¡Descarga estadistica 2 tema 3 y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II
Tema 3: Estimació puntual
Tema 3: Estimació puntual 2.1. Conceptes
d’estimador i d’estimació.
2.2. Propietats
dels estimadors.
2.2.1. No biaix (
insesgadez
2.2.2. Eficiència (menor variància).2.2.3. Menor EQM. Consistència en EQM.
2.3. Mètodes d’estimació
2.3.1. Mètode dels moments.2.3.2. Mètode de la màxima-versemblança.
2.1. Conceptes d’estimador
i d’estimació
.
Sigui
un paràmetre poblacional desconegut.
Notarem amb
un estimador d’aquest paràmetre poblacional.
ESTIMADOR Càlcul realitzat a partir de la mostra (de les observacions mostrals)amb l’objectiu d’obtenir un pronòstic sobre el valor desconegut d’unparàmetre poblacional. Un estimador és un estadístic mostral
i, per tant, una v.a.
amb una
determinada distribució en el mostratge
i, també, una esperança, una
variància, una d.e., etc.
ESTIMACIÓ Valor que pren l’estimador per a una determinada mostra.^ Estimador
) vers
estimació
Per avaluar la bondat d’un estimador s’han d’analitzar les característiques de la seva distribució mostral
; s’ha de pensar en
totes les estimacions que l’estimador proporcionaria si es fes unmostratge (i les probabilitats d’aquestes estimacions).En l’apartat següent esmentarem tot un seguit de propietats desitjables per a la distribució en el mostratge d’un estimador (d’un paràmetre poblacional).
2.2. Propietats
dels estimadors.
2.2.1. No biaix (
insesgadez
).
ERROR D’ESTIMACIÓ Diferència entre l’estimació (el pronòstic) i el veritable valor delparàmetre poblacional. Abans de disposar de la mostra i, per tant, de l’estimació, l’error d’estimació és una variable aleatòria
(perquè
ˆ θ
ho és).
BIAIX D’UN ESTIMADOR Valor esperat dels errors d’estimació associats a les estimacions quel’estimador proporcionaria en el mostratge.
Donat que:
θ θ θ θ θ θ θ
E E E E e E b
BIAIX D’UN ESTIMADOR (definició alternativa) Diferència entre el valor esperat d’un estimador i el paràmetrepoblacional que té per objectiu estimar. Una bona propietat per a un estimador és que sigui no esbiaixat. ESTIMADOR NO ESBIAIXAT (
INSESGADO
)
Estimador sense biaix (o amb biaix igual a zero).Estimador el valor esperat del qual coincideix amb el paràmetre quepretén estimar. Estimador que, en mitjana, encerta en el paràmetre.
Un estimador esbiaixat (
dolent
) pot ser-ho a l’alça o a la baixa.
ESTIMADOR ESBIAIXAT A L’ALÇA L’estimador sobreestima, en mitjana
, el paràmetre; té un biaix positiu
.
La mitjana de totes les possibles estimacions (que proporcionarial’estimador en el mostratge) estaria per sobre
del paràmetre.
ESTIMADOR ESBIAIXAT A LA BAIXA L’estimador subestima, en mitjana
, el paràmetre; té un biaix negatiu
.
La mitjana de totes les possibles estimacions estaria per sota
del
paràmetre.
Exemples: La mitjana mostral és un estimador no esbiaixat de la mitjana poblacional
ja que el seu valor esperat coincideix amb el valor
d’aquest paràmetre. Efectivament: La variància mostral és un estimador no esbiaixat de la variància poblacional
ja que el seu valor esperat coincideix amb el valor
d’aquest paràmetre. Efectivament:
Trucs per aconseguir estimadors no esbiaixats a partir d’estimadorsque sí ho són. 1. Sigui
b ˆ θ
un estimador esbiaixat
dolent
) d’un paràmetre
θ
l’esperança del qual té la següent expressió:
k
E
b
Apunt: Com que
k
E
b^
b θ
és esbiaixat.
En aquest cas, el següent estimador serà no esbiaixat
bo
Efectivament:
- Sigui
b ˆ θ
un estimador esbiaixat
dolent
) d’un paràmetre
θ
l’esperança del qual té la següent expressió:
k
E
b
Apunt: Com que
θ
θ
θ
k
E
b
b
és esbiaixat.
En aquest cas, el següent estimador serà no esbiaixat
( bo
Efectivament:
Exemple: Hem dit abans que la
DQM
era un estimador esbiaixat de
2 σ
.
n
X
X
DQM
i
∑
−
=
2 )
(
2
2
1
)
(
σ
σ
≠
−
=
n n
DQM
E
Aplicant el truc 2, el següent estimador serà no esbiaixat (bo): ja que
σ
σ
n n
n
n
DQM
E
n
n
DQM
n
n
E
Aquest estimador no esbiaix. de
2 σ
resulta ser la variància mostral.
2
2
2
2
1
) ( ) ( 1 1 ˆ
S
n
X
X
n
X
X
n
n
DQM
n
n
i
i
nb
=
−
− = − − = − =
∑
∑
σ
Estimadors assimptòticament no esbiaixats Estimadors esbiaixats el biaix
dels quals es va reduint
conforme
n
(la
mida de la mostra) augmenta i és zero
per a
n
igual a infinit.
El valor esperat
d’un estimador assimptòticament no esbiaxiat s’acosta
cada vegada més al paràmetre
conforme
n
creix.
Exemple:
La DQM (com a estimador de
2 σ
). Efectivament:
n
X
X
DQM
i
∑
−
=
2 )
(
2
1
)
(
σ
n n
DQM
E
−
=
n
DQM b
2
)
(
σ − =
Si
10
n
2
2
(^90) , 0
(^910)
)
(
σ
σ
=
=
DQM
E
i^
2
2
(^10) , 0
10
)
(
σ
σ
−
−
DQM b
Si
100
n
2
2
(^99) , 0
(^99100)
)
(
σ
σ
=
=
DQM
E
i^
2
2
(^01) , 0
100
)
(
σ
σ
−
−
DQM b
Si
1000
n
2
2
(^999) , 0
(^9991000)
)
(
σ
σ
=
=
DQM
E
i^
2
2
(^001) , 0
1000
)
(
σ
σ
−
−
DQM b
Si
∞
n
2
)
(
σ
DQM
E
i^
0
)
(^
=
DQM b
2.2.2. Eficiència (menor variància). D’entre dos estimadors no esbiaixats, quin serà millor estimador? Aquell amb una menor variància
, doncs hi haurà una probabilitat
més alta que prengui un valor
proper
al paràmetre.
Es diu que aquell estimador amb menor variància és més eficient que un altre amb una variància més gran (en el mostratge).EFICIÈNCIA RELATIVA Quocient de les variàncies de dos estimadors no esbiaixats.
Exemple
:^
PREGUNTA 3-
Sean los siguientes dos posibles estimadores de la media de unapoblación, definidos a partir de una muestra aleatoria simple de sólo2 observaciones.
2
1
1
X
X
μ
2
1
2
X
X
μ
Entonces, indica la afirmación falsa
a)
1 ˆ μ
es la media muestral y es un estimador insesgado de
μ
independientemente del tamaño de la muestra; por tanto,incluso cuando la muestra es pequeña.
b)
2 ˆ μ
es una media ponderada y también es insesgada.
c)
1 ˆ μ
es más eficiente que
2 ˆ μ
por tener una mayor varianza.
d)
2
1
μ
μ
V
V
Exemple (EQM): PREGUNTA 3-33 Sean dos estimadores alternativos
ˆ^1
θ
y
2 ˆ θ^
de una característica
poblacional
θ
. Ambos son estimadores sesgados, con sesgos
iguales a 5 y 3, respectivamente. Entonces, ¿bajo qué condiciónserá preferible el primer estimador al segundo?
a) Cuando
1
2
θ
θ
Var
Var
b) Cuando
2
1
θ
θ
Var
Var
c)
Cuando
1
2
θ
θ
Var
Var
d) Cuando
1
2
θ
θ
Var
Var
Consistència en EQM ESTIMADOR CONSISTENT Estimador l’EQM del qual es va reduint conforme augmenta
n
i és zero
per a
n
igual a infinit.
Un estimador consistent millora amb la mida de la mostra; serà mésprobable obtenir (amb ell) una estimació
propera
al paràmetre.
Aquesta propietat demana que les dues components de l’EQM, biaix ivariància, tendeixin a zero conforme
n
creix.
lim
lim
lim
θ θ
θ
b V
EQM
(*L’estimador ha de ser no esbiaixat o assimptòticament no esbiaixat)
Una propietat dels estimadors consistents:Si un estimador d’un paràmetre poblacional és consistent, podrem estimar de forma consistent una funció del paràmetre amb la mateixa funció de l’estimador. Esquemàticament: Apunt:
Per aquesta propietat és que els estimadors pel mètode dels
moments són consistents.
Exemple (resum de propietats)
PREGUNTA 3-
Sea el siguiente un posible estimador de la media poblacional:
∑
= n
x n i
i
Indique cuál de las siguientes afirmaciones es cierta
a)
Se trata de un estimador insesgado
de la media poblacional.
b)
Su varianza
es igual a
2
σ
n
n
c)
Es un estimador consistente
d)
Todas son ciertas.
La mitjana mostral: el millor estimador de la mitjana poblacional La mitjana mostral té totes les propietats desitjables per a unestimador:
És no esbiaixat
: el seu valor esperat és igual a la mitjana pob.
És l’estimador no esbiaixat de menor variància
; per tant, l’estimador
amb el què es té una probabilitat més alta d’acostar-se alparàmetre (la mitjana de la població).
És consistent
: la seva variància es redueix conforme
n
creix.
Una altra propietat interessant és la seva linealitat:
X
és una
funció lineal
de les (
n
) obsservacions mostrals.
Es diu (en castellà) que
2.3. Mètodes d’estimació
MÈTODE D’ESTIMACIÓ Procediment teòric que té per objectiu obtenir un estimador
amb
bones propietats per a un paràmetre poblacional.Per tant, el resultat d’aplicar un mètode d’estimació serà una fórmula, un estimador
, i no pas una estimació (un valor).
Comentarem dos mètodes d’estimació: el mètode dels moments,senzill i intuïtiu, i el mètode de la màxima-versemblança, méscomplicat però també més potent.
2.3.1. Mètode dels moments. 2.3.2. Mètode de la màxima-versemblança.
2.3.1. Mètode d’estimació dels moments Requereix igualar moments mostrals als corresponents poblacionalstants com paràmetres a estimar (posem
k
)
per a obtenir un sistema de (
k
) equacions
amb (
k
) incògnites (els paràmetres)
que s’haurà de resoldre per a obtenir els (
k
) estimadors.
Moments mostrals
Moments poblacionals
1
r
X
X n
a
i^
=
=
∑
1
μ
α
=
=
)
(
1
X E
2
r
X n
a
i
∑
2
2
)
(
2
2
X E =
α
etcètera.
2.3.2. Mètode d’estimació de la màxima-versemblança. FUNCIÓ DE VERSEMBLANÇA D’UNA MOSTRA Funció que proporciona la probabilitat
que hi hauria d’observar una
mostra
, que es considera donada, conforme varia el valor del
paràmetre
que caracteritza la població.
Així, l’argument d’aquesta funció, que es nota
L
(de
likelihood
,
versemblança en anglès), és el paràmetre poblacional. L’expressió matemàtica d’aquesta funció és la de la funció de probabilitat conjunta de la mostra
(
P
C
, si la variable és discreta, o
f
C
, si
la variable és continua) que proporciona, per a un valor donat del paràmetre, la probabilitat de les diferents mostres de mida
n
.
→
→
n
x
P
amb
discreta X
X^
) ; (
θ
(^
)^
(^
)^
∏
=
) ;
(
);
,...,
(
)
,...,
( ;^
1
1
θ
θ
θ
i
X
n
C
n^
X P X X P X X L → →
n
x
f
amb
contínua X
X
) ; (
θ
(^
)^
(^
)^
∏
=
) ;
(
);
,...,
(
)
,...,
(;
1
1
θ
θ
θ
i
X
n
C
n^
X f X X f X X L
ESTIMADOR MÀXIM-VERSEMBLANT (D’UN PARÀM. POB.) Aquell que fa màxima la versemblança de la mostra.Aquell pel qual la derivada de
L
(funció de versemblança de la mostra)
és igual a zero. Procediment
(per a obtenir l’estimador
MV
d’un paràmetre pob.):
Obtenir
L
, la funció de versemblança de la mostra.
Obtenir
l
, la funció logaritme neperià de
L
(que té el mateix màxim
que
L
i una expressió matemàtica més fàcil de derivar).
Derivar
l
respecte el paràmetre
θ
.
Igualar la derivada a zero i resoldre l’equació per a
θ
per a
obtenir ja
MV ˆ θ
.
Els estimadors MV tenen bones propietats assimptòtiques.
Exemple (població discreta):
?)
(
=
=
p
Bernoulli
X
} 1 , 0 {
)
(^1) (
)
; (^
1
=
−
=
−
x p p p x P
x
x
X
n
p
Bernoulli
X
→
=
=
?)
(
L’estimador MV d’una proporció poblacional és la proporció mostral.
Exemple (població continua):^ PREGUNTA 3-50 Sea
X
una variable aleatoria continua
exponencial
con función de
densidad:
−
x
para
e
x
f^
x α
Entonces, el estimador máximo-verosímil del parámetro
α
es:
a)
∑
i x n
α
ˆ^
b)
n
x
i
∑
α
c)
∑
i x
n
ln
ˆ α
d)
∑
i x
n
ln
ˆ α
