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CURSO DE INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
Departament d’Estadística i Investigació Operativa Universitat de València
DATOS CATEGÓRICOS TEMA 6
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Variables categóricas
- Los valores de la variable no son numéricos, son categorías
- Opinión sobre un tema (A favor / En contra / Indiferente)
- Estado civil (casado, soltero, viudo)
- Nacionalidad
- Caso particular : Variables dicotómicas (sólo 2 valores posibles)
- Interesa saber la proporción de personas de cada grupo
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X
p n (tamaño muestral)
Intervalo de confianza para una proporción
z0.05 : percentil de la normal N(0,1)
Muestra
Población
p : proporción poblacional Variable :̂ proporción muestral dicotómica
Intervalo de confianza para p al 95%
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Intervalo de confianza para una proporción
p
Obtención del Intervalo de confianza al 95% parap : IC95% (p)
p p p z n
En una muestra aleatoria de 150 varones estadounidenses, 87 de ellos estaban a favor de la pena de muerte para convictos de asesinato. Construir un intervalo de confianza al 95% para la proporción de varones de Estados Unidos a favor de la pena de muerte.
0.50 < p < 0.66 con una confianza del 95%
Esta es la proporción muestral (estimación de la poblacional)
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El test ^2 de bondad del ajuste
Un estudio de los jurados en Alameda County, California, comparó las características demográficas de los jurados con la población general, para ver si los miembros de los jurados eran representativos de la población. La Tabla muestra los resultados por edades. Los investigadores querían saber si los 66 miembros de los jurados habían sido seleccionados al azar de la población del condado.
Edad
% en el condado
Miembros en los jurados 21-40 42 5 41-50 23 9 51-60 16 19 61 ó más 19 33 Total 100 66
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X
1 2 k
p p
p
n
p ˆ 1 p ˆ k
¿Es la muestra compatible con un modelo de proporciones dado? ¿Se ajustan las proporciones de la muestra a las de la hipótesis? p 1 (^) p ˆ 1 (^) , p (^) 2 p ˆ (^) 2 , , pk p ˆ k
p p p p p p
1 2 k 1 2 k
, ,…, son proporciones poblacionales conjeturadas tales que + +…+ = 1
El test ^2 de bondad del ajuste
Muestra Población
Variable categórica con k categorías
pi : proporción poblacional de la categoría i. ̂ : proporción muestral de la categoría i.
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El estadístico ^2
H 0 : Los porcentajes de los jurados son compatibles con 42:23:16: H 1 : Los porcentajes de los jurados no son compatibles con esos porcentajes
Oi = frecuencias observadas (los datos) Ei = frecuencias esperadas (si H 0 fuera cierta)
Cuanto mayor es el estadístico, mayor es la discrepancia con H (^0)
2 2 s
o
sigue una distribución con (k-1) grados de libertad cuando H es cierta.
2 2
1
( )
(^)
k i i s i (^) i
O E
E
En el ejemplo obtenemos ^2 = 61,24 con 3 grados de libertad, que
tiene un p‐valor = 3.2E‐13, luego rechazamos H 0.
EL P-VALOR CON EXCEL
Función: DISTR.CHI (x, gl) x= valor buscado (^2 s ) gl = grados de libertad Ejemplo: ^2 s =61.24, gl=
10
(^60) s 2 80
p‐valor
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TABLAS DE CONTINGENCIA 2 2
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En una investigación sobre sobre género y delincuencia, Moffit y sus colegas indican que una posible razón por la que los hombres tienden a cometer más delitos que las mujeres es porque tienden a experimentar más “emociones negativas” (como ira o ansiedad). Para estudiar esta relación entre género y emociones negativas, hemos tomado una muestra de 120 adolescentes y los hemos clasificado respecto de 2 variables :
Emoción negativa Género Baja Alta Mujer 46 14 Hombre 44 16
¿Los hombres tienen más emociones negativas que las mujeres?
‐ Género (Mujer / Hombre) ‐ Emocionalidad negativa (Baja /Alta)
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TABLAS DE CONTINGENCIA 2 2
Frecuencias esperadas
11 12
21 22
^
^ ^ ^
^
E E
E E
Emoción negativa
Género Baja Alta Total
Mujer 46 (45) 14 (15) 60
Hombre 44 (45) 16 (15) 60
Total 90 30 120
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TEST DE INDEPENDENCIA
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H 0 : El sexo y la emocionalidad negativa son independientes H 1 : Hay más emocionalidad negativa entre los hombres
2 2 2 2
1 1
ij ij s i j (^) ij
O E
E
Oij = frecuencias observadas (los datos) Eij = frecuencias esperadas (si H 0 fuera cierta)
ij
total fila i total columna j
E
total global
Si H 0 es cierta la distribución del estadístico es una ^2 con gl=
(^2 2 2 2 ) 2 1
( ) (^) (46 45) (14 15) (44 45) (16 15) 45 15 45 15 0.022 0.067 0.022 0. = 0.
k (^) ij ij s i ij
O E E
(^)
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TABLAS DE CONTINGENCIA 2 2
- Direccionalidad: Se cumple pues la proporción de emoción negativa es mayor en los hombres 16/60 que en las mujeres 14/60.
- Estadístico test:
- p-valor: Tabla de ^2 con 1 grado de libertad: p-valor (bilateral) = 0.
- Pero nuestro contraste es unilateral y hemos comprobado la direccionalidad luego el p-valor (unilateral) = 0,34 > 0,05 (No significativo)
- Decisión: No rechazar H 0 No hay evidencia de que la emoción negativa dependa del sexo.
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Para establecer diferencias significativas necesitamos la tabla de frecuencias esperadas que es la tabla que esperaríamos obtener si no hubiese diferencias poblacionales entre las proporciones.
FRECUENCIAS ESPERADAS
Datos categóricos 19
ij
total fila i total columna j E Edad en el primer total global nacimiento 30 años 29 años Total Caso 521,6 2698,4 3220 Control 1659,4 8585,6 10245 Total 2181 11284 13465
COMPARACIÓN DE 2 PROPORCIONES
Datos categóricos 20
El valor que toma el estadístico es
2 2 2 2 2 683 521,6^2537 2698,4^1498 1659, 4^8747 8585,6^ 78. s 521,6 2698, 4 1659, 4 8585,
La función de distribución de Excel de la Chi cuadrado con 1 g.l.:
DISTR.CHI (78.33, 1)= 8.5E‐
como el contraste es unilateral, el p‐valor = 8.5E‐19 / 2 = 4.3E‐19 << 0.05. Es decir rechazamos que las dos proporciones coincidan en la población: La proporción de mujeres con su primer hijo después de los 30 años es significativamente mayor entre las mujeres con cáncer de pecho que entre las que no lo tienen.
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TABLAS DE CONTINGENCIA R X K
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Variable categórica
B 1 B 2 ∙∙∙∙∙ Bk
Variable categóricaA 1 O 11 O 12 ∙∙∙∙∙^ O1k A 2 O 21 O 22 ∙∙∙∙∙ O2k ∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙ Ar Or1 Or2 ∙∙∙∙∙ Ork
Frecuencia observada para A 2 B 2
Tabla r k
En la tabla de frecuencias observadas, las filas/columnas pueden representar : 1 variable con r categorías y k muestras: Test de homogeneidad 1 muestra con 2 variables ( r y k categorías resp.): Test de independencia
EJEMPLO 2 VARIABLES
La tabla muestra la distribución conjunta de dos variables:
- Estatus socioeconómico del barrio
- Rapidez de respuesta de la policía a llamadas al 911
Tiempo de respuesta de la policía Estatus Menos de 3’ Entre 3’ y 7’ Más de 7’ Total Bajo 11 17 35 63 Medio 16 24 13 53 Alto 48 20 7 75 Total 75 61 55 191
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¿Hay dependencia entre el estatus y el tiempo de respuesta?
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TEST DE HOMOGENEIDAD
La tabla muestra la distribución observada de los tipos sanguíneos de 3 muestras de afroamericanos procedentes de 3 estados diferentes de Estados Unidos
En este caso tenemos TRES MUESTRAS ( una por cada estado) y UNA VARIABLE categórica (el grupo sanguíneo ) con 4 categorías: Test de Homogeneidad
¿La variable se distribuye de forma homogénea en las tres poblaciones?
Florida Iowa Missouri TOTAL A 122 1781 353 2256 B 117 1351 269 1737 AB 19 289 60 368 0 244 3301 713 4258 TOTAL 502 6722 1395 8619
26
Test de homogeneidad
H 0 : La distribución del grupo sanguíneo es la misma en los 3 estados H 1 : La distribución del grupo sanguíneo no es la misma en los 3 estados
Florida Iowa Missouri TOTAL A 122 (131.4) 1781 (1759.5) 353 (365.1) 2256 B 117 (101.2) 1351 (1354.7) 269 (281.1) 1737 AB 19 (21.4) 289 (287.0) 60 (59.6) 368 0 244 (248.0) 3301 (3320.8) 713 (689.2) 4258 TOTAL 502 6722 1395 8619 Frecuencias observadas (esperadas) (^) Por ejemplo 11
2256 502 8619
E 131.
En este caso r = 4 y k = 3, de forma que gl = (4-1)(3-1) = 6 Obtenemos: p-valor = 0,46 > 0,05 luego no rechazamos H 0 No hay evidencia de que hayan diferencias en la distribución del grupo sanguíneo en los tres estados.
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Condiciones de validez de los tests
Para que tanto el test de la bondad del ajuste como los test sobre
tablas de contingencia sean válidos es necesario que el número
de casillas con frecuencia esperada menor que 5 no supere el
20% de las casillas de la tabla.
Por ejemplo, si tenemos una tabla 2x3 entonces el 20% de 6 es
1.2. Lo cual significa que el número máximo de casillas con
frecuencia esperada menor que 5 debe ser uno.
No importa que existan frecuencias observadas menores que 5.
