¡Descarga estadística y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
ESTADÍSTICA
**1. Introducció a la probabilitat
- Població, variables i distribucions
- Mostres i estadístics
- Tests d’hipòtesis**
1. Introducció a la probabilitat
Experiments aleatoris i esdeveniments aleatoris. Freqüència i probabilitat. Propietats de la probabilitat
Exemples: llançament d’una moneda o d’un dau (resultats no numèrics i resultats numèrics), el pes d’un peix recollit en un llac, l’alçada d’un alumne seleccionat a l’atzar. Freqüència (o freqüència absoluta) d’un esdeveniment: nombre de vegades que ocorre un esdeveniment en n proves. És un nombre no negatiu i menor o igual que n. Freqüència relativa : freqüència absoluta / n. És un nombre no negatiu i menor o igual que 1. Probabilitat d’un esdeveniment = “límit” de la freqüencia relativa quan n tendeix a infinit. És un nombre no negatiu i menor o igual que 1(és un “tant per ú”. Equivalentment es pot parlar de tant per cent multiplicant la probabilitat per cent o equivalentment dividint la freqüència absoluta per n /100 per comptes de fer-ho per n.
Propietats de la probabilitat:
1)Probabilitat de l’esdeveniment segur (“que ocorri qualsevol de totes les possibilitats”) =1 (la freqüència relativa és 1 sempre)
2) Probabilitat de l’esdeveniment impossible (per exemple treure un 7 llançant un dau) = 0.
3) P(no A ) = Probabilitat de l’esdeveniment “complementari” de A = 1- probabilitat de A = 1- P( A ).
Exemples: probabilitat que no surti un 6 en llançar un dau = 5/6 = 1-1/6. Probabilitat que una persona escollida a l’atzar mesuri més de 180 cm si sabem que la probabilitat que una persona escollida a l’atzar mesuri menys de 180 cm és de 0. (un 85%) = 1-0.85 = 0.15.
4) Probabilitat que passi un esdeveniment A o un altre B quan no poden ocórrer a l’hora = P( A ) + P( B ) Exemples:
- Probabilitat de treure un 2 o un 4 llançant un dau = 1/6 + 1/6 = 1/
- Si en un llac el 60% dels peixos són carpes i el 10% truites, la probabilitat que al pescar a l’atzar un peix es tracti d’una carpa o una truita és 0.6 + 0.1 = 0.
- En canvi: probabilitat que en llançar un dau s’obtingui un múltiple de 2 o de 3 = probabilitat d’obtenir un 2, un 3, un 4 o un 6 = 4/6 = 2/3 < probabilitat de múltiple de 2 + probabilitat de múltiple de 3 = probabilitat de 2, 4 o 6 + probabilitat de 3 o 6 = 3/6 + 2/6 = 5/
De fet més en general es té: 5) Probabilitat de A o B = Probabilitat de A + Probabilitat de B – Probabilitat de A i B
6) Si A i B són independents, llavors Probabilitat (A i B) = Probabilitat (A) · Probabilitat (B) Dos esdeveniments es diuen independents si el coneixement que passa un d’ells no canvia la probabilitat que passi l’altre.
Exemple 1) Suposem un dau que té pintades de vermell les cares que contenen l’1, el 2, el 3 i el 4, i són blanques les cares 5 i 6. L’esdeveniment surt un nombre parell és independent de l’esdeveniment la cara és de color vermell : la freqüència del nombre de resultats parells dividit pel nombre de proves si aquestes són moltes (3/6 = 1/2) coincideix amb la freqüència relativa del nombre de resultats parells quan només tenim en compte els llançaments en què la cara del dau ha sortit de color vermell (2/ = 1/2) perquè quan només “registrem” les cares de color vermell, observem només uns, dosos, tresos i quatres, i la meitat són parells). És a dir, la informació del color de la cara no canvia la probabilitat que el número sigui parell o senar. Llavors tindrem
P(cara vermella i número parell) = P( 2 o 4 ) = 2/6 = 1/3 , i, P(cara vermella) · P(número parell) = P( 1, 2, 3 o 4 )·P(2, 4 o 6) = 4/6 ·3/6 = 1/.
Atenció: si, per exemple, pintéssim només de vermell l’1, el 2 i el 3, aleshores obtenir un nombre parell i obtenir una cara vermella ja no serien esdeveniments independents. Per què? Probabilitat d’un nombre parell = 1/ Probabilitat d’un nombre parell sabent que la cara és vermella = 1/ P(cara vermella i número parell) = P(2) = 1/ P(cara vermella) · P(número parell) =P(1, 2 o 3) · P(2, 4 o 6) = 3/6 · 3/6 = 1/.
Exemple 2) Si la sex-ratio de dues espècies de peixos és igual (per exemple a 1:1) llavors l’esdeveniment extreure un peix de la primera espècie és independent de l’esdeveniment el peix extret és una femella (saber de quina espècie és el peix no canvia la probabilitat que sigui mascle o femella i saber el sexe del peix no canvia la probabilitat que sigui d’una espècie o de l’altra).
Exemple (més important): resultats de proves repetides del mateix experiment en les mateixes condicions: a) llançaments successius de dau o moneda b) extraccions amb reemplaçament o d’un contenidor (un llac, el mar) molt gran c) escollir a l’atzar mostres de poblacions grans
Això és així perquè la probabilitat que es donin k “èxits” en un ordre determinat (per exemple, que les k primeres proves resultin en èxit i les altres n – k en fracàs, o qualsevol altre ordre) és,
per la independència de les proves, p k^ ( 1 p ) n k , mentre que el nombre de diferents ordres
possibles és igual a comptar de quantes formes es poden escollir k llocs d’entre els n. Per exemple, si n = 5 i k = 3, tindrem
EEEFF EEFEF EEFFE EFEEF EFEFE EFFEE FEEEF FEEFE FEFEE FFEEE
El resultat és el nombre combinatori !( )!
k n k
n n
nn n n k k
n
.
Exemple. Quina és la probabilitat que una parella amb 5 fills tingui 3 nenes (i dos nens)?
^
^3 5 ^30. 493 0. 512
P ( X 3 ) 0.
Quina és la probabilitat que tingui almenys 3 nenes?
3 2 4 5 0
3 53 4 54 5 55
P X PX P X P X
Observació: ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1
0 0
^
^
n n
k
k n k n
k
p p p p k
n P X k
Binomial (5, 0.49)
Funció de distribució o de probabilitat acumulada:
F ( x ) P ( X x )
partsencerade x
k
P X k 0
Binomial (5, 0.49)
Exemple Si 1 x 2 ,
( ) ( ) ( 0 o1) ( 0 ) ( 1 )
(^0 01) (^1) (^05) (^14)
n p pn n p p n
F x PX x P X P X P X
Valor esperat o esperança o mitjana teòrica d’una distribució S’anomena valor esperat d’una variable aleatòria discreta a la suma de tots els valors de la variable multiplicats per la seva probabilitat. En el cas binomial:
EX =
0
n
k
k PX k
n
k
k n k n
k
k nk pp p k n k
n p p n k n k
n k 1
1 1 ( 1 ) 1
^
j j n
j
p p j
n np ( 1 )
0
np.
És important perquè és al valor al què tendeix la mitjana aritmètica dels valors de repetides proves (independents) de la variable. Exemple. En l’exemple anterior, si observem un nombre gran de parelles que tenen 5 fills, cal esperar que la mitjana del nombre de nenes per parella sigui aproximadament np 5 · 0. 49 2. 45.
La distribució de Poisson Una altra distribució discreta important és l’anomenada de Poisson. La presenten les variables que compten, en un cert període de temps, el nombre d’esdeveniments d’un tipus concret quan aquests ocorren per accident (en el sentit que la probabilitat que passi un esdeveniment durant un interval de temps curt a partir de cada instant és proporcional a la durada de l’interval i no depèn del temps que fa que no ocorre cap esdeveniment). També apareix com a límit de la
distribució binomial quan p és petita i n gran de forma que np , on no és massa petit ni
massa gran. La funció de probabilitat és de la forma
, 0 , 1 , 2 ,... !
( ) ^ k k
P X k e
k
Certament, com l’esdeveniment segur té probabilitat 1,
1 !!
0 0 0
^ ^
k
k
k
k
k k
e k
PX k e ^ ^ .
Aquesta igualtat és equivalent a una altra molt important, que permet calcular la funció exponencial:
.
k
k
k
e
^
El valor esperat d’una distribució de Poisson es calcula
EX
1 0
1
0 1! (^1 )!!
k
j
k
k
k
k
k
e e j
e k
e k
k P X k e k ^
Exemple 1. En certa població se sap que es produeixen morts per accident amb una mitjana de 4 morts per any. Quina és la probabilitat que morin 2 individus per accident en un any determinat? I que no hi hagi cap mort?
- 1465 2!
2 P X e ^4
0 P X e ^4
El nombre de bacteris en la solució final (i per tant el nombre de colònies) té distribució de
Poisson amb mitjana 3 10
8
6
. Per tant, cal esperar 3 colònies i,
b) P ( X 0 ) e ^3 0. 05
c)
4 3
3 3
2 3 3 3
e ^ e e e e
P X PX P X P X P X P X
d)
3!
3 P X P X e ^3
Variables contínues i funció
densitat
Exemple: contingut de glòbuls vermells en sang
Milions per ml
Freqüèn cia
freq. relativa
3.2-3.4 4 0, 3.4-3.6 (^21) 0,
3.6-3.8 (^63) 0,
3.8-4.0 (^237) 0,
4.0-4.2 (^624) 0,
4.2-4.4 (^965) 0,
4.4-4.6 (^1237) 0,
4.6-4.8 (^852) 0,
4.8-5.0 (^514) 0,
5.0-5.2 (^188) 0,
5.2-5.4 (^42) 0,
5.4-5.6 (^13) 0,
5.6-5.8 (^2) 0, Totals: 4762 1
Milions per ml
Fre qüència
F freq. relativa
fr. rel. cor.
3.2-3.4 4 0,00084 0, 3.4-3.6 (^21) 0,00441 0,
3.6-3.8 (^63) 0,01323 0,
3.8-4.0 (^237) 0,049769 0,
4.0-4.2 (^624) 0,131037 0,
4.2-4.4 (^965) 0,202646 1,
4.4-4.6 (^1237) 0,259765 1,
4.6-4.8 (^852) 0,178916 0,
4.8-5.0 (^514) 0,107938 0,
5.0-5.2 (^188) 0,039479 0,
5.2-5.4 (^42) 0,00882 0,
5.4-5.6 (^13) 0,00273 0,
5.6-5.8 (^2) 0,00042 0, Totals: (^) 4762 1
- Si la funció densitat f és estrictament positiva, llavors existeix la funció inversa
F ^1 ( p )per a tot p ( 0 , 1 ).
b a P ( a X b ) f ( x ) dx Àrea de la regió de color
= (^)
b f ( t ) dt - (^)
a f ( t ) dt =
F ( b ) - F ( a )
Si la funció densitat és parell ( f ( x ) f ( x )), és a dir, simètrica respecte 0, llavors tindrem addicionalment, ( 0 ) ( 0 ) () 0. 5
0 P X F (^) f t dt
I també: P ( X x ) P ( X x ), o
equivalentment,
1 F ( x ) 1 P ( X x ) P ( X x ) F ( x )
F ( x ) F ( x ) 1
Distribució normal N (, )
És la distribució més important perquè és la més freqüent a la pràctica. Per exemple pesos i longituds es distribueixen “normalment”. La densitat d’una variable normal amb
mitjana i desviació típica és
2
2 2
( )
2
( )^
x f x e
Distribució d’alçades d’una població ( 170 cm , 11 cm )
Distribució d’alçades d’una població ( 170 cm , 11 cm )
Distribució d’alçades d’una població ( (^) 170 cm, 16 cm) Distribució d’alçades d’una població ( (^) 170 cm, 5 cm)
Càlcul de probabilitats per a distribucions normals: “tipificació”
Es pot demostrar fàcilment que si X és una variable aleatòria normal amb mitjana i
desviació típica llavors la seva funció distribució compleix ( ) ( ).
x F (^) X x N
Exemples 1) a)Calculem la probabilitat que una variable normal (0,1) sigui més gran que 1. P ( X 1 ) 1 P ( X 1 ) 1 N ( 1 ) 1 0. 841 0. 159
b) Determinem un valor ( crític ) z tal que la probabilitat que el valor absolut d’una variable N (0,1) sigui més gran que z valgui 0.05.
2 ( 1 ( )) 2 ( 1 ( )) 1 ( ) 0. 025 ( ) 0. 975 ( 0. 975 ) 1. 96
- 05 ( ) ( oX ) ( ) ( ) 2 ( ) ^1
PX z N z N z N z z N
P X z PX z z PX z PX z PX z
2) Suposem que el pes dels peixos d’un llac és normal amb mitjana 3.2 quilos i desviació típica 1.2. Calculem la probabilitat que un peix pesi entre 2 i 4 quilos.
N N N N
P X FX FX N N
3) Sabent que la distribució en alçades d’una població té mitjana 170cm i desviació típica 16, calculem la probabilitat que un individu escollit a l’atzar mesuri entre 175 i 180 cm. I que mesuri més de 160 cm. Trobeu una alçada tal que només el 15% dels individus la superin.
a) ( 0. 625 ) ( 0. 312 ) 0. 734 0. 622 0. 112.
N N
P X FX FX N N
b) 1 ( 0. 625 ) ( 0. 625 ) 0. 734.
N N
P X P X FX N
c)
170 16 · 1. 036 186. 6 cm
1
z
N
z z N
z P X z P X z FX z N
Un estadístic és qualsevol funció dels valors mostrals que no depèn de paràmetres desconeguts. Per a una variable aleatòria amb distribució coneguda (per exemple normal), un dels objectius més importants de l’Estadística Matemàtica és conèixer (calcular) la distribució dels estadístics d’una mostra d’aquesta variable. Això és així perquè, donada una mostra concreta, permet inferir propietats de la distribució de la població corresponent, comparant els valors dels estadístics calculats per a aquesta mostra concreta amb la distribució teòrica.
Mitjana. Variància mostral.
L’estadístic més important és la mitjana (aritmètica) de la mostra que es defineix per
(^) (^) n X (^) n i 1 Xi
on els Xi són els valors mostrals. És una mesura de tendència central, és
a dir, mesura la tendència general de la mostra. Si la distribució de la població (i per tant dels valors mostrals) és normal amb mitjana (valor esperat) i desviació típica
llavors la distribució de la mitjana és normal amb valor esperat també i
desviació típica n
Distribució (densitat) d’alçades d’una
població ( 170 cm , 11 cm ) Distribució (densitat) de la mitjana d’una
mostra de mida 50 de la mateixa població
Exemple. Se sap que la mitjana d’hores de son de certa població és de 7 hores i mitja amb una desviació típica de 45 minuts. S’han fet proves a una mostra de 10 persones. Quina és la probabilitat que la mitjana d’hores de son d’aquestes 10 persones superi les 8 hores? (suposar distribució normal)
Les hores que dorm un individu és X amb distribució N(7.5, 3/4). Per tant, la distribució
de l’estadístic X és N ( 7. 5 , 0. 75 / 10 ) N ( 7. 5 ,0.237). Llavors tindrem
) 1 ( 2. 11 ) 1 0. 9826 0. 0174
- 237
P X P X FX N N
En canvi fixem-nos que la probabilitat que una persona triada a l’atzar dormi més de 8 hores és molt més gran:
) 1 ( 0. 66 ) 1 0. 745 0. 255
- 75
P X P X FX N N
Distribució 2 ( Kh i-quadrat ).
Si X és una variable N (0,1), el quadrat de X és una nova variable (que no pren valors negatius) i la seva distribució s’anomena Khi-quadrat amb un grau de llibertat. La densitat val:
0 2
0 0 ( ) 2 si x x
e
six f x
x
Densitat de la distribució 2 amb un grau de
llibertat
Funció de distribució 2 amb un grau de llibertat
Si Xi és una mostra aleatòria normal (0,1), (^) (^) n i 1 Xi
(^2) té una distribució que s’anomena
Khi-quadrat amb n graus de llibertat.
Funcions de densitat ^2
Un altre estadístic molt important és la variància de la mostra que es defineix com ( ) 1
1
2 1
(^2 2) X nX n
X X
n
S
n i
i
n i
i
S S^2 es diu desviació típica de la mostra. S^2 , i per tant S , mesuren la dispersió dels valors mostrals. En particular valdrien 0 si tots els valors mostrals fossin iguals.
