¡Descarga estadistica descriptiva y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
1. Estadística descriptiva
La estadística és una disciplina que recull un conjunt de tècniques que ens permeten
recopilar, organitzar, analitzar, interpretar i representar dades (numèriques) per tal
deduir resultats possibles o conseqüències sobre un fenomen. Es pot diferenciar en:
- Estadística descriptiva: estudi del comportament de les dades d’un
experiment a partir de les mesures de dispersió, centralització i forma i de la
representació gràfica de les mateixes.
- Estadística inferencial: anàlisi de les dades d’un experiment aleatori amb
l’objectiu d’obtenir conseqüències i realitzar prediccions.
- Probabilitat: estudi formal (matemàtic) de l’atzar. Construcció de models.
1.1. Conceptes generals.
Població: És el conjunt total d’individus o objectes que presenten una mateixa
característica.
Unitat fonamental: És el tipus de component bàsic que forma una població.
Característica: És la propietat o experiment que es vol estudiar sobre els individus
d’una població.
Mostra: És el subconjunt d’individus d’una població a partir dels quals es pretén inferir
el comportament d’una població.
Experiment estadístic: És un esdeveniment que s’estudia sobre una població.
Variable: És la característica que es pot estudiar en un experiment estadístic. Tipus:
- V. qualitativa: És una variable que fa referència a una característica que només
es pot descriure, encara que són susceptibles de ser quantificables.
- V. quantitativa: És una variable que fa referència a una característica mesurable.
Tipus:
- Discreta: És quan el nombre de valors que pot prendre la variable es pot
relacionar mitjançant una aplicació bijectiva amb N o un subconjunt de N, és a
dir, el conjunt de valors és un conjunt numerable.
- Continua: si el nombre de valors no és numerable, és a dir, existeix una
relació de correspondència biunívoca amb el conjunt R.
Freqüència: És el nombre de cops que es repeteix un tipus de dada. Tipus:
- F. absoluta: nombre de cops que es repeteix la classe en un experiment (ni).
- F. absoluta acumulada: suma de freqüències absolutes (Ni).
- F. relativa: freqüència absoluta dividida entre el nombre total d’observacions (fi).
- F. relativa acumulada: suma de freqüències relatives (Fi).
- F. relativa percentual: freqüència relativa multiplicada per 100 (fpi).
- F. relativa acumulada percentual: freqüència relativa acumulada multiplicada
per 100 (Fpi).
1.2. Distribucions de freqüències univariants.
Dades univariants: Són les que fan referència a una única variable.
1.2.1. Distribucions de freqüències discretes. Exemple:
Exemple 1.1: A partir de les següents dades inicials: 0, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5;
Escriu la corresponent Distribució de freqüències.
xi ni Ni fi Fi
1.2.3. Representació gràfica de distribucions de freqüències.
Diagrama de barres: És una representació en uns eixos cartesians en què en l’eix
d’abscisses es representen les modalitats, i en el d’ordenades les freqüències. S’utilitza
per a caràcters qualitatius i variables discretes. Per això, les barres són estretes i estan
separades.
Histograma: És una representació que es fa quan la variable és continua. Consisteix
en dibuixar rectangles. En l’eix d’abscisses es representen els intervals de la variable, i
en el d’ordenades les freqüències dels intervals.
Polígon de freqüències: És una representació lineal que uneix els punts més alts de
les bases de les barres d’un histograma respecte la marca de classe. D’on sovint es
dibuixen l’histograma i el polígon de freqüènciessuperposats. Tot i això, en l’exemple
següent, no realitzem una superposició.
Diagrama de sectors: És una representació en cercle en què cada valor del caràcter
es representa en un sector circular.L’amplitud del sector és proporcional a la freqüència
absoluta del valor.
Altres tipus de gràfics.
- Diagrama de caixes.
- Diagrama de punts.
- Diagrama de tiges i fulles.
- Diagrama de valors de lletres.
- Diagrama d’arrels.
1.3.2. Moda
És el valor de freqüència més gran. Tipus:
- si hi ha dues modes, són bimodals.
- si hi ha 3 modes, són trimodals.
- si hi ha varies modes, són polimodals.
- si no hi ha moda (tots els valors tenen la mateixa freqüència), aleshores diem que
la mostra és amodal.
En el cas de tenir intervals:
1 1
1
1
−
i i
i
i i h h
h
Mo L a
1.3.3. Mitjana geomètrica
Aquesta mesura de centralització és com una mitjana aritmètica però en un escala
logarítmica; és considera que resulta un valor més representatiu en dades petites,
tants per u per exemple.
n n
n i
n
i
G = Π x = x ⋅ x ⋅ ⋅ x
K
1 2 1
Exemple 1.3: Calcula la mitjana geomètrica dels següents tipus d'interès: 0'03, 0'05,
0'02, 0,06.
1.3.4. Mitjana harmònica
S'utilitza per variables que és troben respecte a un altra mesura, per exemple en
quilòmetres per hora.
∑
i
x
n H
1
Exemple 1.4: Calcula la mitjana geomètrica de les següents velocitats: 80 Km*h, 90
Kmh, 85 Kmh, 100 Km*h.
1.3.5. Mitjana aritmètica ponderada
S'utilitza el pes de les dades no representa la seva importància relativa respecte a la
mostra.
∑ i i ∑ i
Xp x p on p
Exemple 1.5: Calcula la mitjana ponderada de les següents notes en funció del
nombre de temes que hi entraven.
1er Examen --> Nota: 4 Temes: 1
2on Examen --> Nota: 7 Temes: 2
3er Examen --> Nota: 5 Temes: 4
4rt Examen --> Nota: 6 Temes: 3
1.3.6. Quantils
Són unes mesures de centralització en les que la sèries de dades ha d’estar ordenada
de forma creixent. Tipus:
- Percentils: marca el primer individu que deixa per sota d’ell el k % de les
observacions.
- Decils: són els percentils múltiples de deu.
- Quartils: són els percentils múltiples de vint-i-cinc.
50 5 2
P = D = Q
Distribució per intervals: adaptant la fórmula de la mediana ens permet buscar
qualsevol quartil en mesures per intervals:
i
i
k i i n
N
k N
Q L a
1
1
−
−
Quasivariància o variància corregida: És l'estimador de la variància mostral no
esbiaixat.
( ) ∑ − −
2 2
x X
n
S
i
Utilitzant les freqüències absolutes:
( ) ∑
i i
x X n
n
S
2 2
Utilitzant les freqüències relatives:
( ) ∑
i i
x X f
n
n S
2 2
La diferència entre la variància i la quasivariància va disminuint assimptòticament,
arribant a ser despreciable. Igualment hi ha una ràpida conversió per passar de l'un a
l'altre:
2 2
S
n
n
S
−
1.4.5. Desviació típica o estàndard
Mesura de la distància promig entre els valors de la mostra i la mitjana aritmètica.
2 S = S
1.4.6. Coeficient de variació
Relativitza la dispersió al valor de la mitjana. Ens dona una mesura sobre la
representativitat de la mitjana.
X
S
CV =
1.5. Mesures de forma
Mesuren el grau de deformació respecte a una corba patró (normalment és la
distribució normal).
1.5.1. Coeficient d'asimetria de Pearson:
S
X Mo CS
Interpretació:
- Si CS < 0! la distribució és asimètrica negativa.
- Si CS = 0! la distribució és simètrica.
- Si CS > 0! la distribució és asimètrica positiva.
as. negativa simetria as. Positiva
La relació entre la mitjana aritmètica i la mediana depèn de la simetria de la
distribució. Així:
- Asimetria positiva si! Mo < X
- Simètrica si! Mo = X
- Asimetria negativa si! Mo > X
Exemple 1.6: A partir de les següents dades, fes les gràfiques de la freqüència
absoluta i de la freqüència relativa acumulada. Calcula les mesures demanades:
Exemple 1.7: A partir de les següents dades, calcula les mesures demanades:
Exercici 1.2: A partir de les següents dades, busca les mesures demanades:
Exercici 1.3: Dos amics sopen en un restaurant, un d'ells es menja una pizza
sencera mentre que l'altre no pren res. Busca la mitjana de pizzes menjades i analitza
la seva representativitat:
Exercici 1.4: Tenim una empresa amb sis treballadors amb els següents salaris: 900,
800, 600, 900, 1000, 1200. Volem veure quina de les dues alternatives equipara més
els salaris.
a) Un augment lineal de 50 euros.
b) Un augment lineal de 100 euros menys un 3% del sou després de l’increment.
Exercici 1.5: Completa la taula:
1.7.3. Coeficient de correlació
A part d'indicar el tipus de relació esperat entre dues variables, també ens aporta la
seva intensitat lineal, quan més propera a u, en valor absolut, més intensa; i com més
propera a zero menys relació lineal.
x y
xy
S S
S
r
⋅
1.7.4. Mitjana, variància i covariància de combinacions lineals de
variables
Busquem les mesures d'una nova variable creada a partir de dues variables conegudes.
i i i
z = a + b ⋅ x + c ⋅ y
Transformacions:
- Mitjanaaritmètica→ Z = a + b ⋅ X + c ⋅ Y
x y xy
z i i i i i
b S c S b c S
S z a b x c y b x c y
Variància var( ) var( ) var( ) var( ) 2 cov( , )
2 2 2 2
2
Exemple 1.8: A partir de les següents dades realitza les distribucions conjuntes
absoluta i relativa; busca també les mesures indicades i la mitjana i variància de la
variable z, que compleix que: i i i
z = 1 − 3 ⋅ x + 0 ' 5 ⋅ y
