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TEMA 4 - MUESTREO Y DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
PARÁMETROS POBLACIONALES Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES
Parámetros poblacionales son las características numéricas de la población. En concreto, un
parámetro es una característica numérica de la distribución de la población que permite conocer
total o parcialmente su distribución de probabilidad.
Estadístico es cualquier función matemática de los elementos muestrales. Los estadísticos más
comunes son:
1
i
x
a x
n
2
2
2
i
x x
m S
n
2
2
i
c
x x
S
n
NOTA: ¿Por qué se eligen éstos? Por su analogía con los momentos poblacionales (un momento
resume la información de una característica poblacional).
La distribución muestral o distribución en el muestreo de este estadístico es la distribución de
probabilidades de los valores que puede tomar el estadístico a lo largo de todas las posibles
muestras con el mismo número de observaciones que pueden ser extraídas de la población.
DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN, DISTRIBUCIÓN DE LA MUESTRA Y DISTRIBUCIÓN EN EL
MUESTREO.
- Distribución de probabilidad de una muestra o función de distribución empírica: Es la
distribución de frecuencias relativas de una muestra concreta que ya ha sido extraída.
- Distribución en el muestreo: Distribución de probabilidad de un estadístico concreto
cualquiera. Como es una función de variables aleatorias (x 1
, x 2
, … , x n
) elementos muestrales,
también tendrá una distribución de probabilidad. Se trata de una muestra obtenida a priori,
antes de obtener la muestra concreta de todas las posibles muestras.
CARACTERÍSTICAS DE LAS DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO (PARA CUALQUIER POBLACIÓN)
MEDIA MUESTRAL:
1
i n
i
i
x
x
n
Por ser una variable aleatoria podemos calcular la esperanza matemática de la media muestral:
1
1 1 1
i n
i i n i n i n
i
i i
i i i
x
E x E E x E x n
n n n n n
Por tanto, el valor esperado de la media muestral coincide con el valor de la media poblacional
(independientemente de la distribución de probabilidad que siga la población).
También podemos calcular su varianza:
2
2 2 1
2 2 2 2
1 1 1
i n
i i n i n i n
i
i i
i i i
x
V x V V x V x n
n n n n n n
Por tanto, ahora observamos que la varianza muestral no coincide con la varianza poblacional,
sino que es necesario dividirla por el tamaño muestral.
Recordemos: ¿Qué información nos da la varianza de una variable aleatoria? La variabilidad en
torno a su esperanza.
La desviación típica de la media muestral recibe el nombre de error estándar de la media
muestral:
2
V x
n
n
VARIANZA MUESTRAL:
2
2 1
i n
i
i
x
x x
S
n
Antes de calcular la E(S x
2
), hagamos algunos cálculos:
2 2 2
2 1 1 1
2 2
1
2 2
1 1 1
2 2
1 1
2 2
1
i n i n i n
i i i
i i i
x
i n
i i
i
i n i n i n
i i
i i i
i n i n
i i
i i
i n
i i
i
x x x x x x
S
n n n
x x x x
n
x x x x
n
x n x x x
n
x n x x x n
1
2 2
1
2 2
1
2 2 2 2 2
1 1
i
i n
i
i n
i
i
nx x
i n
i
i
i n i n
i i
i i
n
x n x x nx n
n
x n x n x x
n
x n x n x x n x
n n
EJEMPLO
Los barcos que hacen visitas guiadas por el Sena disponen de 60 asientos por barco y una
capacidad máxima de 4.200kg por viaje. Los dueños de la empresa de barcos saben por
experiencia que los pesos de los turistas tienen una media de 71kg y una dispersión, medida a
través de la desviación típica, de 10kg.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 60 turistas, escogidos aleatoriamente en uno de
los viajes, tenga un peso medio superior al total de la carga límite permitida?
2 2
X Peso turistas
Población: 71 y 10
Muestra: n 60
X N(71,10) x N 71, N 71, N 71, N 71;1,
n 60
P x P z P z P z
P z
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON
2
CONOCIDAS:
1
1
j m
i n
j i
j
i
y x
x y
n m
2
2
y x
x y
x y
y x
x N y N
n m
E x y E x E y
V x y V x V y
n m
Por lo que:
2 2
y
x
x y
x y N
n m
,
2
2
x y
y x
x y
Z
n m
EJEMPLO
Según la información siguiente, y suponiendo que se han tomado muestras aleatorias simples
independientes de ambas variables aleatorias, para el estudio de la distribución en el muestreo
de la diferencia de medias:
¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias muestrales sea mayor que uno?
Se trata de la distribución en el muestreo de la diferencia de medias, y la probabilidad pedida es:
P x y 1 P 1 x y 1
Si las poblaciones son normales e independientes, la distribución en el muestreo de la diferencia
de medias muestrales es:
Por tanto:
La probabilidad de que la diferencia de medias muestrales sea mayor que uno es del 70,3%.
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL CON VARIANZA DESCONOCIDA
Recurriremos a una distribución no dependiente de la varianza poblacional, que es la t - Student.
1
x
n
x
x
t
S
n
EJEMPLO
Los barcos que hacen visitas guiadas por el Sena disponen de 60 asientos por barco y una
capacidad máxima de 4.200kg por viaje. Los dueños de la empresa de barcos saben por
experiencia que los pesos de los turistas tienen una media de 71kg y una dispersión, medida a
través de la desviación típica, de 10kg.
b) ¿Cuál sería el resultado si la varianza poblacional fuera desconocida? (Suponga que la
desviación típica muestral es de 5kg).
60 1 59 59
30
70 71
( 70) ( 1,53) 1 ( 1,53) 1 ( 1,53) 1 0,063 0,
5
59
n
P x P t P t P t P Z
O bien,
DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE LA MEDIA Y VARIANZA MUESTRALES O LEMA DE FISHER-
COCHRAN:
2 2
2
1 2 2
x x
n
x x
S nS
n
2 2
2 n 1 x
x
S
n
EJEMPLO
Se sabe por los datos censales que la variabilidad de la altura de alumnos de una clase medida a
través de la varianza es de 15,3. No obstante, para estudiar la variabilidad en el muestreo de la
varianza muestral se decide tomar una muestra aleatoria de 15 alumnos. ¿Cuál es la
probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 15?
Nota: Suponer que la estatura es una variable aleatoria normalmente distribuida.
Sea X la variabilidad de la altura de alumnos de una clase -> N( ; 15,3)
Se realiza un muestreo aleatorio simple de tamaño “n” = 15
El estadístico sobre el que nos preguntan es la varianza muestral. Sabemos por el lema de Fisher-
Cochran:
2 2 2
2 1 15 1
n x
x
S
n
Nos piden la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 15, esto es:
2
2
2 x
2 1
2
2 2 2 15 1
x 14 14
X Estatura
Población: 15,
Muestra: n 15
X N , 15,3 ( ;3,91)
n·S
Lema de Fisher:
(S 15) 15 ( 14,7) 0,
n
x
N
P P P P
DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL:
pq
p N p
n
p p
Z
pq
n
EJEMPLO
Se tiene una población compuesta por 14 millones de hogares, siendo la proporción de hogares
que tienen móvil de un 76,89%. Se extraen dos muestras de 1.000 hogares. En la primera muestra
un 40% de los hogares tienen móvil. En la segunda muestra el porcentaje de hogares con móvil
es del 77%.
Definimos la variable aleatoria X: Individuos que tienen móvil [x i
~ B(1,p)]
Proporción:
TCL
pq
p N p N N
n
MUESTRA 1
40% es un porcentaje muy inferior al poblacional. De los 1.000 hogares seleccionados en la
muestra, se obtiene que el 40% tiene móvil. Si repitiéramos el muestreo con n = 1.000, ¿Cuál sería
la probabilidad de que la proporción obtenida fuera mayor que 0,4? Esperamos un valor cercano
a 1.
P p P N P Z
P Z
Con casi total seguridad, si cogiéramos cualquier otra muestra de tamaño n = 1.000,
obtendríamos una proporción de hogares con móvil mayor al 40%.
MUESTRA 2
La segunda muestra nos da un porcentaje de individuos con móvil muy similar al poblacional.
Nos hacemos la misma pregunta. Si repitiéramos el muestreo con n = 1.000, ¿Cuál sería la
probabilidad de que la proporción obtenida fuera mayor que 0,77?
P p P N P Z
P Z
Con infinitas muestras, obtendríamos aproximadamente un 50% de muestras por encima de
0,769, y un 50% de muestras con proporciones por debajo.
Por ello, la segunda muestra es más representativa de la población.
Si el valor muestral coincidiera con el poblacional, la
P pˆ 0,7689 0,
TEMA 5 – ESTIMACIÓN PUNTUAL
CONCEPTO DE ESTIMADOR Y ESTIMADOR PUNTUAL
El estimador es un estadístico que se utiliza para estimar el valor de un ߠ ݁݀ ݀݅ܿ݊ܿݏ (y puede
ser un buen o mal estimador) y, por tanto, una variable aleatoria pues depende de la muestra
que finalmente sea obtenida. Una vez que se haya seleccionado una muestra concreta, el
estimador deja de ser aleatorio y pasa a ser una valor puntual.
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES.
Las propiedades deseables para que un estimador debe sea considerado como “bueno” son:
Insesgadez, eficiencia y consistencia.
ESTIMADOR INSESGADO.
Cuando se llevan a cabo estimaciones de un parámetro poblacional ߠ se pretende que el
resultado se encuentre lo más cerca posible del verdadero valor poblacional.
Un estimador es insesgado del parámetro ߠ si la esperanza matemática del estimador coincide
con el valor del parámetro poblacional: ܧሺߠ
∗
ሻ = ߠ
Diremos que un estimador es sesgado si no satisface la condición: ܧሺߠ
∗
ሻ = ߠ ± ܾ ሺߠሻ
Es decir, que la esperanza del ߠ
∗
es igual al verdadero valor poblacional del parámetro ߠ, más
una cantidad ܾ ሺߠሻ, denominada sesgo del estimador y mide el error sistemático, no aleatorio,
positivo o negativo del estimador. Cuando el sesgo es positivo indica que si se utiliza dicho
estimador con ese sesgo éste tenderá a sobreestimar el verdadero valor del parámetro,
mientras que si es negativo, tenderá a infravalorarlo. Evidentemente, si el sesgo fuera nulo el
estimador es insesgado.
INSESGADEZ DE LOS ESTIMADORES ࢞ ഥ, ࡿ
, ࡿ
ࢉ
y ෝ.
Los estimadores ݔഥ, ܵ
ଶ
, ܵ
ଶ
y ̂ son estimadores insesgados de sus correspondientes parámetros
poblacionales, esto es la media poblacional, la varianza poblacional y la proporción poblacional.
Media muestral ࢞ ഥ
Si queremos estimar la media poblacional y proponemos como estimador la media muestral,
¿es este estimador insesgado?
Sea una muestra aleatoria simple de tamaño ݊ ሺݔ ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
ሻ
ܧሺݔ̅ ሻ = ܧ ቆ
∑ ݔ
ୀଵ
݊
ቇ =
1
݊
൫ܧሺݔ
ଵ
ሻ + ܧሺݔ
ଶ
ሻ + ⋯ + ܧሺݔ
ሻ൯ =
݊
݊
ܧሺݔሻ = ߤ
Corolario: Sea cuál sea la población, si queremos estimar la media poblacional, la media
muestral es siempre un estimador insesgado de la media poblacional.
Varianza muestral ࡿ
Recordemos que ܧ
ሺ ܵ
ଶ
ሻ
ିଵ
ߪ
ଶ
, por lo que la varianza muestral no es un estimador insesgado
de la varianza poblacional, en el que el sesgo es ܾ ሺܵ
ଶ
ሻ = −
ఙ
మ
. Sin embargo es asintóticamente
insesgado para muestras grandes.
Cuasivarianza muestral ࡿ
ࢉ
ܧ
ሺ ܵ
ଶ
ሻ = ܧ ቀ
݊
݊ − 1
ܵ
ଶ
ቁ =
݊
݊ − 1
ܧ
ሺ ܵ
ଶ
ሻ
݊
݊ − 1
∙
݊ − 1
݊
ߪ
ଶ
= ߪ
ଶ
La cuasivarianza si es un estimador insesgado de la varianza poblacional.
En muestras pequeñas preferiremos la cuasivarianza como estimador de la varianza poblacional,
pero en muestras grandes apenas existen diferencias, por lo que se pueden utilizar tanto la
varianza muestral como la cuasivarianza, pero sería preferible la varianza muestral ya que es
asintóticamente insesgado.
Proporción muestral
ෝ
ܧሺ̂ ሻ = ܧ ቆ
∑ ݔ
݊
ቇ
=
1
݊
ܧሺܺ ሻ =
La proporción muestral, también es un estimador insesgado de la proporción poblacional.
ESTIMADOR EFICIENTE
En general, para un parámetro ߠ pueden existir distintos estimadores que sean insesgados, pero
¿cuál elegiríamos? ¿Cómo discriminaremos entre cada uno de ellos? Puesto que los estimadores
son variables aleatorias sería deseable que la distribución de probabilidad de esa variable
aleatoria esté lo más concentrada posible en torno al verdadero valor del parámetro. Esto indica
que es deseable que exista una menor dispersión respecto al parámetro ߠ.
EFICIENCIA RELATIVA
Si el objetivo es simplemente comparar entre dos o más estimadores respecto a su grado de
dispersión, se establece la noción de eficiencia relativa: se elige aquél estimador que presente
la menor varianza, puesto que su distribución de probabilidad estará más concentrada alrededor
del verdadero valor del parámetro. Se consideran dos situaciones:
Si ߠ ଵ
∗
y ߠ
ଶ
∗
ሺߠ
∗
ሻ son insesgados. En esta situación para evaluar su eficiencia relativa se
comparan sus varianzas, considerando al más eficiente aquél que tenga la menor varianza.
Así si ܸ
ሺ ߠ
ଵ
∗
ሻ < ܸ
ሺ ߠ
ଶ
∗
ሻ el estimador ߠ
ଵ
∗
será el más eficiente, si ܸ
ሺ ߠ
ଵ
∗
ሻ > ܸ
ሺ ߠ
ଶ
∗
ሻ el más
eficiente será ߠ
ଶ
∗
. Esto es, tan solo hay que aplicar las propiedades de la varianza.
Se puede construir un índice de eficiencia relativa (siempre dos a dos):
݁ ሺߠ
ଵ
∗
, ߠ
ଶ
∗
ሻ =
ܸ
ሺ ߠ
ଵ
∗
ሻ
ܸ
ሺ ߠ
ଶ
∗
ሻ
൞
= 1, indiferente
> 1, se elige ߠ
ଶ
∗
< 1, se elige ߠ
ଵ
∗
Si ߠ
ଵ
∗
y ߠ
ଶ
∗
ሺߠ
∗
ሻ son sesgados. En este caso, la comparación de las respectivas varianzas no
será válida, ya que éstas no consideran el sesgo de los estimadores. Para ello se recurre al
error cuadrático medio (ECM).
El ECM es la desviación cuadrática media o acuracidad del estimador. Es decir, es la
concentración de las estimaciones respecto al verdadero valor del parámetro.
ܯܥܧሺߠ
∗
ሻ = ܧሺߠ
∗
− ߠሻ
ଶ
= ܸ ሺߠ
∗
ሻ + ܾ
ଶ
ሺߠሻ ᇣᇤᇥ
sesgo
El índice de eficiencia relativa es:
݁ ሺߠ
ଵ
∗
, ߠ
ଶ
∗
ሻ =
ܯܥܧሺߠ
ଵ
∗
ሻ
ܯܥܧሺߠ
ଶ
∗
ሻ
൞
= 1, indiferente
> 1, se elige ߠ
ଶ
∗
< 1, se elige ߠ
ଵ
∗
EFICIENCIA ABSOLUTA
Un estimador que proporcione una pequeña variabilidad entre las diferentes estimaciones
tendrá una mayor confianza en su uso.
Precisamente lo que se ha hecho en el ejemplo es dar al parámetro el valor que maximiza la
probabilidad de la muestra y, sin embargo no hablamos de función de probabilidad o de cuantía,
en la máxima verosimilitud hablamos de función de verosimilitud de la muestra, que es la
distribución conjunta de la muestra, considerada como una función del parámetro ߠ, dado que
el valor de la muestra es conocida.
En resumen, manteniendo la muestra de ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
ሻ, la función que se obtiene variando ߠ
en ݂ ሺݔ ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠሻ es la función de verosimilitud. Por tanto, para una muestra particular
definimos la función de verosimilitud como: ܮሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠሻ = ∏ ݂ ሺݔ
, ߠሻ
ୀଵ
Para ello, se construye, de forma genérica, la función de verosimilitud dependerá del parámetro
desconocido, ya que la muestra son valores concretos
ܮሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠሻ = ෑ ݂ ሺݔ
, ߠሻ
ୀଵ
Este método busca el valor de ߠ que maximiza la función de verosimilitud:
ܮ ൫
ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠ
൯
= max
ఏ∈
ܮሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠሻ
En resumen, el valor de la función de verosimilitud ܮ
ሺ ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠ
ሻ , para una muestra
concreta nos da la verosimilitud de que el parámetro ߠ tome un cierto valor, tomando como
información la proporcionada por la muestra.
Con frecuencia la función de verosimilitud suele ser complicada, y al ser esta función positiva y
coincidir los máximos de ܮ
ሺ ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠ
ሻ con los de la función ln ܮ
ሺ ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠ
ሻ , entonces
lo que hace es considerar la función
ln ܮሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠሻ = ln ݂ ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠሻ = ln ݂ ሺݔ
, ߠሻ
ୀଵ
Y, el estimador máximo verosímil será aquel que verifique la expresión:
ln ܮ൫ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠ
൯ = max
ఏ∈
lnL
ሺ ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠ
ሻ = max
ఏ∈
ln ݂
ሺ ݔ
, ߠ
ሻ
ୀଵ
Que vendrá dado por la solución de la ecuación de verosimilitud:
߲ ln ܮሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
, ߠሻ
߲ߠ
=
߲ ln ݂ ሺݔ
, ߠሻ
߲ߠ
ୀଵ
= 0
Este estimador ߠ
= ߠ
ሺ ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, ⋯ , ݔ
ሻ será función de las observaciones muestrales.
EJEMPLO - BINOMIAL
Sea una M.A.S. { x 1
, x 2
, … , x n
}, procedente de una población B(1,p), obtenga el estimador máximo
verisímil del parámetro p.
- La función de verosimilitud será:
1
1
1 2
1
: V.A. que se distribuye como 1, 1
Binomial , , ,..., ; 1
i
i
i
i
x
x
x
x
n
n
x x
X B p p p
X L x p L x x x p p p
L x p p p
- Tomando logaritmos:
ln , ln 1 ln 1
ln ln 1
i i
i i
L x p x p x p
x p n x p
- Derivando respecto a p e igualando a cero resulta:
ln ,
ln , 1
i i
i i
L x p
p
L x p x p p n x x n x
p p p p p
i i i i
i
MV
x p x np p x x np
x
p x
n
EJEMPLO - POISSON
Sea una M.A.S. { x 1
, x 2
, … , x n
}, procedente de una población P( ), obtenga el estimador máximo
verisímil del parámetro .
- La función de verosimilitud será:
1 2
: V.A. que se distribuye como
Poisson , , ,..., ;
i
n
x x x n n n
i
n
X P e
x
X L x L x x x e e
x x
- Tomando logaritmos:
1
ln , ln ln ln!
i i
L x n e x x
- Derivando respecto a e igualando a cero resulta:
ln ,
ln ,
1
i
i
MV
L x
L x
n x
x
x
n
2
2 2 2
2
1 2
2 2 2
Normal , ,..., ; , ; ,
i
x
n i n n
n
X L x x x f x e
- Tomando logaritmos:
2
2 2
2
1
ln ; , ln ln 2 ln
i
x
n n
L x e
- Derivando respecto a μ e igualando a cero resulta:
2
2
2
ln ; ,
ln ; , 2 1
i
i
i
MV
L x
L x x
x n
x
x
n
- Derivando respecto a
2
e igualando a cero resulta:
2
2
2 2 4
2 2
2 2
ˆ
ln ; ,
i
i i
MV
x
L x x
n
x x x
S
n n
EJERCICIO 2
Sea una población con media μ y varianza 1, de la que se extraen M.A.S. de tamaño 4. Considere
los siguientes estimadores de la media:
1
x
2
1
n
i
i
x
n
Estudie la insesgadez y la consistencia de ambos estimadores.
Elija uno de los dos en términos del error cuadrático medio.
2 2
2
1 1 1
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
Escogeremos ˆ si ( ˆ ) ( ˆ )
ECM
ECM V b
n n
n n
ECM V b
n n n
ECM ECM
n n n n
n n n n n n n
n
n
2
2 2
2
2
1 2 2
2
2 2 1
Si ˆ es preferido a ˆ
Si ˆ es preferido aˆ
n n n n n n
Y se sustituyen los valores en el I.C.:
2 2
,90% 2 2
O, lo que es lo mismo:
P x Z x Z
n n
P
P
IC x Z x Z
n n
POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA DESCONOCIDA
Es una situación poco probable que el investigador desconozca la μ de una población, pero que
si conozca su varianza.
1, 2 1, 2
,1 1, 2
n n
n
S S
P x t x t
n n
S
IC x t
n
EJEMPLO
b) Suponiendo ahora que la desviación típica poblacional es desconocida, calcule el intervalo
de confianza para la media al 90%.
Si la desviación típica poblacional es desconocida hay que utilizar la información muestral, en
este caso la distribución será una ݐ −Student.
2
2
2 2
2 1
i
x
x
S a a x
n
1 - α = 0,90 α = 0, α/2 = 0,050 t
n-1, α /
= 1,
0,400 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,025 0,010 0,
11 0,2596 0,6974 0,8755 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,
12 0,2590 0,6955 0,8726 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,
13 0,2586 0,6938 0,8702 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,
14 0,2582 0,6924 0,8681 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,
15
0,2579 0,6912 0,8662 1,0735 1, 1,
2,1314 2,6025 2,
16 0,2576 0,6901 0,8647 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,
17 0,2573 0,6892 0,8633 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,
18 0,2571 0,6884 0,8620 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,
19 0,2569 0,6876 0,8610 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,
20
0,2567 0,6870 0,8600 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,
Grados
libertad
Probabilidades
P[t (n ) ≥ a]
1, 2 1, 2
,1 1, 2
,90%
O bien:
n n
n
S S
P x t x t
n n
P
P
S
IC x t
n
IC
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ahora queremos obtener un Intervalo de Confianza que contenga el verdadero valor de la
varianza, suponiendo X ~ N(μ,σ) y (x 1
, … , x n
).
Ahora, a diferencia de los dos casos anteriores la distribución ߯
ଶ
no es simétrica,
2
2 2
2
2 2
1, 2 1, 1 2
2 2
2 2 ,
1, 2 1, 1 2
n n
n n
nS nS
P
nS nS
IC
EJEMPLO
La afluencia de visitantes al parque natural de Monfragüe durante un mes, medida a través de
una muestra aleatoria durante 10 días elegidos aleatoriamente, ha resultado ser la siguiente:
682, 553, 555, 666, 657, 649, 522, 568, 700, 552
Suponiendo que los niveles de afluencia siguen una distribución normal, y que la desviación
típica muestral es de 62,68. Los adjudicatarios de la explotación del parque afirman que la
dispersión de la variable afluencia es de 15 personas. Calcule e interprete el significado de un
intervalo de confianza al 95%.
