estadistica, Apuntes de Estadística

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Tema 4

Muestreo y

distribuciones en

el muestreo

probabilidad inferencia

Temario

ESTADÍSTICA TEÓRICA Variables aleatorias Introducción a la probabilidad Introducción a la inferencia estadística Modelos de probabilidad: variables discretas y variables continuas Estimación por intervalos Métodos de estimación. Propiedades de los estimadores puntuales Contrastes no paramétricos Contrastes paramétricos

Contenidos del programa Pag  4

Programa detallado

4 Introducción a la inferencia estadística HORRA NAVARRO, Julián., capítulo 7 CASAS SÁNCHEZ, J.M.; SANTOS PEÑA, J., capítulo 5

Conceptos fundamentales

Concepto de muestra aleatoria

Concepto de estimador

Distribuciones en el muestreo

1 1 2 2 1 Media muestral

Distribuciones en el muestreo de diferencias de medias

muestrales y de las proporciones muestrales

3 3 Proporción muestral 2 Varianza muestral

Tema 4

MUESTREO Y DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

Índice

1. Introducción
2. Conceptos de población y muestra
3. Tipos de muestreo
4. Definición de muestra aleatoria simple (m.a.s.)
5. Parámetros poblacionales y estadísticos muestrales
6. Distribución de la población, de la muestra y distribución en el muestreo
7. Características de las distribuciones en el muestreo (para cualquier población) 7.1. Momentos muestrales respecto al origen: media muestral 7.2. Momentos muestrales respecto a la media: varianza muestral
8. Muestreo en poblaciones normales 8.1. Distribución de la media muestral con varianza conocida 8.2. Distribución de la diferencia de medias muestrales con varianzas conocidas 8.3. Distribución conjunta de la media y la varianza muestrales o lema de Fisher-Cochran 8.4. Distribución de la media muestral con varianza desconocida 8.5. Distribución de la diferencia de medias muestrales con varianzas desconocidas 8.6. Distribución de la proporción muestral 8.7. Distribución de la diferencia de proporciones muestrales

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple El objetivo de este tema es el de ofrecer una introducción acerca de las nociones básicas de las técnicas utilizadas en Inferencia Estadística:

• Muestra y sus características
• Comportamiento de muestras que proceden de poblaciones normales.

Introducción

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple El conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno o experimento población. Cada uno de sus componentes se denomina elemento. Ejemplo Lanzamos un dado. En principio no sabemos qué resultado se obtendrá, aunque todos los posibles resultados son: Ni = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ≡ POBLACIÓN También se puede llamar POBLACIÓN a un conjunto de elementos de los que se pueden observar una o más características. Ejemplo La población de estudiantes de Estadística Teórica (número de alumnos en listas) en los grupos 24 y 25. Si por ejemplo hay 100 alumnos, entonces: Ni = 1, 2, 3, …, 100 ≡ POBLACIÓN

Conceptos de población y muestra

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple Por tanto, de todas las muestras (o combinaciones de elementos) que se pueden extraer de una población, podemos considerar que una muestra concreta es el resultado de un experimento en el que se extrae una muestra de entre todas las que integran el espacio muestral. Así, X es una muestra genérica que es una variable aleatoria n-dimensional, cuya distribución de probabilidad depende de:

• La distribución de probabilidad de la variable aleatoria poblacional F(X).
• Del procedimiento de selección de muestra.
• Del tamaño de la muestra. Como en la muestra elegida puede aparecer cualquier elemento de la población, la muestra antes de ser elegida es una V.A. con distribución igual a la de la población. Sin embargo, en cuanto se elige una muestra concreta, ya no tenemos una V.A., sino un número. Ejemplo Sea X la variable aleatoria altura de los alumnos de una Facultad. Sabemos que X ~ N(μ; 2,5) Para obtener información sobre X tomamos una muestra de “n” individuos.

Conceptos de población y muestra

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple Antes de obtener una muestra concreta, tendríamos que Xn = (x 1 , x 2 , … , xn), esto es, la muestra genérica, es una V.A. que tiene una distribución de probabilidad idéntica a la de la V.A. poblacional X, donde Variable x 1 : Altura del primer alumno seleccionado Variable x 2 : Altura del segundo alumno seleccionado Variable xn: Altura del n-ésimo alumno seleccionado NOTA: ¿Por qué son variables aleatorias? Porque el primer elemento de la muestra se elige aleatoriamente, el segundo también, y los demás también. Cada observación muestral xi es una variable aleatoria que tendrá:

• Un campo de variación.
• Una distribución de probabilidad que nos dirá qué valores puede tomar y con qué probabilidad.

Conceptos de población y muestra

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple Ejemplo En una bolsa hay 1.000 bolas (900 negras, 100 blancas). Si la bolsa contuviera exactamente un 90% de bolas negras y 10% de bolas blancas, esto es, si n=100: 90 negras y 10 blancas, la representación sería perfecta. En la realidad esto no suele suceder, apartándose el resultado muestral de la situación ideal (por ejemplo, 87 negras y 13 blancas), atribuyéndose las desviaciones al proceso de selección de la muestra. Estas desviaciones no invalidan los resultados del proceso inferencial, siempre que las diferencias no sean sistemáticas (sigan siempre la misma pauta), y tengan origen aleatorio, es decir, se deban al azar. Por tanto, cada elemento de la población tiene asociada una probabilidad de ser elegido.

Conceptos de población y muestra

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple 3.- TIPOS DE MUESTREO El procedimiento para extraer una muestra puede ser aleatorio o no, lo que conduce a que la muestra sea probabilística o no (aleatorio: no sabemos a priori los elementos de la muestra que se obtendrán, dependen del azar). Como hemos dicho anteriormente, para garantizar la representatividad de la muestra, los elementos deben ser extraídos de la forma más objetiva posible, a fin de no interferir en la selección de cada uno de ellos, lográndose una mayor representatividad cuando la selección se realiza al azar. En este caso la muestra será aleatoria. Esto nos permitirá conocer en términos de probabilidad cuál es el error que se comete al usar una muestra como reflejo de una población. Tipos de muestreo:

1. Selección no probabilística: Muestreo opinático: el investigador elige, con criterios no aleatorios, los elementos que va a estudiar. Esto impide que se pueda medir el posible error que se pueda cometer en el análisis.

Tipos de muestreo

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple Ejemplo Si queremos conocer la distribución de la variable altura de los alumnos de la UAM y seleccionamos una muestra de alumnos de los grupos 24 y 25, entre ambos no tienen por qué existir diferencias (unos no tienen por qué ser más altos que otros). Sin embargo, cuando disponemos de información sobre la población es importante tenerla en cuenta al seleccionar la muestra. Un ejemplo clásico son las encuestas de opinión donde las personas tienen opiniones diferentes en función de sexo, edad, zona en que viven. En los sondeos preelectorales las empresas no se pueden arriesgar a que “por azar” obtengan una muestra de individuos que viven en su mayor parte en el medio rural, ya que si utilizan esa información para predecir los porcentajes de voto en el conjunto nacional obtendrán unos resultados bastante alejados de la realidad. En estos casos, interesa que los encuestados tengan una composición análoga a la población. Esto se consigue con una muestra estratificada, en la que los elementos de la población se dividen en estratos o clases que contienen elementos homogéneos. Esto es, se toma una muestra de “n” elementos en cada estrato (Ei) que se decide según unos criterios que constituyen la afijación (por ejemplos afijación proporcional consiste en que ni es proporcional al tamaño del estrato “i”: ni/n = Ni/N, afijación proporcional a la variabilidad). Con ello todos los estratos quedan representados en la muestra, obteniéndose en general una muestra más representativa con menos elementos.

Tipos de muestreo

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple 2.4. Muestreo por conglomerados: Este método es una forma de simplificar la recogida de información muestral. Supongamos que los elementos de la población se encuentran agrupados en conjuntos a los que llamaremos “conglomerados”. Ejemplo Si los ciudadanos españoles están agrupados en comunidades autónomas, los alumnos universitarios en universidades, los alumnos de una facultad en clases, etc. Los conglomerados serían las comunidades autónomas, las universidades, las clases, etc. Así si podemos suponer que cada uno de estos conglomerados constituye una muestra representativa de la población total respecto a la variable aleatoria estudiada, podríamos seleccionar algunos de ellas al azar, y dentro de éstos analizar todos sus elementos, o bien realizar un muestreo aleatorio simple o muestreo aleatorio con reemplazamiento. Esto facilita la recogida de la información y abarata los costes para un mismo tamaño de muestra.

Tipos de muestreo

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple 2.5. Otros tipos de muestreo: sistemático, polietápico, doble, múltiple, en ocasiones sucesivas, etc.

Tipos de muestreo

Muestreo en poblaciones Características distribuciones Distribución Parámetros y estadísticos Tipos de muestreo Muestra Conceptos aleatoria simple 4.- DEFINICIÓN DE MUESTRA ALEATORIA SIMPLE Formalmente, tenemos una variable aleatoria sobre la que se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño “n” (x 1 , x 2 , … , xn). Una muestra aleatoria simple recoge “n” variables aleatorias idénticamente distribuidas, o de otra forma, es una variable aleatoria n-dimensional. Una vez más, muestra aleatoria simple es sinónimo de muestra aleatoria con reemplazamiento. Condiciones del muestreo aleatorio simple: Decimos que una muestra es aleatoria simple cuando las “n” variables aleatorias que la forman cumplen:

1. Todas las xi son independientes entre sí.
2. Todas las xi están idénticamente distribuidas con la misma distribución de la variable aleatoria x poblacional. Donde las xi son las extracciones muestrales (muestra genérica) y los números concretos constituyen la muestra específica o realización muestral.

Definición de muestra aleatoria simple