Medidas de Dispersión en Estadística Descriptiva, Ejercicios de Estadística

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4. Medidas de Dispersión

E S TA D Í S T I C A D E S C R I P T I VA D R. F R A N C I S C O R A B A D Á N P É R E Z

Índice

1. Medidas de Dispersión

2. Medidas de Dispersión Absolutas

3. Medidas de Dispersión Relativas

3.1 Tipificación

3.2 Problemas al comparar dispersiones con la desviación estándar

3.3 Coeficiente de Variación de Karl Pearson

1. Medidas de Dispersión

La representatividad de una medida de posición se mide como la separación (o dispersión) entre el conjunto de valores x

i

y esa medida de posición. Diagrama de dispersión: http://matematicas1bc.blogspot.com.es/2012/05/estadistica. html

1. Medidas de Dispersión

Medidas de Dispersión

Absolutas (en unidades de x) Recorrido (Re) Recorrido Intercuartíl ico (RI) Desviación media Respecto a la media Respecto a la mediana Varianza Desviación típica Relativas (adimensionales) Coeficien te de apertura Recorrido semi- intercuar tíclico Coeficien te de variación de Pearson Índice de dispersió n respecto a la Mediana

2. Medidas de Dispersión Absolutas

Medida Cálculo Interpretación y consideraciones Varianza (^) 𝑆^8 = ∑ (^) 𝑥

. −^ 𝑥̅^ 8 %^0 1 % . 2 '

• Media de las desviaciones cuadráticas
• Difícil interpretación : Unidades al cuadrado
• No permite establecer comparaciones entre distintas magnitudes. Cuasivarianza (^) 𝑆 ' 8 = ∑^ 𝑥. − 𝑥̅ 8 %^0 19 ' % . 2 '
• La veremos en mas profundidad en la Estadística II (Es mejor estimador que la varianza) Desviación típica o estándar 𝑆 = : 𝑥. − 𝑥̅ 8

%

. 2 '

• Raíz cuadrada positiva de la varianza.
• Se interpreta como lo que se alejan típicamente los valores xi de 𝑥̅
• Fácil interpretación : en las mismas unidades que la variable K. Pearson la desarrollo en 1894 para solucionar el problema de que la media de las desviaciones respecto a 𝑥̅ es cero (m 1 =0). Ver: http://www.expansion.com/diccionario-economico/desviacion-tipica.html 𝐷 34 < 𝐷 < 𝑆 (Martín Pliego, 2011; pág. 86)

2. Cálculo de la varianza (ejemplo)

(Martín Pliego, 2011; pág. 85) Ejemplo: Calculese la varianza de una distribución de frecuencias referente a los resultados obtenidos con 50 lanzamientos de un dado 𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒙𝒊𝒏𝒊 𝒙 𝒊 𝟐 𝒏𝒊 1 6 6 6 2 11 22 44 3 6 18 54 4 7 28 112 5 9 45 225 6 11 66 396 SUMAS 50 185 837 𝒔 𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒂 𝟏 𝟐 = = ∑ (^) 𝑥 . 8 𝑛 . %

. 2 ' 𝑁 − ∑ (^) 𝑥 . 𝑛 . % . 2 ' 𝑁 8 = = 837 50 − 185 50 8 = 3 , 05

2. Medidas de Dispersión Absolutas

Propiedades de la desviación típica:

◦ P-1: 𝑆 ≥ 0

◦ P-2: 𝑆 es una medida de dispersión óptima

◦ P-3: S = 𝑎 8 − 𝑎

◦ P-4: S no se ve afectada por los cambios de origen

◦ P-5: queda afectada por cambios de escala: 𝑆

R

= 𝑘 S 𝑆

𝑆 Desviación estándar muestral 𝜎 8 Desviación estándar poblacional

3. Medidas de Dispersión Relativas

Medida Cálculo Interpretación Coeficiente de Apertura

• Presenta muchos inconvenientes (Vid. Martín-Pliego,211,pág.

Recorrido Semi-Intercuartílico

𝑅W =

• Pretende comparar la variación en el 50% central de la distribución con un teórico 100% de la distribución no afectado por valores extremos Coeficiente de variación de Pearson 𝐶𝑉 = 𝑆 𝑥̅
• Expresa la desviación típica en medias aritméticas.
• Presenta problemas cuando 𝑥̅ ≃ 0
• Funciona muy bien cuando los rangos de las variables son similares. Índice de dispersión respecto a la Me 𝑉^34 =^ 𝐷 34 𝑀𝑒 = ∑ (^) 𝑥. − 𝑀𝑒 𝑛. % . 2 ' 𝑁 S 𝑀𝑒
• Mide la desviación media respecto a la mediana en medianas.
• Es un concepto similar al de Pearson, pero presenta una mayor dificultad respecto a la generalización a la población.

3.1. Tipificación

Variable tipificada

• La tipificación transforma la variable tanto en escala como en origen.
• El valor zi es equivalente a xi pero en una distribución de media cero y desviación típica uno.
• Es especialmente útil para comparar la posición que ocuparía un individuo en diferentes colectivos ; teóricamente, que nota hubiera sacado un alumno si hubiera estado en un grupo distinto…. CUIDADO: habitualmente se confunde la variable Z con la N(0,1), pero la tipificación sólo afecta al origen y a la escala, no a la forma de la distribución.

3.1. Tipificación

Variable tipificada Ejemplo : Queremos comparar de forma relativa la nota que dos alumnos han sacado en diferentes grupos para determinar cual ocupa una posición relativa mejor. Gaspar ocupa una posición que supera levemente a la media, mientras que Tomás ocupa una posición inferior a la media alejándose negativamente en 1,5 desviaciones típicas en una distribución de media cero y desviación típica 1. Conclusión: Gaspar es mejor alumno que Tomás. Si hubieran estado en un grupo similar, le superaría en 1,625 desviaciones típicas. 𝑧jklán = 𝑥 − 𝑥̅ 𝑠a = 4 − 5 , 5 1 = − 1 , 5 𝑧opnqpr = 𝑦 − 𝑦d 𝑠f = 4 , 5 − 4 4 = 0 , 125 Grupo Tomás Grupo Gaspar 𝑥̅ = 5 , 5 𝑦d = 4 Sx = 1 Sy = 4 Nota: 4 Nota: 4, Comparando valores de distintas variables de forma adimensional con la tipificación

3.2. Problemas al comparar dispersiones con la desviación estándar S no nos sirve Si dos variables vienen expresadas en distintas unidades de medida (no se pueden comparar años y cm). si los promedios son distintos. Necesitamos una medida de dispersión adimensional, es decir, que no se vea afectada por las unidades de medida.

Coeficiente de variación de Pearson

3.2. Aplicación del Coeficiente de Variación de Karl Pearson. Características Número de veces que s contiene a 𝑥̅ Si aumenta el CV:

• aumenta la dispersión
• 𝑥̅ es menos representativa
• CV>0 (cuidado si 𝑥̅ ≃ 0 ) Ventajas Adimensional Intervienen todos los valores y sus frecuencias Inconvenientes Si 𝑥̅ =0 (habitual en la variable tipificada) No es invariante frente a cambios de origen ¿Frente a cambios de escala?

Coeficiente de variación de Pearson

Ejercicios y prácticas

Ejercicios del 1 al 5 (Martín-Pliego, 2011; pág. 90-97) Ejercicios en clase Recursos web y aula virtual. Textos recomendados

• Martín-Pliego, Introducción a la Estadística Económica y Empresarial , Editorial AC, 2011, 3ª Edición