estadistica II, Apuntes de Estadística

¡Descarga estadistica II y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

ESTADÍSTICA 2

Grau d’

Administració i Direcció d’Empreses

Tema 1: Models de distribució de probabilitat

Tema 1: Models de distribució de probabilitat.

Models de distribució de probabilitat per a variables aleatòries discretes. Model de distribució binomial.Model de

Poisson

.

Models de distribució de probabilitat per a variables contínues. Model uniforme.Model normal.

V

ariables aleatòries discretes i variables aleatòries contínues

Una variable aleatòria (v.a.) discreta és aquella que en un interval pren un nombre finit de valors diferents. Una v.a. continua pot prendre infinits valors en un interval. Les v.a. discretes estan associades a recomptes; les contínues a medicions. Exemples

. Variables discretes: -

Nombre de cotxes a les llars d’un país. X={0,1,2}

Nombre d’articles defectuosos en una mostra de 10. X={0,1,...,9,10}

Nombre de trucades a un servei d’urgències X={0,1,2,3, ...}

Exemples

. Variables continues: -

Temps entre dues trucades consecutives a un servei d’urgències.

Pes efectiu dels paquets de quilo que fa una màquina.

El tractament dels dos tipus de variables és diferent.

Distribució de probabilitat d’una variable aleatòria discreta La distribució de probabilitat d’una v.a. discreta la conformen els diferents possibles valors de la variable i les probabilitats d’aquests valors. S’expressa matemàticament mitjançant l’anomenada funció de massa de probabilitat la representació de la qual és un gràfic de barres (o punts).

Pr(

x

X

x

P

X

verificant-se que

i

i

x

P

Una v.a. discreta es por representar també mitjançant la funcióde distribució acumulada (funció esglaonada en el cas devariables discretes).

Pr(

x

X

x

F

X

Esperança, variància i desv.est. d’una variable aleatòria discreta L’esperança d’una v.a. discreta és calcula multiplicant cada possible valor per la corresponent probabilitat i sumant. Es nota amb la lletra grega

μ

(mi).

i

i

i

x

P

x

X

E

És anàloga a la mitjana d’una distribució de freqüències.

i

i

i

x

f

x

X

Per això també se li diu

mitjana

de la v.a./distribució de prob.

Posiciona la distribució. Indica el

centre

de la distribució.

No és necessàriament un possible valor de variable.

La variància d’una v.a. (discreta o contínua) és el valor esperat de les desviacions respecte la mitjana al quadrat. En el cas discret es calcula multiplicant cadascuna d’aquestes desviacions al quadrat per la corresponent probabilitat. Es nota

σ

2

sigma

quadrat).

[

]

i

i

i

x

P

x

discreta

X

X

E

X

V

2

2

2

Mesura la dispersió de la distribució entorn el seu valor esperat. Es verifica que:

2

2

X E X E X V

Aquesta fórmula permet calcular la variància més fàcilment.

i

i

i

x

P

x

discreta

X

X

E

2

2

Exemple

(anterior)

x

P(x)

xP(x)

(x-μ)

(x-μ)

2

(x-μ)

2

P(x)

x

2

P(x)

0

0,

0

-0,

0,

0,

0

1

0,

0,

0,

0,

0,

0,

2

0,

0,

1,

1,

0,

0,

Suma

1,

0,

0

0,

1

Alternativament

1 4 , 0 6 , 0 0 ) 1

, 0 · 2 ( ) 6 , 0 · 1 ( ) 3

,

0 · 0 ( ) ( ) (

2

2

2

2

2

= + + = + + = =

∑

i

i

i

x

P

x

X

E

36 ,

0

64 ,

0

1

8 , 0 1 ) ( ) ( ) (

2

2

2

= − = − = − =

X E X E X V

6 ,

0

)

(

=

=

X

DE

σ

Exercici

(v.a. discreta)

Sigui

X

el nombre d’habitacions de les cases en venda en una

web

dedicada a la intermediació inmobiliària.

x

Total

P(x)

F(x)

Completa la taula.

Calcula mitjana (esperança), variància i desviació estàndardde la variable.

Quin percentatge de pisos tenen més d’una habitació?

Model de distribució Binomial Prèviament a la definició d’una v.a. binomial donarem la definiciód’una v.a. de Bernoulli, o v.a. binària (o dicotòmica)

Variable aleatòria de

Bernoulli

Una v.a. de

Bernoulli

pren el valor

quan un experiment amb

només dos possibles resultats,

A

i

A*

, resulta ser

A

(èxit); i pren

el valor 0 quan el resultat de l’experiment és

A*

(fracàs).

La probabilitat d’observar

A

(un èxit) i, per tant, la probabilitat que

X

prengui el valor

es nota

p

. La probabilitat que

X

sigui

és,

doncs,

p

De vegades, aquesta última es nota

q

per abreviar. Però aquest

senzill model de distribució de probabilitat només té un paràmetre:

p

(ja que

p

q

p

Bernoulli

X

q p x P p x P

Mitjana (esperança), variància i desv.est. d’una v.a. de Bernoulli

p

X

E

p

p

X

V

p

p

X

DE

Efectivament,

p p p x P x X E

i

i

2

2

2

2

p p p p p p x P x X V

i

i

σ Alternativament (càlcul més ràpid de la variància):

2

2

2

p p p p X E X E X V

p p p x P x X E

i

i

2

2

2

2

Exemple

anterior (

X=Bernoulli (p=0,20)

):

p

p

p

)

2 ,

0

(

=

p

Bernoulli

0

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

0

0,

0,

0,

0,

1

Mitjana

Exercici.

Solució:

Variància d’una variable binària. Anàlisi

) 1 ( ) ( 2

p

p

X

V

−

=

=

σ

S’observa que la v.a. dicotomica amb una variància més gran ésaquella en què

5 ,

0

=

p

; aquella en què la probabilitat d’obtenir un

1

és

igual a la d’observar un

0

. En aquest cas la variància és igual a 0,25.

Conforme

p

s’allunya de 0,5, tendint cap a

0

o cap a

1

, la variància es

redueix. Exemple: Siguin les v.a. següents:

)

4 ,

0

(

1

1

=

=

p

Bernoulli

X

)

9 ,

0

(

2

2

=

=

p

Bernoulli

X

Quina té un variància més gran? La primera. Efectivament,