exercicis estadistica, Ejercicios de Estadística

¡Descarga exercicis estadistica y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!

Llistat de Problemes

Estadstica I I

Universitat Autonoma de Barcelona

Curs 2001-

Contents

• 1 Teoria del Mostreig
• 2 Estimacio
• 3 Contrats d'Hipotesis
• 4 Analisi de la Correlacio i Contrasts de Concordancia
• 5 Analisi de la Regressio Simple

5. Una empresa pro ductora d'aparells de televisio en color dessitja estimar el temps mitja que triga un aparell en avariar-se. Vol fer-ho de tal forma que la proba- bilitat de que l'estimacio difereixi de l'autentic valor en mes de 10 hores sigui igual a 0.05. Si se sap que la desviacio estandar del temps d'avaria es de 100 hores, quin hauria de ser el tamany de la mostra?
6. Utilitzant la taula de la ^2 , trobar els valors ^21 i ^22 tals que P (^2 > ^21 ) = 0 : 95 i P (^2 > ^22 ) = 0 : 05 quan els graus de llib ertat son 5, 10, 20, 60 i 100.
7. Per al director d'una planta es imp ortant controlar la variacio en gruix d'un material plastic. Se sap que la distribuio del gruix del material es Normal amb desviacio estandar de 0.01 cm. Una mostra aleatoria de 25 p eces d 'aquest material dona com a resultat una desviacio estandar mostral de 0.015 cm. Si la variancia p oblacional es (0:01)^2 , quina es la probabilitat de que la variancia mostral sigui igual o mes gran que (0:015)^2?
8. Si s'obte una mostra aleatoria de n = 16 d'una distribucio Normal amb mitjana i variancia p oblacionals desconegudes, obtenir P (S 2 = 2  2 :041).

2 Estimacio

1. L'Error Quadratic Mig d'un estimador ^ es de neix com E QM ( ^ ) = E ( ^  )^2. Demostrar que E QM ( ^ ) = V ( ^ ) + B ( ^ )^2
2. Sup osant que Xi  N (;  2 ), quin dels seg uents estimadors de  son inesbiaixats ?

(a) ^ 1 = X^1 +X^2 + 4 X^3 +X^4 (b) ^ 2 = 2(X^16 + X^2 )+ X^3 + 6 X^4 (c) ^ 3 = X^1 X^2 + 4 X^3 X^4

De entre els estimadors inesbiaixats, quin es el mes e cient? Quin es el mes e cient de entre tots tres?

3. Sup osem que tenim una mostra de tamany n obtinguda d'una p oblacio N (;  2 ) i volem estimar . De tots esl estimadors de  de la forma

^ = x 1 +  x 2

trobar els valors de  i  p er tal de que l'estimador sigui inesbiaixat i tingui variancia mnima.

4. Una mostra aleatoria dels salaris p er hora de nou mecanics dona esl seg uents resultats: 10 : 5 ; 11 ; 9 : 5 ; 12 ; 10 ; 11 : 5 ; 13 ; 9 ; 8 : 5 Sup osant que la mostra s'obten d'una p oblacio Normal, obtenir intervals de con anca amb = 0 : 05 i = 0 : 01 p el salari mig p er hora si

(a) Es coneix que  2 = 1 : 5 (b) Es desconeix  2

5. S'esp era que hi hagi una certa variacio en el gruix de les llamines de plastic que una maquina pro dueix. Se selecciona una mostra aleatoria de 12 llamines i es medeix el gruix de cada una d'elles, resultant:

12 : 6 ; 11 : 9 ; 12 : 3 ; 12 : 8 ; 11 : 8 ; 11 : 7 ; 12 : 4 ; 12 : 1 ; 12 : 3 ; 12 : 0 ; 12 : 5 ; 12 : 9

Si sup osem que el gruix es una variable Normal, obtenir un interval de con anca al 95% p er la variancia del gruix.

3 Contrats d'Hipotesis

1. Quines de les seg uents a rmacions son certes i quines falses:

(a) Quant mes gran sigui el nivell de sini cacio mes probable es el rebuig de H 0 quan es certa. (b) Quant mes gran sigui el nivell de con anca mes probable es el rebuig de H 0 quan es certa. (c) Quant mes gran sigui el nivell de signi caico mes gran sera la p oteencia del test. (d) Quant mes gran sigui la p oteencia del test mes probable es el rebuig de H 0 quan es falsa.

2. En una zona del Penedes, la collita promig normal de ram es de 100 tones p er Ha. Un any en que el clima va ser bo se seleccionaren 12 parcel
   les que van donar una collita promig de 106 tones p er Ha. Si la pro duccio p er Ha. es una variables aleatoria Normal amb variancia 64, existeix alguna rao p er a p ensar que aquest any la collita ha estat millor del normal? ( = 0 :01). Trovar el v al or p en aquest cas.
3. Un contratista encarrega una gran quantitat de vigues d'acer amb una longitut promig de 5 metres. Es coneix que la longitut d'una viga es una variable que es distribueix normalment amb una desviacio estandar de 0.02 metre s. Un cop rebuda la comanda, el contratista selecciona 16 vigues a l'atzar i medeix les seves longituts. Si la mitjana mostral te un valor mes p etit que l'esp erat, el contratista retornara la comanda.

(a) Si la probabilitat de rebutjar una comanda \b ona" es de 0.04, quina ha de ser la mitjana mostral p er tal de que la comanda sigui retornada?

4. En una fabrica es dissenya una op eracio esp ec ca que o cupa un temps promig de 5 minuts. L'encarregat de la fabrica sospita que un op erari en particular o cupa mes temps en aquesta op eracio. L'encarregat pren una mostra de 11 temps d'op eracio p er aquest op erari i obte els seg uents resultats (en minuts): 4.8, 5.6, 5.3, 5.2, 4.9, 4.7, 5.7, 4.9, 5.7, 4.9, 4.6. Si sup osem que el temps d'op eracio es una variable Normal,

(a) Recolca l'evidencia la sospita de l'encarregat ( = 0 :02). (b) Quin es el v al or p en aquest cas?

5. Un fabricant de rentadores a rma que nomes el 5% de totes les unitats que pro dueix s'han de reparar alguna vegada durant el primer any d'op eracio nor- mal. Un organitzacio de consumidors ha demanat a 1000 famlies amb el mateix n umero de menbres que han comprat aquestes rentadores que informin de qual- sevol mal funcionament durant el primer any. Al nal d'aquest nomes tres famlies van informar de mal funcionament. Si l'organitzacio de consumidors creu que la prop orcio de rentadores que tindra problemes es mes gran que la que la que el fabricant diu, determinar si l'hipotesi H 0 :  = 0 : 05 p ot ser rebutjada amb un = 0 : 1
6. El resp onsable de la campanya electoral del candidat A creu que aquest es troba en la mateixa p osicio que el seu op onent, el candidat B, p ero que alguns ensurts recents p o den haver afectat la seva situacio. El resp onsable fa una en questa entre 1500 ciutadans. Si dels 1500, 720 indiquen una preferencia p el candidat A, existeix alguna rao p er a p ensar que A es troba en pitjor p osicio en relacio al candidat B ?. Utilitzar = 0 : 05
7. L'encarregat d'un taller sospita que el n umero de p eces que pro dueix un tre- ballador determinat uctua mes del normal. L'encarregat decideix observar el n umero de p eces que aquest traballador pro dueix durant 10 dies seleccionats a l'atzar. El resultats son 15, 12, 8, 13, 12, 15, 16, 9, 8 i 14. Si se sap que la desviacio estandar p er la resta dels treballdors es de dos unitats i que el n umero de p eces pro duides al dia segueix una distribucio Normal, te prou fonament la s ospita de l'encarregat? Utilitzar = 0 :05. Quin es el v al or p en aquest cas?
8. Un fabricant dessitja compara la tensio promig dels seus ls amb la dels seus comp etidors. Es van observar les tensions promig de 100 ls cada marca. Els resultats van ser els seg uents.

X 1 = 110 : 8 X 2 = 108 : 2

s 1 = 10 : 2 s 2 = 12 : 4 Si sup osem que el mostreig es va dur a terme en dues p oblacions Normals i in- dep endents, existeix alguna rao p er a creure que hi ha una diferencia imp ortant entre les tensions promig de les dues marques? Utilitzar = 0 : 02

9. Es va dur a terme un estudi p er a determinar el grau en el qual l'alcohol afecta la capacitat de concentracio p er a desenvolupar una tasca determinada. Se

1000 de B, les insp ecciona i troba 70 i 70 unitats defectuoses resp ectivament. Existeix alguna rao p er no comprar unicamen t al proveidor B? ( = 0 :02).

12. Dues p ersones, A i B, juguen a cara i creu amb una moneda. Despres de 100 llencaments, A, que va triar cara, ha guanyat 62 vegades. A la vista d'aquest resultat, B a rma que la moneda esta trucada i que la probabilitat d'obtenir cara es sup erior al 50%. Te rao B? ( = 0 :05).
13. En un hospital es va prendre una mostra de 7 malalts, observant-se que dormien 7, 5, 8, 8.5, 6, 7 i 8 hores. Se'ls dona a tots ells una medicacio p er a dormir i s'obte despres una mostra de tamany 5 en la que resulta que van dormi r 9, 8.5, 9.5, 10 i 8 hores. Pot dir-se que a la p oblacio li va fer efecte la medicacio? (Sup osar Normalitat i = 0 :05)
14. Els errors aleatoris de dos aparells de medida segueixen distribucions Normals N (0;  12 ) i N (0;  22 ). En una mostra de 7 observacions s'obtenen els seguents errors: Primer aparell: 0.3, 0.7, -1.1, 2.0, 1.7, -0.8, -0. Segon aparell: 1.6, -0.9, -2.8, 3.1, 4.2, -1.0, 2. Pot dir-se que el primer aparell es mes precs que el segon?
15. Es demana a un lab oratori que compari la durabilitat de quatre marques de pilotes de golf. El lab oratori realitza un exp eriment en el que se seleccionen de forma aleatoria vuit pilotes de cada fabricant i es p osen en una maquina que colp eja cada pilota amb fora constant. La medicio d'interes es el numero de vegades que la maquina colp eja la pilota abans que el seu recobriment extern es trenqui. En la taula segent es recull l'informacio que es va obtenir en realitzar-se l'exp eriment.

A B C D 205 242 237 212 229 253 259 244 238 226 265 229 214 219 229 272 242 251 218 255 225 212 262 233 209 224 242 224 204 247 234 245

Existeix alguna rao p er creure que la durabilitat promig es diferent p er cada una de les quatre marques? (Utilitzar = 0 :05).

16. Per determinar si existeixen diferencies en la collita promig de tres varietats de blat de moro, es va dividir una parcel
    la en tres arees iguals i es va plantar en cada una de elles una de les varietas. De cada una d'aquestes tres arees s'obte una mostra de tamany 5 que correspon a 5 mesuraments de tones recollides p er acre. La taula segent es una taula incomplerta de l'Analisi de la variancia p er aquest problema.

Variacio Suma G. de LL. Suma mitjana F VEM 64 VDM VT 100

Completar la taula ANOVA i determinar si es p or tebutjar l'hipotesi nul.la de que les collites promig son igulas amb un nivell = 0 : 01

Aprovats Susp ens Total Assistiren a classe 40 20 60 No assistiren a classe 15 25 40 Total 55 45 100 Indiquen les dades que l'assistencia a classe esta relacionada amb el resultat de l'examen?

5. Una agencia d'enquestes dessitja triar, de entre tres meto des alternatius p er recollir informacio, aquell que garanteixi un p ercentatge mes gran de resp ostes p er part de l'enquestat. Un exp eriment aleatori va donar els seg uen ts resultats:

Tipus de format Resp ongueren No resp ongueren Total Mecanogra at 250 200 450 Mimeogra at 300 450 750 Impressio p er ordinador 300 500 800 Total 850 1150 2000

In ueix el tipus de format en el n umero de resp ostes?

6. En un hospital, el n umero de neixements observats p er cada mes d'un cert any va ser: Gen Feb Mar Abr Ma Ju Jul Ag Set Oct Nov Des 95 105 95 105 90 95 105 110 105 100 95 100

Si = 0 :01, existeix alguna rao p er a creure que el n umero de neixements no es troba distribut de forma uniforme durant tots els mesos de l'any?

5 Analisi de la Regressio Simple

1. Comentar l'existencia de causalitat o no en els seg uents enunciats:

(a) En els ultims quatre anys, coincidint amb les victories Barcelonistes a la lliga, la Borsa no ha fet mes que baixar. (b) Sembla que quant mes augmentin els salaris, mes augmenten els preus. (c) S'observa una relacio clara entre l'addiccio al tabac i el risc de malalties coronaries.

2. Dels mo dels seg uen ts, quins son lineals?

(a) Y = sin (x) +  (b) Y = 1 sin ( 2 x) +  (c) Y = 0 + 1 x^21 x 2 + 2 x^32 +  (d) Y = 0 + 21 x + 

3. Una companyia electrica va seleccionar una vivenda tpica p er a mesurar el consum d'energia (en kilowats/dia) com a funcio de la temp eratura promig diaria durant els mesos d'hivern. L'informacio recullida durant 15 dies dona: Temp eratura 0 8 7.5 13.5 14 8.5 4.5 - Consum energ. 70 57 60 63 57 66 67 107 Temp eratura -7.5 -8.5 1.5 0.5 2 -6 - Consum energ. 96 88 80 64 79 82 97

(a) Gra car les dades. Sugereix la gra ca una relacio lineal? (b) Per a un mo del lineal simple, obtenir l'eq uacio estimada. Dibuixar-la sobre la gra ca de l'apartat anterior. (c) Interpretar els co e cients de regressio estimats. (d) Quin es el co e cient de correlacio r?

4. Els seg uen ts sumatoris es van obtenir a partir de 16 parells d'observacions de les variables X i Y :

X

~y (^) i^2 = 526 ;

X

x~^2 i = 657 ;

X

~xi y~i = 492 ;

X

yi = 64 ;

X

xi = 96 Estimar els parametres del mo del Yi = + Xi + i i R 2. Contrastar l'hipotesi de que = 2.

(d) Obtenir esl estimadors de les desviacions estandar de ^ i ^ (e) Obtenir un interval de con anca del 95% p er l'autentic valor del p endent de la recta de regressio (f ) Determinar si es estadsticament signi cativa la relacio entre la temp er- atura promig i el consum d'energia (nivell de signi cacio=0.05)

10. A partir del mo del de regressio estimat en el problema 3 de la seccio 5,

(a) Determinar mitjancant l'analisi de la variancia si es p ot rebutjar l'hipotesi de no regressio lineal p er un nivell de signi cacio del 95% (b) Comparar el resultat de l'apartat (a) amb els obtinguts en el apartat (f ) de l'exercici anterior. Quina relacio existeix entre l'estadstic F utilitzat en aquesta cas i l'estadstic t utilitzat en l'exercici anterior? (c) Calcular el co e cient de determinacio de b ondat d'a just

11. Els seg uents parells de valors de dades es van obtenir a partir de la formula y = e x^ , p ero es desconeixen i. Fer servir el meto de de la regressio lineal p er a obtenir estimadors d'aquests parametres

X 1 2 3 4 Y 2.69 4.69 6.69 8.

12. Quina relacio hi ha entre 1 i 2 i entre 1 i 2 en els mo dels:

Yi = 1 + 1 Xi + i

Yi = 2 + 2 X~i + i on X~i = Xi X Es compleix que s^21 < s^22 o viceversa?