¡Descarga estadistica y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
ESTAD´ISTICA en el Grado en CIENCIAS AMBIENTALES
CURSO 2013/
HOJA DE EJERCICIOS 1: ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA
UNIVARIANTE
- Un psic´ologo escolar quiere estudiar la puntuaci´on obtenida por un grupo de 100 estudiantes de bachillerato en un test de inteligencia, a partir de diversas informa- ciones que posee sobre ellos. Los datos acerca de los estudiantes est´an almacenados en una base de datos, cuya estructura se muestra en la siguiente tabla:
Nombre Apellido Edad Sexo Curso Lengua Matem´aticas Carlos Sanz 16 M 2 7.5 5. Rosa Morena 17 F 3 8.5 9 C´esar Calvo 15 M 1 3.5 4
......
¿Cu´antas observaciones tiene la base de datos? ¿Cu´antas variables? Describe deta- lladamente de qu´e tipo es cada variable.
Soluci´on:
El n´umero de individuos observados en la muestra es 100, Se han realizado observaciones de 7 variables diferentes: Nombre, Apellido, Edad, Sexo, ... Tipo de variables:
- Nombre y Apellido son cualitativas (en realidad ´estas podr´ıan considerarse etiquetas de cada individuo y no variables).
- Edad: Cuantitativa discreta (se ha medido de forma discreta en a˜nos).
- Sexo: Cualitativa.
- Lengua y Matem´aticas: son ambas cuantitativas continuas.
- En la recolecci´on de datos referentes al n´umero de casos de lobo ib´erico avistados en diferentes h´abitats de la cordillera Cant´abrica se han perdido algunos datos que hacen que se disponga de informaci´on incompleta. La tabla de frecuencias que tenemos es la siguiente:
H´abitat nj Nj fj Fj A 40? 0.40 0. B??? 0. C 18??? D???? E 2 100 0.02 1
Calcula los valores que faltan en la tabla de frecuencias.
Soluci´on: Los valores que faltan son:
H´abitat nj Nj fj Fj A 40 40 0.40 0. B 16 56 0.16 0. C 18 74 0.18 0. D 24 98 0.24 0. E 2 100 0.02 1
- Un profesor ha perdido el examen de uno de sus 10 alumnos. Si sabe que las ca- lificaciones de los dem´as alumnos fueron 4, 6.5, 7.8, 2.1, 9, 5.2, 5.5, 6 y 3.9 y que la media de las calificaciones de los 10 alumnos es 5.7, ¿cu´al es la calificaci´on que falta? Soluci´on: La calificaci´on que falta es un 7.
- El peso medio de los machos del buitre leonado en la Pen´ınsula Ib´erica es de 7 kilogramos y el de las hembras de esta especie es de 11 kilogramos. ¿Puede afirmarse que el peso medio de todos los ejemplares de este ave en la Pen´ınsula Ib´erica es de 9 kilogramos? Soluci´on: No, no se puede afirmar esto, ya que para calcular la media del peso de todos los ejemplares necesitamos conocer la frecuencia de cada sexo, es decir, el % de buitres que son machos y el % de hembras.
- (Se aconseja realizar c´alculos manualmente y comprobarlos con ayuda de R). A continuaci´on aparecen los datos del peso de una muestra de 21 lobos ib´ericos de un zool´ogico (son los datos correspondientes a la tabla de frecuencias de la trasparencia 28 de teor´ıa).
Soluci´on:
(a) ¿Cu´al es el rango del peso de los lobos?. Dado que xmax = 64 y xmin = 41, el rango es:
R = 64 − 41 = 23 Kilogramos
(b) Usando una divisi´on de la variable peso en 5 intervalos, calcula la distribuci´on de frecuencias absolutas, relativas y las correspondientes acumuladas. La tabla de frecuencias con los datos del peso de los lobos agrupados en 5 intervalos quedar´ıa:
Responder de forma razonada a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cu´al de los cuatro tipos de pescado presenta la mayor amplitud (o rango)? Soluci´on: Las truchas son el tipo de pez que presenta una mayor amplitud en la concentraci´on de dioxinas. Su valor m´ınimo es aproximadamente 2 ppt, y el m´aximo aproximadamente 33 ppt, por lo que su rango o amplitud es aproxima- damente 30 ppt. Las amplitudes aproximadas de la concentraci´on de dioxinas en carpas, salmones y lucios son 25 ppt, 19 ppt y 20 ppt, respectivamente, todas ellas inferiores a 30 ppt. b) Si el individuo nunca ingiere pescados que contengan m´as de 10 ppt, ¿qu´e por- centaje de las carpas que ha capturado podr´a comerse? Soluci´on: En el diagrama de caja podemos observar que 10 ppt es el primer cuartil de la concentraci´on de dioxinas en las carpas (Q1 = 10), lo cual indica que la proporci´on de carpas con concentraciones inferiores a 10 ppt es 0.25 o el 25 %. Puesto que el individuo ´unicamente ingiere pescados con concentraciones de dioxinas inferiores a 10 ppt, s´olo podra comerse un 25 % de las carpas que ha pescado. c) ¿Para cu´al de las cuatro especies de pez es mayor la concentraci´on media de dioxinas? Soluci´on: Puede observarse que tanto los lucios como los salmones, que son los que mayor mediana tienen, presentan ambos una mediana de 25 ppt en la concentraci´on de dioxinas. Sin embargo, la distribuci´on de los salmones es
marcadamente asim´etrica hacia la derecha, mientras que las de los lucios lo es hacia la izquierda. Esto implica que la media de los salmones es superior a 25 ppt, y la de los lucios menor que 25 ppt. En cuanto a las carpas y truchas, su distribuci´on de frecuencias est´a bastante m´as a la izquierda que la de los salmones, y es claro que sus medias son inferiores a 25 ppt. Luego son los salmones el tipo de pescado con la mayor concentraci´on media de dioxina. d ) El individuo, seriamente enfadado, decide arrojar contra la planta de celulosa todos los peces con m´as de 20 ppt de dioxinas, ¿qu´e porcentaje de las truchas que ha pescado arrojar´a? ¿qu´e porcentaje de salmones? ¿y de lucios? Soluci´on: El individuo arroja contra la planta de celulosa todos los peces con m´as de 20 ppt de dioxinas. Observamos que: 20 ppt es la mediana de la concentraci´on de dioxinas de las truchas, por lo que la mitad de las truchas superan los 20 ppt. todas las concentraciones correspondientes a los salmones est´an por encima de 20 ppt. 20 ppt es el primer cuartil de la concentraci´on de dioxinas de los lucios, por lo que las tres cuartas partes de los lucios superan los 20 ppt. Luego el individuo arrojar´a contra la empresa papelera el 50 % de las truchas, el 100 % de los salmones y el 75 % de los lucios.
- Los usuarios de cierto cibercaf´e a lo largo de un a˜no se distribuyen por edades seg´un el siguiente cuadro:
Edad 12-14 15 16 17 18 19 20 21 22- N´umero de usuarios 199 241 230 207 387 155 190 138 112
(a) Representa gr´aficamente estos datos. Soluci´on: Este ser´´ ıa un gr´afico incorrecto de los datos anteriores, ya que en el histograma no hemos tenido en cuenta que el primer y el ´ultimo intervalo tienen diferentes amplitudes:
Histograma de edades en cibercafe
Edades
Frequency
12 14 16 18 20 22 24 26
0
100
200
300
400
el primer intervalo y 23.5 para representar el ´ultimo intervalo.
x = 17, 56 , Me = 18, Mo = 18, S^2 = 7, 24 , S =
S^2 = 2, 69
Si nos dieras estos res´umenes de datos podr´ıamos decir que lo m´as frecuente es que los usuarios de este cibercaf´e tengan 18 a˜nos, y que al menos el 75 % de ellos tienen una edad comprendida en el intervalo (usando la regla de Chebychev):
x ± s = (17, 56 − 2 , 69 , 17 ,56 + 2,69) = (12, 18 , 22 ,9)
(d) ¿Cu´al es el porcentaje de usuarios con
- al menos 17 a˜nos? Soluci´on: En el estudio de las edades del cibercaf´e se han estudiado a n = 1859 usuarios. De ´estos hay 199+241+230 que ten´ıan menos de 17 a˜nos, es decir 199 + 241 + 230 1859
= 0, 36 , es decir el 36 % tienen una edad menor de 17 a˜nos,
con lo que al menos un 64 % de los usuarios de este cibercaf´e tienen 17 a˜nos.
- m´as de 20 a˜nos? Soluci´on: Hay un total de 138+112=250 usuarios que tienen m´as de 20 a˜nos, esto representa un 13.44 % del total de usuarios del cibercaf´e.
- a lo sumo 15 a˜nos?. Soluci´on: Hay un total de 199+241=440 usuarios que tienen a lo sumo (como mucho) 15 a˜nos, esto representa un 23.67 % del total de usuarios del cibercaf´e.
- Seg´un el Informe de Coste Laboral de 2010 elaborado por el ISA, los valores 1123 euros y 2161 euros corresponden a la media y la mediana de los salarios en la Comu- nidad de Madrid durante el a˜no pasado. Razonar cu´al de estos valores corresponde a la media y cu´al a la mediana. Soluci´on: Por regla general, los salarios tienen distribuciones muy asim´etricas ha- cia la derecha: hay muchos salarios en un determinado rango, una menor proporci´on de salarios bastante m´as altos, y un porcentaje muy peque˜no de salarios muy supe- riores. La media de este tipo de distribuciones es mayor que su mediana, ya que la mediana es m´ass robusta y no se ve tan influenciada por los salarios at´ıpicamente altos. En consecuencia es razonable suponer que la mediana de los salarios en la Comunidad de Madrid durante el a˜no 2010 fue de 1123 euros, mientras que 2161 euros corresponde el salario medio. En este caso, debido a la fuerte asimetr´ıa, la mediana es una medida de centraliza- ci´on m´as representativa de los salarios de la Comunidad de Madrid.
- Una empresa del sector medioambiental ha realizado un an´alisis de las temperaturas de fusi´on de una serie de aleaciones met´alicas. La siguiente tabla recoge un resumen, realizado con el paquete estad´ıstico SPSS, de dichas temperaturas medidas en grados cent´ıgrados:
a) Indicar de manera razonada si las siguientes afirmaciones son falsas o verdade- ras:
- Al menos la mitad de las temperaturas de fusi´on son inferiores a 1000oC Soluci´on: Verdadero, ya que del resumen de la tabla podemos ver que la Mediana vale 950, que es menor que 1000, por tanto es evidente que al menos el 50 % de los datos tienen un valor inferior a 1000oC.
- Al menos la mitad de las temperaturas de fusi´on se encuentran entre 900oC y 1200oC. Soluci´on: Falso, ya que del resumen de la tabla podemos ver que el primer cuartil, Q 1 = 900 y el tercer cuartil vale, Q 3 = 1250, as´ı que la mitad de los datos centrales se encuentran entre 900 y 1250 grados cent´ıgrados, por lo tanto el % de datos comprendidos entre 900 y 1200 ser´a inferior al 50 %.
- Al menos el 75 % de las temperaturas de fusi´on se encuentran entre 312.34oC y 1687.66oC. Soluci´on: Verdadero. Puesto que 900oC es, el primer cuartil de las tem- peraturas de fusi´on y 1400oC es la temperatura m´axima, podemos asegurar que entre 900oC y 1400oC e encuentran el 75 % de las observaciones, y por tanto entre 312.34oC y 1687.64oC estar´an comprendidas m´as del 75 % de las mismas.
b) Teniendo en cuenta que la relaci´on entre grados Fahrenheit (Tf ) y grados cent´ıgrados (Tc) es Tf = 1, 8 × Tc + 32, calcular los valores de la media y de la desviaci´on t´ıpica cuando las tempera- turas se miden en grados Fahrenheit.
Soluci´on: La mayor parte de los estad´ısticos que aparecen en la tabla muestran valores muy similares en ambas columnas, y no resultan f´aciles de diferenciar inmedia- tamente en los gr´aficos. La mediana es el estad´ıstico que presenta una mayor diferencia de una columna a otra, tomando un valor sensiblemente mayor en la columna A que en la B. En los gr´aficos s?? se puede apreciar a simple vista que, la linea vertical que aparece dentro de la caja (que es la que corresponde a la mediana) es mayor en la representaci´on de los datos correspondientes al a˜no 1990 De ello deducimos que la columna A corresponde a los datos del a˜no 1990 y la columna B a los de 2005.
b) Razonar c´omo ha evolucionado entre los a˜nos 1990 y 2005 el porcentaje que ocupa el petr´oleo en la TPES para los casos concretos de Malta, Jordania y Singapur. Soluci´on: En el diagrama de caja correspondiente al a˜no 1990 observamos que los porcentajes de uso del petr´oleo de Jordania y Singapur toman valores at´ıpi- camente altos dentro del conjunto de todos los pa´ıses incluidos en el estu- dio. El hecho de que estos pa´ıses resulten at´ıpicos nos permite identificar sus valores aproximados. Observamos que Singapur corresponde al valor m´aximo, que seg´un indica la tabla es 99.8 %, mientras que para Jordania el porcentaje de 1990 est´a entorno al 95 %. En 2005 estos pa´ıses no aparecen entre los datos at´ıpicamente altos. Pues- to que los pa´ıses incluidos en el estudio son los mismos en los dos a˜nos, deducimos que est´an integrados en el resto de valores, que llegan aproxi- madamente hasta el 85 %. Podemos concluir por tanto que el porcenta- je que ocupa el petr´oleo en la TPES para los casos Jordania y Singapur disminuy´o bastante el entre los a˜nos 1990 y 2005, probablemente por la sustituci´on de ´este por otros tipos de energ´ıa. En cuanto a Malta, su caso es el contrario: en el a˜no 1990 no superaba el valor donde termina el bigote superior (aproximadamente un 85 %) pero en 2005 se cuenta entre los pa´ıses con valores at´ıpicamente altos; en el diagrama de caja se aprecia que su porcentaje de uso de petr´oleo en este
a˜no est´a en torno al 95 %. Luego el porcentaje que ocupaba el petr´oleo en la TPES en Malta creci´o considerablemente el entre los a˜nos 1990 y 2005. c) Centr´emonos ahora en los datos correspondientes al a˜no 2005. Para evitar la influencia que tienen en el estudio los pa´ıses con un porcentaje de uso del petr´oleo at´ıpicamente alto (L´ıbano, Chipre, Malta y Yemen), se va a reali- zar otro an´alisis eliminando estos cuatro datos. Indicar razonadamente c´omo variar´an los siguientes estad´ısticos: (I) Media, (II) Mediana, (III) Desviaci´on t´ıpica. Soluci´on: I La media disminuir´a sensiblemente su valor. Al suprimir los valores mayores, que adem´as en este caso son particularmente grandes compara- dos con los del resto de pa´ıses, se obtendr´a un valor promedio claramente inferior al del conjunto de datos original. II La mediana disminuir´a levemente su valor, o incluso puede que se mantenga igual. El conjunto de datos original consta de 127 pa´ıses, y su mediana ser´a el valor ocupe la posici´on 64 en la muestra ordenada. Al suprimir los cuatro datos at´ıpicamente grandes, el tama˜no del conjunto de datos se reduce a 123, y la nueva mediana corresponder´a al pa´ıs que se encuentre en la posici´on 62 de la muestra ordenada, es decir, dos posiciones por debajo que en el caso original. Si coincide que en la zona central del conjunto de datos hay datos repetidos, la mediana puede conservar su valor. Si no es as´ı, su valor disminuir´a, aunque no tanto como el de la media. III La desviaci´on t´ıpica disminuir´a su valor, ya que al suprimir los datos at´ıpicos eliminamos las mayores distancias a la media, por lo que decre- cer´a la varianza y en consecuencia tambi´en su raiz cuadrada.
(∗) Fuente de los datos: Human Development Report 2007/08. (http://hdr.undp.org/en/statistics/data/)
- En cierta regi´on el peso medio de jabal´ıes macho es de 79 kilos y su varianza de 81 kilos^2. Para las hembras de la regi´on el peso medio es de 62 kilos con una desviaci´on t´ıpica de 8 kilos.
a) ¿En cu´al de los dos sexos presenta el peso una mayor dispersi´on alrededor de su media? Soluci´on: Puesto que la magnitud de los pesos de machos y hembras es dife- rente, para comparar la dispersi´on de ambos sexos debe usarse el coeficiente de variaci´on. Para los machos de jabal´ı la media es x = 79 y la varianza S x^2 = 81, por lo que la desviaci´on t´ıpica es sx = 9 y por tanto su coeficiente de variaci´on toma el valor CVM =
En cuanto a las hembras de jabal´ı, tenemos que y = 62 y Sy = 8,
CVH =
a) En lo referente a los pesos de sus colmillos, ¿cu´al de los dos grupos de elefantes presenta una mayor dispersi´on alrededor de su media? Razonar la respuesta. Soluci´on: Representaremos por F al peso de los elefantes africanos mientras que con A denotamos el peso de los asi´aticos. Puede observarse que la desvia- ci´on t´ıpica de los colmillos de los elefantes africanos es mayor que la de los asi´aticos, pero este estad´ıstico no tiene en cuenta que los colmillos de los ele- fantes africanos son, en media, bastante m´as pesados que los de los asi´aticos, lo cu´al indica que, como conjunto, los colmillos de los elefantes africanos tien- den a pesar m´as que los de los asi´aticos. Para poder realizar una comparaci´on razonable sobre la dispersi´on de conjuntos de distinta magnitud debe utilizarse el coeficiente de variaci´on, que no depende de la magnitud de los datos. Para los colmillos de los dos tipos de elefantes africanos y asi´aticos respectivamente tenemos que:
Africanos CVF =
Asi´aticos CVA =
Por lo tanto, y dado que CVA > CVF concluimos que son los colmillos de los elefantes asi´aticos los que pre- sentan mayor dispersi´on alrededor de su media.
b) Aunque el comercio de marfil est´a oficialmente prohibido en todo el mundo desde 1989, los elefantes contin´uan siendo masacrados, tanto en Africa como´ en Asia, por grupos de cazadores furtivos alentados por los crecientes precios del marfil en el mercado negro internacional. Uno de estos grupos de furtivos ha cazado recientemente dos elefantes: uno en Africa, con colmillos de 22,27 Kg, y otro en Asia, con colmillos de 32,85 Kg.´ ¿Cu´al de estos dos elefantes resulta m´as ex´otico en lo que a sus colmillos se refiere? Justificar la respuesta. Soluci´on: Puesto que las dos poblaciones de elefantes tienen diferente centro y diferente dispersi´on, para poder comparar adecuadamente los pesos de los colmillos de los dos elefantes capturados por los cazadores furtivos se debe tipificar cada uno de ellos por los estad´ısticos de la poblaci´on a la que pertenece. El peso tipificado de los colmillos del elefante capturado en Africa es´
zF =
22 , 27 − F
sF
Lo que indica que el peso de los colmillos del elefante capturado en Africa est´´ a a 2.5 desviaciones t´ıpicas por debajo de la media de su grupo. Por otra parte, el valor tipificado del peso de los colmillos del elefantes captu- rado en Asia es:
zA =
32 , 85 − A
sA
lo que significa que el peso de los colmillos del elefante capturado en Asia est´a 2.5 desviaciones por encima de la media de la media de su grupo. Dado que |zF | = |zA|. se concluye que ambos elefantes resultan igualmente ex´oticos en lo que al peso de sus colmillos se refiere, si bien la singularidad del elefante africano reside en que presenta colmillos que resultan ligeros para su grupo, y la del elefante asi´atico en que sus colmillos son pesados en el suyo.
c) La persona encargada de registrar los pesos de colmillos acaba de reconocer que falsific´o uno de los datos sobre los elefantes asi´aticos, y que los colmillos m´as peque˜nos de este grupo no pesaban 14,22 Kg, sino s´olo 10,22 Kg. Indicar c´omo variar´a cada uno de los estad´ısticos de la tabla anterior tras haber sido revelada esta informaci´on. Soluci´on:
b) En uno de los atunes capturados se detectaron 2904.5 Bq/kg de yodo-131 y 624.9 Bq/kg de cesio-137. ¿Cu´al de las dos sustancias radiactivas presenta un nivel m´as extremo (an´omalo) en este pescado con respecto a la muestra analizada? c) En el laboratorio han vuelto a revisar las medidas y se han dado cuenta de que el valor m´ınimo medido para el yodo-131 es err´oneo, en lugar de valer 2504.3, el valor verdadero es 2304.3. Comenta razonadamente c´omo cambian las medidas resumen de yodo-131 que aparecen en la tabla al actualizar el dato err´oneo.
Soluci´on-.
a) Para comparar la concentraci´on de los datos respecto a sus medias debemos usar el coeficiente de variaci´on, ya que a simple vista vemos que la desviaci´on t´ıpica del yodo-131 es mayor, pero tambi´en es mayor la magnitud media. Calculando el coeficiente de variaci´on, tenemos que:
CVyodo =
syodo |y|
En cuanto a los niveles de cesio-137, su coeficiente de variaci´on es
CVc =
sc |c|
Dado que CVyodo < CV c puede afirmarse que los niveles de yodo-131 est´an m´as concentrados entorno a su media que los niveles de cesio-137. b) Dado que los dos contaminantes tienen medias y desviaciones t´ıpicas muy dife- rentes, para poder comparar adecuadamente los niveles de ambas sustancias en el at´un capturado se debe tipificar el valor de cada sustancia por los estad´ısticos de la poblaci´on a la que pertenece. Los valores tipificados son:
zy =
2904 , 5 − y syodo
y para el cesio-137 tenemos que el valor tipificado es:
zc =
624 , 9 − c sc
Por lo tanto, mientras que el valor del yodo est´a a 0.52 desviaciones t´ıpicas de la media, el valor de cesio est´a a aproximadamente una desviaci´on t´ıpica por encima de la media. Esto significa que el valor de cesio-137 es m´as elevado que el del yodo-131 en este at´un, y por tanto m´as extremo o an´omalo. c) Al cambiar el m´ınimo de los datos correspondientes a las medidas de yodo- algunos de los estad´ısticos que aparecen en la tabla cambiar´an, en concreto: Media: La media de los nuevos datos cambiar´a y ser´a un poco m´as peque˜na ya que el nuevo m´ınimo es m´as peque˜no que el m´ınimo observado.
Desviaci´on t´ıpica: Tambi´en la desviaci´on t´ıpica de los nuevos datos cam- biar´a, ser´a un poco mayor ya que el nuevo m´ınimo es m´as peque˜no, y por tanto se aleja m´as del valor medio.
M´ınimo: Obviamente el m´ınimo cambiar´a al nuevo valor 2304.3.
Cuartiles: Los cuartiles no cambiar´an ya que son medidas de posici´on rela- tiva, y no se ven influenciados porque el valor m´ınimo sea un poco m´as peque˜no.
M´aximo: Tampoco el m´aximo cambiar´a ya que no est´a influenciado por el valor del m´ınimo.
