Estadistica Descriptiva, Diapositivas de Matemáticas

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Estadística Descriptiva y

Probabilidades

SEMANA 05

Datos/Observaciones

CONTENIDO GENERAL

MEDIDAS DE^ DISPERSIÓN

RANGO

VARIANZA

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

• Menor dispersión = más homogéneo
• Mayor dispersión = menos homogéneo
• Menor dispersión = menos heterogéneo
• Mayor dispersión = más heterogéneo

1 2

¿En cuál imagen crees que existe mayor dispersión?

Justifica tu respuesta

Son estadígrafos o medidas de resumen que miden la diferencia,

la distancia o variabilidad existente entre un conjunto de

observaciones o datos con respecto a un valor de referencia la

cual generalmente es la media aritmética o promedio. Las más

útiles son:

1. El recorrido o rango: “ R ”
2. La varianza: S^2 ó ^2
3. La desviación estándar: S ó 
4. El coeficiente de variación: CV%

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

2. VARIANZA : ^2 ó S^2 - La VARIANZA es el promedio de los cuadrados de las

desviaciones.

• La VARIANZA mide la dispersión en unidades cuadradas (años^2 ,

soles^2 ; etc).

• Para calcular el valor de la varianza se resume en el cuadro

siguiente las fórmulas correspondientes.

Para datos no agrupados:

2 1

n i i

X u

N

=

^ −

2 2 1 2

n i i

X

N

 = = − 



2 (^2 )

n i i

X X

S

n

=



Varianza Poblacional: Varianza^ Muestral:

Fórmula práctica Fórmula práctica

^2 S^2

Para datos agrupados en tablas con intervalos

Fórmula práctica

VARIANZA POBLACIONAL: ^2 VARIANZA MUESTRAL: S^2

Varianza poblacional:

𝜎^2 =

σ𝑖^ 𝑘=^1 𝑥𝑖 − 𝜇 2 𝑓𝑖

𝜎^2 =

σ𝑖^ 𝑘=^1 𝑓𝑖𝑥𝑖^2

− 𝜇^2

𝑆^2 =

σ𝑖^ 𝑘=^1 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 2 𝑓𝑖

Fórmula práctica

𝑆^2 =

σ𝑖^ 𝑘=^1 𝑓𝑖𝑥𝑖^2 − 𝑛 𝑥ҧ 2

^2

3. DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA

• La desviación estándar se calcula, obteniendo la raíz cuadrada de

la varianza.

• La desviación estándar mide la dispersión de los datos en

unidades simples (años, soles, etc)

2  = 

2 s = s

Ejemplo: Suponga que las notas de la 1 era práctica de una

muestra de 3 secciones del curso de estadística descriptiva y

probabilidades fueron.

SECCIONES CALIFICACIONES PROMEDIO

SECCIÓN A 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

SECCIÓN B 14 13 15 14 12 15 16 13 12 16 14

SECCIÓN C 19 8 19 11 16 18 6 13 10 20 14

Analice las notas promedio de las 3 secciones del curso:

SECCIONES CALIFICACIONES PROMEDIO

SECCIÓN A 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

SECCIÓN B 14 13 15 14 12 15 16 13 12 16 14

SECCIÓN C 19 8 19 11 16 18 6 13 10 20 14

Calculemos la varianzas (𝑆^2 ),Desviación estándar (𝑆),coeficiente de variación(𝐶𝑉)

Analicemos cada uno de las secciones

EJEMPLO: Sueldos mensuales (en dólares) de 60 empleados de la Empresa “Pirámide S.A”, donde la tabla de distribución de frecuencias se muestra a continuación

𝑰𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒉𝒊 ]320 – 370] (^345 4) 0, ]370 – 420] (^395 8) 0, ]420 – 470] (^445 14) 0, ]470 – 520] (^495 9) 0, ]520 – 570] (^545 11) 0, ]570 – 620] (^595 8) 0, ]620 – 670] (^645 6) 0, Total ___ (^60) 1,

Piden

• Calcule la varianza de sueldo mensual de

los 60 empleados.

• Calcule e interpreta la desviación estándar.
• Calcule e interpreta la coeficiente de

variación.

VARIANZA 𝑺𝟐

𝑰𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒇𝒊 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 2 𝑓𝑖 ]320 – 370] (^345 4 1380) 93025. ]370 – 420] (^395 8 3160) 84050. ]420 – 470] (^445 14 6230) 38587. ]470 – 520] (^495 9 4455) 56. ]520 – 570] (^545 11 5995) 24818. ]570 – 620] (^595 8 4760) 76050. ]620 – 670] (^645 6 3870) 130537. Total ___ (^60 29850) 447125.

𝑆^2 =

σ𝑖^ 𝑘=^1 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 2 𝑓𝑖

𝑆^2 =

Reemplazando en la formula

𝑥 ҧ =

Calcule de promedio: 60 =^497.^5 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

Ejemplo: Los siguientes Registros Corresponden al tiempo (minutos) en que los alumnos de dos universidades Públicas del país llegan tarde en el mes de Abril de 2019 las clases del curso de estadística:

Universidad de

Ingeniería

Universidad de la

Molina

Tiempo 𝒇𝒊 Tiempo 𝒇𝒊

[0 - 2.1> 8 [0 - 1.1> 10

[2.1 - 4.1> 10 [1.1 - 2.1> 12

[4.1 - 6.1> 12 [2.1 - 3.1> 6

[6.1 - 8.1> 15 [3.1 - 4.1> 14

[8.1 - 10.1> 10 [4.1 - 5.1> 12

[10.1 - 12.1> 5 [5.1 - 6.1> 16

Total 57 [6.1 - 7.1> 2

Total 72

a)Compare la desviación estándar

del tiempo de tardanza de los

alumnos en mes de setiembre en

ambas universidades.

b)Que puede concluir acerca de los

resultados encontrados en (a).

c)Compare el coeficiente de

variación del tiempo de tardanza

de los alumnos en mes de Abril

en ambas universidades.

Universidad de Ingeniería Tiempo 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙ഥ 𝟐𝒇𝒊 [0 - 2.1> 1.05 8 8.40 187. [2.1 - 4.1> 3.10 10 31.00 78. [4.1 - 6.1> 5.10 12 61.20 7. [6.1 - 8.1> 7.10 15 106.50 21. [8.1 - 10.1> 9.10 10 91.00 102. [10.1 - 12.1> 11.10 5 55.50 135. Total 60 353.60 533.

𝑥 ҧ = 35360.^60 = 𝟓. 𝟖𝟗 min

Calculamos el promedio de tardanza de los alumnos de Universidad de la Molina.

𝑆^2 =

60 − 1 =^ 𝟗.^ 𝟎𝟒^ 𝒎𝒊𝒏

VARIANZA 𝟐

DESVIACIÓN STANTANDAR S

𝑆 = 9. 04 𝑀𝑖𝑛^2 = 𝟑. 𝟎𝟎 𝒎𝒊𝒏

COEFICIENTE DE VARIACIÓN (CV)

𝑥 ҧ

5. 89 ∗^ 100%^ =^ 𝟓𝟎.^ 𝟗𝟑%

Calculamos las medias de dispersión para os estudiantes de la universidad de Ingeniería