tema 3, Apuntes de Estadística

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Medidas de una

distribución de

frecuencias

Tema 3

Medidas de posición.

Son las que sintetizan la información con el objetivo de indicar la posición del conjunto de valores de

la distribución de frecuencias.

a. La media aritmética.

• Es la medida de posición más frecuentemente utilizada.
• Es el punto central o centro de gravedad de la distribución.
• Permite comparar colectivos distintos.
• En una distribución de frecuencias con valores x 1 ,… xn la media se calcula como
• En general, 1 ¦ n i i X X n 1 1 n i i (^) n i i i i x n X x f N ¦ ¦ 1 1 y 1 n n i i i i ¦ n^ N^ ¦ f

Medidas de posición.

Propiedades de la media aritmética.

a) La suma de las desviaciones de los valores de la distribución respecto a la media aritmética es cero.

b)Si se suma un mismo número a todos los valores de la distribución la media aritmética queda

incrementada en ese número.

1 1 1 ( ) 0 n n n i i i i i i i i ¦ X^ ^ X n^ ¦ X n^ ^ X^ ¦n^ NX^ NX

• 1 1 1 1 * Si + será: (  )  o  ¦ ¦ ¦ ¦ i i n n n n i i i i i i i i i i i X X k X n X k n X n n X k N N X N X N k

Medidas de posición.

Propiedades de la media aritmética (cont.).

c) Si se multiplican todos los valores de una distribución por una cifra constante, la media aritmética

queda multiplicada por esa misma constante.

d)Cuando se divide una distribución en subconjuntos disjuntos, la media aritmética de la distribución

puede calcularse como media ponderada de las medias de estos subconjuntos.

Si el conjunto de valores de la distribución, N, se subdivide en subconjuntos de N 1 , N 2 , N 3 ,…, NK

elementos, donde

• 1 1 1 * Si será: o ¦ ¦ ¦ i i n n n i i i i i i i i i X kX X n kX n X n X k N X N N kX 1 K j i ¦^ N^ N

Medidas de posición.

Propiedades de la media aritmética (cont.).

Y son las medias de cada uno de los subconjuntos, la media general será

Cálculo de la media en una distribución con frecuencias agrupadas.

ƒ Las distribuciones formadas por un número grande de valores diferentes suelen venir agrupadas en

intervalos. Cuando esto ocurre la agrupación ya no conserva el valor exacto que toma cada

elemento de la distribución, y lo único que nos indica es cuántos elementos hay en cada intervalo,

es decir, su frecuencia.

X 1 , !, XK

K K

i j i j i i K j i

X N X N

X

N

N

¦ ¦ ¦

Ejemplo 2.

frec. absoluta acu.absol. empleados sucursales frec. relativa acu.relativa sucursales L (^) i-1 L (^) i x (^) i n (^) i f (^) i F (^) i N (^) i x (^) i ·n (^) i c (^) i d (^) i =sucursales por empleado 9 10 9,5 6 0,12 0,12 6 57 1 6, 10 13 11,5 25 0,50 0,62 31 288 3 8, 13 17 15,0 16 0,32 0,94 47 240 4 4, 17 19 18,0 3 0,06 1,00 50 54 2 1, Total= 50 1 639 10 = Re (^1) 12,77 frente a 13,08 sin agrupar por intervalos ¦ n i i i

x n

X

N

Medidas de posición.

ƒ Cuando la distribución está formada por un número impar de elementos, la mediana es el valor que

ocupa la posición central en la distribución ordenada. Si el número de elementos es par, cualquiera

de los valores situados entre los dos centrales serviría en principio de mediana.

ƒ Los cuartiles son los números que dividen la distribución en cuatro partes iguales. En una

distribución hay, por tanto, tres cuartiles, de los cuales el segundo es precisamente la mediana.

ƒ Los quintiles como los valores que dividen la distribución en cinco partes iguales, los deciles, que la

dividen en diez o los percentiles, que la dividen en cien. Estas medidas tienen especial aplicación al

caso de frecuencias agrupadas.

ƒ Para calcular la mediana y los cuartiles en una distribución con valores discretos habrá que buscar

los valores que dividen la distribución en dos y cuatro partes iguales. Para esto es una gran ayuda

incluir en la tabla, ordenada de menor a mayor valor de la variable, dos columnas adicionales, la

primera con las frecuencias acumuladas y la segunda con las frecuencias acumuladas relativas. Una

frecuencia acumulada relativa de 0,5 indicará la posición del valor mediano, y frecuencias

acumuladas relativas de 0,25 y 0,75, los cuartiles inferior y superior respectivamente.

Medidas de posición.

ƒ Para calcular el cuantil p - ésimo de origen q.

Cálculo de la mediana y los cuartiles en distribuciones con frecuencias agrupadas.

Cuando la variable es continua y está agrupada en intervalos el procedimento es algo más

complicado. Se realiza en dos fases:

a) Determinar el intervalo en el que está la mediana por un procedimiento igual al del ejemplo

anterior.

b) Calcular dentro de este intervalo el valor mediano, que no tiene por qué coincidir con la marca de

clase.

Si es el intervalo mediano, y la frecuencia relativa acumulada por los intervalos

anteriores, la mediana se calcula como

1 1 1       i p q i i i i p N N q C L L L n Li (^)  1  Li Fi 1

Ejemplo 2.

frec. absoluta acu.absol. empleados sucursales frec. relativa acu.relativa sucursales L (^) i-1 L (^) i x (^) i n (^) i f (^) i F (^) i N (^) i x (^) i ·n (^) i c (^) i d (^) i =sucursales por empleado 9 10 9,5 6 0,12 0,12 6 57 1 6, 10 13 11,5 25 0,50 0,62 31 288 3 8, 13 17 15,0 16 0,32 0,94 47 240 4 4, 17 19 18,0 3 0,06 1,00 50 54 2 1, Total= 50 1 639 10 = Re 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 0 25 (^) 0 25 0 12 10 3 10 78 0 5 0 50 (^) 0 50 0 12 10 3 12 28 0 5 0 75 (^) 0 75 0 62 13 4 14 63 0 32 i i i i i i c i i i i i i i i , F (^) , , Q L L L , f , , F (^) , , Q L c Me , f , , F (^) , , Q L c , f ,         (^)     ˜  (^)   ˜  ˜  (^)   ˜  ˜ 

Medidas de posición.

c. La moda.

ƒ La moda, Mo, es el valor más frecuente de la variable, es decir, el que más veces se repite.

ƒ En las distribuciones agrupadas en intervalos de desigual amplitud el valor modal se determina

teniendo en cuenta la densidad de frecuencia.

ƒ Su gran ventaja es que puede calcularse también en distribuciones definidas sobre variables

cualitativas, tanto ordinales como nominales.

ƒ Cuando en una distribución hay varios valores con la frecuencia máxima, todos ellos se

consideran modas. Decimos entonces que la distribución es plurimodal.

  o  

i i i i i i i i i i i i

d

Mo L L L

d

n

Mo L L L

n n d

Medidas de posición.

d. La media geométrica.

• Para variables que son tasas o cocientes la media no suele ser el mejor promedio.
• Las variables que son tasas o proporciones sus valores se acumulan como producto en vez de

acumularse como suma. Por eso en estos casos es preferible utilizar la media geométrica, que

se define como

• Cuando varios de los valores de la distribución se repiten, se utiliza la expresión de la media

geométrica

• Si en la expresión de la media geométrica se toman logaritmos resulta:

De manera que el logaritmo de la media geométrica coincide con la media aritmética de los

logaritmos de los valores de la distribución. Es muy útil donde aparecen bastantes variables.

1 ·^2 "· n G X X Xn 1 2 1 2 1 1 ·^2 "·^1 ·^2 "· n n nk k n n n N k N G x x xk x x x 1 log log n i i i n x G N ¦

Ejemplo 2.

frec. absoluta acu.absol. empleados sucursales frec. relativa acu.relativa sucursales L (^) i-1 L (^) i x (^) i n (^) i f (^) i F (^) i N (^) i x (^) i ·n (^) i c (^) i d (^) i =sucursales por empleado 9 10 9,5 6 0,12 0,12 6 57 1 6, 10 13 11,5 25 0,50 0,62 31 288 3 8, 13 17 15,0 16 0,32 0,94 47 240 4 4, 17 19 18,0 3 0,06 1,00 50 54 2 1, Total= 50 1 639 10 = Re 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 50 6 25 16 3 1 2 · · · · · · 9,5 ˜ 11,5 ˜ 15 ˜ 18 12, " " " k k k n n n n n n^ N N k k N n^ n^ n k G x x x x x x G x x x

Medidas de posición.

e. La media armónica.

Aplicaciones:

ƒ Se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo tales como productividades,

tiempos, rendimientos, cambios, etc., tal como se describe a continuación.

ƒ Precio promedio. Si se compran varios tipos de productos con distintas cantidades de unidades de

cada tipo, pero gastando en ellos igual cantidad de dinero.

ƒ Rendimiento promedio de producción. En un grupo puede haber operarios con distinta velocidad

para producir un artículo. Si cada una de estas personas tiene que elaborar igual cantidad de

artículos, el promedio de velocidad de rendimientos de tal grupo, es igual al promedio armónico

de las velocidades de rendimiento de cada una de los operarios que lo integran.

1 ¦ ¦ n i i (^) i n i i (^) i N H n X f X

Ejemplo 2.

frec. absoluta acu.absol. empleados sucursales frec. relativa acu.relativa sucursales L (^) i-1 L (^) i x (^) i n (^) i f (^) i F (^) i N (^) i x (^) i ·n (^) i c (^) i d (^) i =sucursales por empleado 9 10 9,5 6 0,12 0,12 6 57 1 6, 10 13 11,5 25 0,50 0,62 31 288 3 8, 13 17 15,0 16 0,32 0,94 47 240 4 4, 17 19 18,0 3 0,06 1,00 50 54 2 1, Total= 50 1 639 10 = Re 1 50 12, 6 25 16 3 9,5 11,5 15 18    ¦ n i i (^) i N H n X