Estadística I, Apuntes de Estadística

¡Descarga Estadística I y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

ESTADÍSTICA I

Tema 1:

DEFINICIÓ D’ESTADÍSTICA :

La estadística és la branca del mètode científic que estudia les característiques d’una població. Té per objectiu la obtenció, descripció i

anàlisi de les característiques quantificables ( variables ) dels elements de la població ( individus ) amb la finalitat de conèixer propietats de la població d’interès per la presa de decisions.

Població : Conjunt de tots els individus que presenten característiques comuns i que son l’objecte del nostre estudi.

Exemple : Estudiants universitaris Europeus

Mostra: Subconjunt de la població.

Exemple : Estudiants universitaris CTE

Individu: Cadascun del elements de la mostra (individu mostral) i/o de la població (individu poblacional) Els individus mostrals també son poblacionals. Exemple : Cadascun dels estudiants universitaris europeus i/o cada cadascun dels estudiants del CTE. Parlem de mostra representativa a aquella mostra representa la població de forma fidel.

-. Variable: Característica de la població subjecte de l’estudi. Exemples:

• Població: Estudiants Universitaris Europeus.
• Variables: Alçada, Sexe, Nivell socioeconòmic (baix, mitjà, alt), Número de germans...

-. Podem classificar les variables estadístiques:

• Atès a la naturalesa de la variable de estudi
• Atès a la forma en que estan recollides las dades Tipus de variable atès la seva naturalesa: -. QUALITATIVES : No són mesurables i no es pot operar amb elles (suma, resta, multiplicació i divisió)

Exemple: Sexe o Nivell socioeconòmic

1. Identificar el problema i formular-ho en forma de preguntes -. Identificar la població i les variables d’interès

-. Formular preguntes concretes sobre les variables

2. Disseny de l’experiment:

-. Quin tipus de dades i quantes observacions són necessàries.

-. Metodologia: Establir com volem analitzar-les variables

3. Recollida de dades: FASES DEL PROCÈS ESTADÍSTIC Font de les dades: usualment bases de dades d’alguna institució (INE, Eurostat,...) 4. Anàlisi descriptiu de les dades:

Establir un conjunt de mesures que permetin extreure informació de les dades

5. Anàlisi Inferencial:

Conjunt de tècniques que ens permetran establir conclusions generals a partir de la mostra.

Tema 2:

La informació més general que podem obtenir d’una variable es la

freqüència en la que es donen en la mostra cadascun dels possibles valors (distribució de freqüències)

DISTRIBUCIÓ DE FREQÜÈNCIES D’UNA VARIABLE

Podem distingir 4 tipus de freqüències:

-. Freqüència absoluta (nk)

-. Freqüència relativa ( f k )

-. Freqüència absoluta acumulada (Nk)

-. Freqüència relativa acumulada ( F k )

Marca de Classe : mck

Per la construcció d’algunes mesures que veurem més endavant, sovint necessitem un valor numèric que representi tot l’interval.

Farem servir el valor central de l interval o marca de classe:

Densitat de freqüència: dk

Densitat de freqüència : Número d’observacions que conté un interval per unitat de longitud.

Taula de freqüències amb dades agrupades

2. La mitjana aritmètica es sensible als canvis d’escala i als canvis d’origen:  -. Canvi d’origen:

-. Canvi d’escala:

3. Mitjana total i mitjana de les submostres

Mitjana Harmònica (Hx):

La Mitjana harmònica es la inversa de la mitjana aritmètica dels valors

inversos de la variable:

Es fa servir per fer calcular el valor mitjà de variables que representen quocients (velocitat (km/h), productivitat (producció/treballador), sempre

que el numerador sigui el mateix.

Mitjana Geomètrica (Gx ):

La mitjana geomètrica de N observacions és l’arrel enèsima del producte de les observacions:

És fa servir per calcular el valor mitja de variables que representen variacions acumulatives percentuals: inflació , rendiments, tipus d’interès...

Mitjanes Geomètrica i Harmònica (Exercicis)

La distància entre Barcelona i Girona és de 100Km. Si fem el recorregut d’anada a 80Km/h i el de tornada a 120Km/h. ¿Quina ha estat la velocitat

mitjana del trajecte anada i tornada? ¿Quant trigarem a fer aquest trajecte?

Havíem vist que la velocitat mitjana en fer la totalitat del trajecte ha estat 200km/2.083333h = 96km/h

Mitjana Harmònica: 2 / (1/80 + 1/120) = 96km/h

El preu d’una acció del BSCH a dia d’avui es de 10€. Si en el proper mes augmentes un 8% , un 10% en el segon i un 3% en tercer, ¿Quin és ha estat l’increment mitjà: π?

Ja havíem vist que l’increment mitjà:

Podem comprovar com la mitjana geomètrica dels creixement mensuals:

Moda (Mox):

La Moda és el valor més repetit a la mostra. És adir, el que apareix amb major freqüència. Doncs, per el seu càlcul és molt útil la taula de freqüències. Exemple: 4, 2, 4, 5, 6, 2, 4, 1 Mo: 4 (Unimodal) Exemple: 4, 2, 4, 5, 6, 2, 4, 2 Mo: 2 i 4 (Bimodal)

Taula amb dades agrupades en intervals:

Exemple (IT) Freqüències agrupades

Nota: si les amplituds son iguals en tots els intervals apliquem la mateixa

fórmula

Mesures de posició no central, Quantils

 Quartils ( Ci ): Son 3valors que divideixen la mostra ordenada en 4 parts iguals que contenen cadascuna el 25% de les dades. C1 deixa per sota (freqüència relativa acumulada) el 25% de les observacions, C2 deixa per sota el 50% de les dades (Nota: C2 ≡ Me ) i C3 que deixa per sota el 75% de les dades.

Decils ( Di ): Son 9 valors que divideixen la mostra ordenada en 10 parts iguals que contenen cadascuna el 10% de les dades. D1 deixa per sota el 10% de les observacions, D2 deixa per sota el 20% de les dades,...., D deixa per sota el 50% de les dades (Nota: D5 ≡ Me),...,i D9 que deixa per sota el 90% de les dades.

Percentils ( Pi ): Son 99 valors que divideixen la mostra ordenada en 100 parts iguals que contenen cadascuna el 1% de les dades. P1 deixa per sota el 1% de les observacions, P2 deixa per sota el 2% de les dades,...., P deixa per sota el 50% de les dades (Nota: P50 ≡ Me),...,i P99 que deixa per sota el 99% de les dades.

a) Dades no agrupades

-.C1=Q1/4 ( r/M ) N = (1/4)20 = 5 N2 =5 C1= (5 + 8) / 2 = 6. -.C2=Q2/4 ( r/M ) N = (2/4)20 = 10 N3 <10 i N4 >10 C2= 12 -.C3=Q3/4 ( r/M ) N = (3/4)20 = 15 N4 <15 i N5 >15 C3= 18

b) Dades agrupades en intervals:

Variància (mostral): (S2)

Calcular les distàncies de les observacions a la mitjana aritmètica (desviació)

Exemple: 0,0,1,1,5,5 (suposem per exemple que dades en €)

Taula de freqüències amb dades agrupades en intervals:

Exemple: (suposem per exemple que dades en metres)

Propietats:

-. Quant mes alta és la dispersió major és S2(x) -. Es mesura en unitats al quadrat -. S2(x) ≥ 0 MAI VARIÀNCIES NEGATIVES!! -. Canvis d’escala i origen:

• Variància NO és sensible als canvis d’origen:
• Variància SI és sensible als canvis d’escala:

Desviació estàndard o Típica: S(x)

És l’arrel quadrada positiva de la variància:

Característiques:

1. S(x) > 0
2. A major desviació estàndard major dispersió
3. Esta en les mateixes unitats que la variable x Propietats:
4. No és sensible als canvis d’origen:
5. És sensible als canvis d’escala:

Coeficient de variació de Pearson: CV(x)

És el quocient entre la desviació estàndard i el valor absolut de la mitjana

Interpretació: Quant més a prop de 0 menor és la dispersió. Inconvenients: Poc fiable si la mitjana es molt petita.

Alçades cm: 155, 160, 170, 185, 171, 165, 160, 168, 164 i 170

Mesures d’ Asimetria

1- Coeficient d’ asimetria de Pearson:

Propietats:

1. canvi d’origen: La covariància no es veu afectada per els canvis d’origen:
2. canvi d’escala: La covariància si es veu afectada per el canvi d’escala:

Coeficient de correlació de Pearson (rx,y):

Tema 4:

1. rx,y < 0 Relació estadística lineal negativa (rx,y = -1 relació lineal negativa exacte)
2. rx,y = 0 Absència de relació lineal
3. rx,y > 0 Relació estadística lineal positiva (rx,y =1 relació lineal positiva exacte)

Anàlisi d’una recta:

Model de Mínims Quadrats Ordinaris (MQO):

1-Una relació lineal perfecte ( valor ajustat ) : 2-Un error o residu: e

El residu, és la diferencia entre el valor real yi i el corresponen valor en la recta:

Coeficient de determinació: R

Funcionament:

1. Si R2 = 1 ajust lineal perfecte.
2. Si R2 = 0 no hi ha relació lineal.

PREDICCIÓ

Interpolació: El valor xp està dintre del Rang de les X (Predicció + fiable)

Extrapolació: El valor xp està fora del Rang de les X (Predicció - fiable)

Índex Simples: Per a construir l’Índex seguim les passes següents:

1. Decidir quin és el període base (sobre quin moment volem mesurar els canvis).
2. Assignem el valor 1 al període base.
3. Per la resta de períodes els hi assignem el quocient entre el valor en el període i el valor al període base

Índex simple de preus (pts) per tres productes prenent com a any base 1992

Podem utilitzar l’índex calcular qualssevol taxa de variació respecte(VR) al 1992:

Propietats:

Identitat :

Inversió:

Circularitat: donats el períodes t , t’ i t’’:

Cíclica: donats el períodes t , t’ i t’’:

Nota : aquesta propietat és la que ens permet fer canvis de base:

Proporcionalitat : Si els valors son proporcionals els índex també:

Canvis de base:  -. Tenim una sèrie de números índex respecte a un t període base b:

-.Volem calcular la sèrie de números índex respecte a un altre període base b’.

-.Utilitzant la propietat cíclica es molt fàcil veure que podem obtenir la sèrie de números índex respecte a la nova base b’ directament de la sèrie de números índex inicial a la base antiga b, com:

Construïm un Índex per el preu de la llet en base 1992

Enllaç Suposem que disposem d’un Índex (quinquennal) sobre la quantitat emesa de CO2 en base 1970, entre els anys 1970 i 2000 Utilitzant la fórmula del canvi de base: