se puede definir como E(X’) = ∑g(x)P(x).
Lo que nos indica la definición anterior es que si, por ejemplo, construyésemos una nueva variable aleatoria basada en la anteriormente utilizada que sea "triple del número de errores hallados en una página" tendríamos:
X’=3·X
μx = E(X’)= ∑ 3·x·P(x) = 3·0·0,81 + 3·1·0,17 + 3·2·0,02 = 0,
2.4. VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE VAR. ALEATORIAS DISCRETAS
Def: la varianza y la desviación típica son medidas de dispersión. La varianza se define como la esperanza de la diferencia con la media al cuadrado y se representa con la letra griega σ^2.
σ^2 = E[(X-μx)^2 ] = ∑ (x-μx)^2 ·P(x)
Otra forma de cálculo: σ^2 = E(x^2 ) - μx^2 = ∑ x^2 ·P(x) - μx^2
Volviendo al ejemplo anterior, supongamos ahora que Juan puede abordar a cinco personas en la próxima media hora y piensa que para cada una de ellas la probabilidad de conseguir una venta es 0,4. La distribución del número de ventas X es binominal con n=5 y p=0,4.
Las probabilidades para el número de ventas logradas son:
P(0) = 0,078 P(1) = 0,259 P(2) = 0,346 P(3) = 0,230 P(4) = 0,077 P(5) = 0,
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Para calcular la media y la varianza nos basamos en las ya conocidas de la distribución binominal (1,p):
E(X) = E(X 1 +X 2 +….+Xn) = E(X 1 )+E(X 2 )+ ….+E(Xn) = n·p
Var (X) = (repeticiones independientes) = Var(X 1 +X 2 +….+Xn) = Var(X 1 )+ Var(X 2 )+ ….+ Var(Xn) = n·p·(1-p)
Así, la media o esperanza del número de ventas de Juan sobre cinco personas es:
μx = n·p = 5·0,4 = 2 σ^2 = n·p·(1-p) = 5·0,4·0,6 = 1,
4. LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
La distribución hipergeométrica es una distribución unidad asociada frecuentemente al muestreo. Supongamos que se elige una muestra aleatoria de tamaño n sobre un conjunto de N elementos, S de los cuales son éxitos. La distribución del número de éxitos, variable X, en la muestra se denomina distribución hipergeométrica. Su función de probabilidad es
Ejemplo: una compañía recibe pedidos de 20 artículos, de cada pedido analiza una muestra aleatoria de seis artículos aceptando las remesas si no hay más de uno defectuoso. Calcule la probabilidad de que se acepte un pedido con cinco artículos defectuosos.
N =20, S =5, n = 6
P(aceptar el envio) = P(1) + P(0) = 0,387 + 0,129 = 0,
La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:
μx = n·p σ^2 = n·p·(1-p)·(N-n)/(N-1)
Si el tamaño de la muestra n es muy pequeño en relación al número total de elementos N las probabilidades hipergeométricas son muy parecidas a las binomiales y puede usarse la distribución binominal en lugar de la hipergeométrica. En este caso, el cociente (N-n)/(N-1) toma un valor muy próximo a uno, por lo que la varianza de la hipergeométrica es prácticamente igual que la de la binomial.
5. LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Se utiliza para variables que miden número de ocurrencias de un suceso durante un período de tiempo. Algunos ejemplos podrían ser:
El número de accidentes de tráfico mortales en una región durante una semana El número de llamadas telefónicas que se recibe en un día la centralita de una empresa durante los 15 minutos anteriores al cierre El número de órdenes de devolución de piezas que recibe una empresa una semana El número de veces que fue una pieza de un equipo ha sido reparada durante un periodo de tres meses El número de faltas de asistencia de un empleado durante un año
La función de probabilidad en una distribución de Poisson es:
P(x) = e-λ·λx/x!
La media y la varianza de la distribución son:
μx = λ σ^2 = λ
La representación gráfica de la distribución varía notablemente según el valor que tome la media (λ):
Además de su utilidad “natural”, que es como hemos visto la representación del número de ocurrencias de un suceso en un período de tiempo, la distribución de Poisson tiene también otro uso. Cuando el número de ensayos n es muy grande el cálculo de probabilidades en la distribución binomial se hace muy tedioso. La distribución de Poisson puede utilizarse por aproximación a la binomial, cuando el
Utilizando esta función podemos ver, por ejemplo, que la probabilidad de que ocurra una avería en el primer cuarto del túnel es de 0,25. F(¼) = ¼ = 0,
La representación gráfica de la función de distribución sería la siguiente:
Cuando queremos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria continua toma valores dentro de un intervalo, lo hacemos la siguiente manera:
P(a<X<b) = F(b) – F(a)
Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que una avería en el tramo de túnel comprendido entre los 400 y 600 m haremos lo siguiente:
P(0,4<X<0,6) = F(0,6) – F(0,4) = 0,6 – 0,4 = 0,
Hemos visto que la probabilidad de que una variable aleatoria continua esté entre dos valores cualesquiera puede expresarse en términos de la función de distribución o probabilidad acumulada. Esta función, por tanto, contiene toda la información de la estructura de probabilidad de la variable. No obstante, para algunos propósitos, es más útil otra función. Esta otra función se denomina función de densidad.
6.2. FUNCIÓN DE DENSIDAD
Def: sea X una variable aleatoria continua, y x un número perteneciente al rango de posibles valores de la variable. La función de densidad f(x) de la variable X es una función que tiene las siguientes propiedades: f(x) ≥ 0 para todo x si dibujamos la función de densidad f(x) y escogemos dos posibles valores de la variable a y b, talas que a ≥ b, entonces, la probabilidad de que X tome un valor entre a y b es el área que queda por debajo de la función de densidad entre los dos puntos.
Así, para calcular la probabilidad en un intervalo, lo que debemos hacer es calcular la integral definida de la función de densidad en dicho intervalo, tal como se indica en el dibujo siguiente.
A partir de esta definición de función de densidad, podemos sacar algunas conclusiones más:
El área total bajo la curva de la función de densidad vale 1. El área bajo la curva de la función de densidad a la izquierda de un punto x 0 es el valor de la función de probabilidad acumulada F(x 0 ) en dicho punto.
6.3. SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABES ALEATORIAS CONTINUAS
Sean X 1 , X 2 ,…, Xk k variables aleatorias con medias μ 1 , μ 2 ,…, μk y varianzas σ 12 , σ 22 ,…, σ (^) k^2 , se cumplen las siguientes propiedades:
La media de las suma es la suma de las medias E(X 1 + X 2 + … + Xk) = μ 1 + μ 2 + … + μk
Si la covarianza de las variables es cero (son independientes) la varianza de la suma es la suma de las varianzas. Var (X 1 + X 2 + … + Xk) = σ 12 + σ 22 + … + σk^2
6.4. TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABES ALEATORIAS CONTINUAS
Sea X una variable aleatoria continua con media μx y varianza σx^2 , y sena a y b dos constantes cualesquiera. Podemos definir una nueva variable aleatoria continua Z, tal que, Z = a + b·X. Para esta nueva variables aleatoria:
μz = E(a+bX) = a +b·μx
σz^2 = Var (a + b·X) = b^2 ·σx^2 σz = |b^2 |·σx
Ejemplo: Una empresa estima su gasto en calefacción en el mes de enero, en función de la temperatura, mediante la siguiente fórmula: G = 490 -50T, en la que T es la temperatura media del mes. Suponiendo que podemos representar la temperatura del mes de enero mediante una variable aleatoria continua con media 6 y desviación típica 4, calcule la esperanza y desviación típica del gasto.
Por su parte, la varianza es una medida de dispersión. A mayor varianza, la campana de Gauss se hace más ancha, mientras que cuando la varianza es menor la curva se hace más estrecha.
La función de probabilidad acumulada o función de distribución de una distribución normal tiene esta forma:
En el gráfico se puede apreciar como la probabilidad acumulada crece poco en los extremos (izquierda y derecha), mientras que crece de forma más rápida en el centro (se corresponde con la parte en la que la función de densidad tomo valores más altos).
Def: la distribución normal estándar o tipificada es aquella que tiene media 0 y desviación típica 1. N(0,1)
Es para ésta distribución para la que podemos encontrar tablas de probabilidad. Cualquier otra distribución normal con media y desviación típica conocida puede transformarse en una N(0,1) mediante un proceso al cual denominamos tipificación y que consiste en restar la media y dividir por la desviación típica. Es frecuente utilizar la letra Z para designar a la distribución normal estándar.
7.1. EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE (TCL)
Un aspecto destacable del modelo Normal consiste en que es distribución límite de multitud de sucesiones de variables aleatorias, discretas y continuas. Esto se demuestra a través del Teorema Central del Límite (TCL) , que de manera intuitiva y operativa se puede describir de la siguiente forma:
Teorema Central del Límite: “Si tenemos una sucesión de variables aleatorias independientes (que se organiza como una suma de numerosas variables aleatorias), con la misma distribución y, con media y varianza finitas, la media aritmética de ellas (o la suma de las variantes) converge a una variable aleatoria con distribución normal”.
Por ello, el teorema central de límite justifica que en determinadas condiciones sumas de variables aleatorias siguen una distribución aproximadamente normal.
Sean x 1 ,...xn, n variables aleatorias independientes igualmente distribuidas con media finita μ y desviacion típica σ, si n ≥ 30, se puede definir la variante suma “S” que sigue una N(μ,σ), siendo:
E(S) = E(x 1 +x 2 +...+ xn) = E(x 1 )+E(x 2 )+...+E(xn) = n E(xj) = μ V(S) = V(x 1 +x 2 +...+ xn) = V(x 1 )+V(x 2 )+...+V(xn) = n V(xj) = σ^2.
7.2. DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL
VER ARCHIVO: “Distribuciones derivadas de la normal.pdf”
